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ÉducationTranscription
00:00 Bonjour, nous allons procéder à la correction de l'interrogation numéro 2 sur les nombres
00:07 complexes formes algébriques.
00:09 Alors l'exercice 1 c'était des questions de cours.
00:12 Et on vous demande, question 1.
00:22 Résoutre dans l'ensemble des nombres réels, donc l'ensemble des nombres réels c'est l'ensemble
00:28 dans lequel on travaille depuis toujours, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation
00:33 x² = 25.
00:34 Donc là, quand on demande de résoudre une équation, c'est de trouver la valeur que
00:39 l'on peut donner à l'inconnu.
00:41 Donc ici l'inconnu c'est x, donc sur votre copie je devais voir x = et quel nombre au
00:47 carré donne 25 ? Il y a x = 5, 5² = 5 * 5 = 25 ou x = -5.
00:55 -5 * -5 = 25, donc cette équation admet deux solutions réelles qui sont 5 et -5.
01:05 Question 2, l'équation x² = -1 admet-elle des solutions dans l'ensemble des nombres
01:11 réels justifiés ? Donc l'inconnu c'est x, donc il faut trouver un nombre au carré
01:15 qui donne -1.
01:16 Et bien ça dans les nombres réels c'est impossible, donc ça c'est impossible dans
01:25 les nombres réels.
01:26 Il faut justifier car un nombre, donc si x, l'inconnu c'est un nombre positif, un nombre
01:35 positif au carré, +x = + donne un nombre positif car un nombre positif au carré +x
01:47 = + donne un nombre positif.
01:51 Et si x est un nombre négatif, un nombre négatif au carré, un nombre négatif ou
02:01 un nombre négatif donne un nombre positif et un nombre négatif au carré donne un nombre
02:21 positif.
02:22 Bilan, donc x² ne peut pas être égal à -1 dans l'ensemble des nombres réels, donc
02:35 cette équation n'a pas de solution réelle.
02:38 Et donc comme cette équation n'a pas de solution réelle, on a créé l'ensemble
02:42 des nombres complexes grand C et un nombre complexe écrit sous forme algébrique z = partie
02:50 réelle + i fois la partie imaginaire.
02:53 Et donc on vous dit donner une solution complexe de l'équation x² = -1, donc que vos x,
03:00 l'inconnu c'est x, donc sur votre copie je devais voir x =, il faut une solution de
03:05 cette équation, c'est i.
03:07 Une solution c'est x = i car par définition on a créé le nombre i pour que i² soit
03:16 égal à -1.
03:17 Donc i a été créé comme ça, i c'est le nombre au carré qui donne -1, donc x = i,
03:22 c'est une solution et i, juste le i ça s'appelle le nombre imaginaire, donc c'est
03:28 bien un nombre i, c'est le nombre imaginaire.
03:31 Et il possède une propriété, c'est que le nombre imaginaire i² donne -1.
03:38 Alors on vous dit, question 4, que vaut -i le tout au carré ? Donc on reprend la définition,
03:44 -i le tout au carré, cela revient à faire -i multiplié par -i.
03:50 i c'est un nombre, donc un nombre négatif fois un nombre négatif donne un nombre positif
03:56 et i fois i, i², donc ça on peut enlever le plus, donc ça donne i², i² ça donne
04:02 -1 par définition.
04:03 Donc en fait l'équation x² = -1, elle a admetté deux solutions, x = i et x = -i.
04:11 -i² donne aussi -1.
04:15 Ensuite, question 5, on vous demande que vaut -i² ? Donc là il faut bien regarder la
04:20 différence, là ce qui est au carré c'est le -i, c'est -i le tout au carré, c'est -i
04:26 fois -i, là ce qui est au carré, il y a juste le i qui est au carré, donc en fait
04:30 c'est -i, et i² c'est i fois i.
04:33 Donc ça on n'est pas obligé de l'écrire, mais ce qui est au carré c'est que le i,
04:39 donc ça revient à faire -i fois i, or i² par définition, i² ça donne -1.
04:44 Et donc --1 ça donne 1.
04:47 Donc c'est pour vous dire l'importance des parenthèses, -i le tout au carré c'est -i
04:51 fois -i ce qui donne -1, et -i², le carré il n'est que sur le i, alors i² donne -1,
04:56 et --1 ça fait +1.
04:59 Question 6, soit z = x + y un nombre complexe sous forme algébrique, donc c'est ça, sous
05:05 forme algébrique c'est parti réel + i fois la partie imaginaire, et soit z bar, le conjugué
05:10 de z, donc z bar c'est dire qu'on change la partie imaginaire, on prend l'opposé de
05:14 la partie imaginaire.
05:15 On rappelle la propriété du cours que lorsqu'on fait z fois son conjugué c'est égal à
05:19 la partie réelle de z² plus la partie imaginaire de z², donc z fois z bar c'est x² + y².
05:26 Donc ça on l'a vu dans le cours, c'est une démonstration du cours.
05:30 Et on vous demande de recopier et compléter la phrase suivante, le produit z fois z bar
05:34 est toujours égal à, donc quand on fait z fois son conjugué ça donne toujours, x
05:40 c'est la partie réelle, donc un nombre au carré est toujours positif, y c'est la partie
05:46 imaginaire de z, donc y² c'est toujours positif, et donc quand j'additionne deux positifs
05:51 j'obtiens un nombre positif.
05:53 Donc lorsqu'on fait z fois z bar on obtient toujours un nombre, x et y ce sont des nombres
05:58 réels, on obtient toujours un nombre réel, et le mot important c'est un nombre réel qui
06:03 est positif.
06:04 Si vous faites z fois z bar et que vous obtenez un nombre négatif, si vous êtes trompé
06:10 z fois z bar donne toujours un nombre positif.
06:13 Et enfin, listez trois imaginaires purs, donc les imaginaires purs ce sont les nombres
06:17 complexes, c'est à dire que la partie réelle vaut 0, donc par exemple y a z = 3i, on a
06:23 z = -5i, y a z = i, y a z = 6,3i.
06:30 Voilà, donc c'est tous les imaginaires purs, c'est lorsque la partie réelle vaut 0, ça
06:35 ce sont des imaginaires purs.
06:36 Voilà pour la question de cours.
06:39 Exercice 2, donc il fallait pour chaque nombre complexe écrit sous forme algébrique, donc
06:45 la forme algébrique c'est z = partie réelle + i fois la partie imaginaire, donner pour
06:50 chaque nombre complexe sa partie réelle, sa partie imaginaire ainsi que son conjugué
06:55 noté z bar.
06:56 Donc petit a, la partie réelle de z, donc c'est 3, et la partie imaginaire de z, donc
07:06 la partie imaginaire c'est ce qui multiplie le i, donc là on a -5 fois i, donc la partie
07:12 imaginaire c'est -5, et z bar le conjugué c'est qu'on prend l'opposé de la partie
07:19 imaginaire, donc la partie imaginaire c'est -5, donc z bar, la partie réelle reste la
07:23 même c'est 3, plus, je prends l'opposé de la partie imaginaire, donc +5i.
07:30 Ensuite pour le b, la partie réelle, attention, la partie réelle ici c'est +8 donc 8, la
07:38 partie imaginaire de z c'est ce qui multiplie le i c'est 5, et donc z bar, attention, le
07:45 conjugué c'est qu'on prend l'opposé de la partie imaginaire, donc ça va être -5i,
07:53 et le +8 ne change pas, on prend juste l'opposé de la partie imaginaire.
07:56 C, donc là on a le nombre imaginaire, donc la partie réelle de z, donc je rappelle que
08:02 i c'est pareil que 1 fois i, plus 0, 1 fois i ça fait i, plus 0 ça donne i, donc la
08:12 partie réelle c'est 0, et la partie imaginaire, attention, la partie imaginaire d'un nombre
08:18 complet c'est ce qui multiplie le i, donc ce qui multiplie le i c'est 1, et le conjugué
08:25 c'est qu'on prend l'opposé de la partie imaginaire, donc ça va être -i.
08:31 D, la partie réelle de z c'est donc -6, la partie imaginaire de z c'est ce qui multiplie
08:44 le i, donc là on a -i, donc -i c'est pareil que -1 fois i, donc la partie imaginaire
08:51 c'est -1, et le conjugué de z c'est qu'on prend l'opposé de la partie imaginaire,
08:56 donc c'est -6 + i.
09:00 Et le E, faut pas avoir peur de la fraction, z c'est 4 + 2i / 7, on peut décomposer cette
09:12 fraction en 4/7 + 2/7i, quand les deux fractions ont le même dénominateur on peut les regrouper,
09:19 4/7 + 2/7i ça donne 4 + 2i/7, donc la partie réelle de z c'est 4/7, la partie imaginaire
09:29 de z c'est ce qui multiplie le i c'est 2/7, et le conjugué de z c'est qu'on prend l'opposé
09:36 de la partie imaginaire c'est 4/7 - 2/7i, et ça vu que les deux fractions ont le même
09:44 dénominateur on peut l'écrire 4 - 2i/7.
09:48 Voilà pour la question 1.
09:51 La question 2 il fallait développer, et je vous rappelle que i au carré par définition
09:56 ça donne -1.
09:57 Alors ici on a une simple distributivité, on a 3i fois entre parenthèses 2 + i, donc
10:02 on va appliquer la simple distributivité, 3i fois 2 qui donne 6i, et ensuite 3i fois
10:10 i ça donne +3i carré.
10:13 Attention c'est juste 3i fois i, il n'y a que le i qui est au carré, donc pas de parenthèses
10:17 ici, que le i est au carré.
10:19 Donc ça donne 6i + 3i au carré vaut -1, donc ça donne 6i + 3i -1 = -3, donc ça donne
10:31 6i - 3.
10:33 Partie réelle c'était pas demandé mais à l'oral partie réelle -3, partie imaginaire
10:37 c'est ce qui multiplie le i, 6.
10:40 Alors question B on va démarrer tranquillement, ici on observe qu'on a une simple distributivité
10:45 à faire.
10:46 Donc ça donne 5 fois 3 = 15, 5 fois -2i = -10i.
10:54 Lorsqu'on termine quelque chose, lorsque j'ai fait le développement, voilà ce que je vois
10:59 dans ma tête, j'ai fait le développement, donc dès que je l'ai fait, voilà ce qu'il
11:05 reste dans ma tête, il ne reste que ça.
11:07 Donc là qu'est-ce qu'on connaît, on a un - devant une simple parenthèse, donc c'est
11:13 dire que je soustrais tout ce qu'il y a dans la parenthèse.
11:15 Donc on prend l'opposé de l'intérieur, donc j'ai -4 lorsque j'enlève la parenthèse
11:20 ça devient -4, et +5i lorsqu'on le soustrait ça devient -5i.
11:24 C'est un - devant une simple parenthèse.
11:29 On regroupe les termes, donc ça donne 15 - 4 = 11, -10i - 5i, -10 - 5 = -15i.
11:39 En dessous on fait pareil, ici on reconnaît une simple distributivité, donc ça donne
11:46 i*i au carré, + i*2, donc 2i, je viens de l'effectuer, donc dans ma tête dès que j'effectue
11:55 quelque chose je l'efface, voilà ce qu'il reste.
11:59 Donc il nous reste quoi ? Il nous reste -3*i+7, donc il nous reste une simple distributivité,
12:08 -3*i-3i, et -3*7-21, ce qui donne i au carré par définition c'est -1, +, donc là on a
12:22 2i-3i, donc 2i-3i reste -i, donc il reste -1, bon i au carré c'est -1, 2i-3i reste
12:30 -i-21, et ce qui donne -1-21, j'enlève un euro, j'enlève 21 euros, ça donne -22-i.
12:40 C'est pas demandé mais à l'oral encore, partie réelle -22, partie imaginaire c'est
12:45 ce qui multiplie le i, -1.
12:48 On poursuit, ici on a une double distributivité, donc je vais mettre des couleurs, je vais
12:53 en vert fluo le 2i, en vert fluo le i, et en jaune le +5 et le +4.
13:01 Donc on a la double distributivité, on part du 2i et on fait la distributivité, donc
13:07 ça donne 2i, entre deux parenthèses il y a toujours un x, donc 2i*i, ça donne 2i^2,
13:13 et il y a que le i qui est au carré, c'est i*i, i^2.
13:16 Ensuite +, on a 2i*4, +8i. On a fini avec le 2i, on passe au +5, donc +5*i, +5i, et
13:29 5*4, donc +5*+4, +5*+4, +20. Donc ça donne 2*i^2-1, +8i+5i+13i+20.
13:46 Ce qui donne 2*-1=-2, -2+20=18, donc il reste 18+13i.
13:53 Partie réelle 18, partie imaginaire 13.
13:57 La E, alors on peut reconnaître la première identité remarquable, A+B, le tout au carré,
14:02 qui donne A^2+2*A*B+B^2, mais comme on ne l'a pas revu cette année, on va faire par
14:10 une double distributivité, on les reverra les identités remarquables, rassurez-vous.
14:14 Mais là comme on ne l'a pas revu, on peut dire que 1+i le tout au carré, ça revient
14:18 à faire 1+i*1+i. Donc comme 5 au carré, c'est 5*5, A^2 c'est A*A, donc 1+i le tout
14:29 au carré, c'est 1+i*1+i. Et on effectue la double distributivité, donc 1*1=1, 1*i+i,
14:40 i*1+i, et i*i, i au carré. Donc ça donne 1+i+i=2i, +i^2-1, donc 1+-1=0, donc il reste
14:54 2i. Partie réelle 0, partie imaginaire 2. Donc là ça c'est un imaginaire pur, ce n'était
15:04 pas demandé, mais ça vous fait des petits rappels, on obtient un imaginaire pur. Petite
15:11 f, on vous dit, calculez, écrivez sous forme algébrique, 1+i le tout au cube. Et on vous
15:16 dit, vous aidez la question, bah oui, 1+i au cube ça revient à faire 1+i*1+i*1+i.
15:25 Or, 1+i*1+i c'est 1+i^2, 1+i*1+i=1+i. Or, 1+i^2, on l'a fait au dessus, ça donne 2i, d'après
15:39 la question e, fois 1+i. Donc on effectue une simple distributivité, 2i*1=2i, +2i*i+2i^2.
15:49 Ce qui donne 2i+2i^2-1, donc ça donne 2i+2i^2-1-2, donc il reste -2+2i. Partie réelle -2, partie
16:04 imaginaire 2. Et enfin, question 3, écrire sous forme algébrique 2+i*3-2i. Donc là
16:16 on a une double distributivité à effectuer. Alors pour ne pas se tromper, je vais mettre
16:21 des couleurs, donc on va mettre en jaune fluo le 2i, en jaune fluo le 3, en vert fluo le
16:26 +3 et en vert fluo le -2. Et donc hop, on démarre, donc on fait 2i, il y a entre 2
16:32 parenthèses, 2i*3=6i. Ensuite on fait 2i*, là il y a un x, -2i. Donc on réfléchit,
16:42 -2i*-2i=-4i*i^2, donc -4i^2. On a terminé avec le 2i, donc il reste le +3. Donc on
16:55 va effectuer +3*3=9, et +3*-2i, donc 3*-2=-6, et vu que c'est 3*-2i=-6i. Alors qu'est-ce
17:08 qu'il nous reste ? On a 6i-6i qui s'annule, donc il reste -4i^2+9, ce qui donne -4*i^2-1+9,
17:26 -4*-1, un nombre négatif, un nombre négatif donne un nombre positif, donc ça donne 4+9,
17:31 ce qui donne 13. Et on vous dit, pourquoi est-il certain d'obtenir un nombre positive ? Donc
17:38 les gens se disent "ouf, on a bien obtenu un nombre réel qui est positif, mais pourquoi
17:41 on était certain d'obtenir un nombre réel positif ?" Et bien on va reprendre la propriété
17:48 du cours de l'exercice 1, c'est celle-là, on l'a vu, on sait que z*z bar est toujours
17:56 égal à un nombre réel positif, quand z fois sont conjugués donne toujours un réel
18:00 positif. Donc ici, si ça je l'appelle z, je dis c'est 2i+3, c'est quoi le conjugué
18:09 de z ? Le conjugué c'est qu'on prend l'opposé de la partie imaginaire, donc là la partie
18:14 imaginaire c'est 2, donc ça z bar ça va être -2i+3, et ça -2i+3 c'est pareil que
18:24 3-2i, -2i+3 c'est pareil que 3-2i. Exemple 6-7, non je vais l'écrire comment, c'est
18:36 -2i+3, par exemple -7+5 c'est pareil que 5-7. Donc en fait là j'ai z=2i+3, là on
18:47 avait le conjugué de z, donc on écrit question b, si z=2i+3, alors z bar, donc le conjugué
18:56 c'est -2i+3, et -2i+3 c'est pareil que 3-2i. Donc on sait que z fois z bar donne toujours
19:10 un réel positif, un nombre réel positif, parce qu'on a effectué z fois son conjugué,
19:17 donc c'était prévisible qu'on obtienne un nombre réel positif. On passe à l'exercice
19:23 3, ce qu'il y a de plus technique c'est lorsqu'on a un quotient de deux nombres complexes,
19:27 donc je vous rappelle qu'on a vu la propriété que si z s'écrit x+iy sous forme algébrique,
19:33 son conjugué z bar c'est x-iy, et d'après le cours on sait que z fois son conjugué
19:40 c'est égal à la partie réelle au carré plus la partie imaginaire de z au carré,
19:43 et ça ça donne toujours un nombre réel positif. Donc on vous dit soit z=3i divisé par 5-i,
19:52 donc on a bien une division de nombres complexes. Recopiez et complétez les pointillés suivants
19:57 afin d'écrire z sous forme algébrique. Donc là z=3i facteur de 5-i, donc c'est une propriété
20:05 du cours, lorsqu'on a un quotient de deux nombres complexes il faut multiplier par le conjugué du
20:11 dénominateur, donc c'est 3i entre parenthèses fois 5-i, on met bien des parenthèses, et on va
20:19 multiplier par le conjugué du dénominateur, donc le conjugué de 5-i c'est 5+i, et si je
20:28 multiplie par un nombre au dénominateur je dois multiplier par le même nombre au numérateur,
20:33 donc je multiplie par 5+i. La règle c'est de multiplier par le conjugué du dénominateur.
20:39 Et pourquoi on fait on effectue cela ? Car on sait qu'un nombre complexe fois son conjugué,
20:45 d'après la propriété c'est la partie réelle au carré plus la partie imaginaire au carré,
20:50 donc on sait qu'on va obtenir la partie réelle c'est 5 au carré plus la partie imaginaire donc
20:56 -10, et la partie imaginaire c'est ce qui multiplie le i, plus -1 au carré. Donc on sait qu'on va
21:01 obtenir 125+1, on va obtenir 26 au dénominateur, un nombre réel positif. Donc ça c'est d'après la
21:09 propriété, mais si on a du mal on effectue la double distributivité comme on l'a vu. Donc on va
21:15 d'abord développer le numérateur, donc on a 3i fois 5, 3i fois 5 ça donne 15i, et ensuite on a 3i
21:23 fois i, 3i fois i plus 3i carré, le numérateur. Et le dénominateur on sait qu'on doit obtenir un
21:30 nombre réel positif parce qu'on effectue un nombre complexe fois son conjugué. Donc si on fait la
21:36 double distributivité on y va 5 fois 5 = 25, 5 fois i plus 5i, on a fini avec le 5 là on passe au
21:46 -i, donc on a -i fois 5 donc -5i, et -i fois i, négatif, fois positif négatif donc -i au carré.
21:57 Le numérateur ça donne donc 15i + 3i carré donc 3 fois -1, et le dénominateur ça donne 25 + 5i
22:10 -5i donc on a +5i -5i qui s'annule, il reste -i carré. Ce qui donne au numérateur 15i + 3 fois -1
22:22 donc -3, et au dénominateur on a 25, le moins il est ici, et i au carré par définition ça vaut -1.
22:33 Donc ça donne 15i - 3 sur 25 - -1, quand il y a deux moins qui se touchent, on soustrait -1,
22:43 donc 25 - -1 ça donne 25 + 1, donc ça donne 15i - 3 sur 26. Au dénominateur on doit toujours
22:52 obtenir un nombre réel positif car un nombre complexe fois son conjugué donne toujours un
22:55 nombre réel positif. Et on vous demandait d'arriver à ce résultat là -3 sur 26 + 15 sur 26,
23:01 ben on n'est pas loin du tout. 15i sur 26 - 3 sur 26 c'est pareil que 15i sur 26 - 3 sur 26,
23:10 et ça c'est pareil donc -3 sur 26 + 15 sur 26i. Quelle est la partie réelle de Z ? Donc la partie
23:23 réelle de Z on a écrit sous format algebraic Z c'est donc -3 sur 26, et la partie imaginaire de
23:31 Z c'est ce qui multiplie le i c'est donc 15 sur 26. Question 2, on vous demande d'écrire sous
23:44 forme algébrique ce quotient de deux nombres complexes. Donc on y va, on a Z = i - 2 sur 3 +
23:51 10i. Je rappelle la technique c'est de multiplier par le conjugué du dénominateur, donc on met bien
23:58 les parenthèses, i - 2 fois parenthèse 3 + 10i fois, et on multiplie par le conjugué du
24:08 dénominateur. Donc le conjugué de 3 + 10i c'est 3 - 10i, on change la partie imaginaire. Et lorsqu'on
24:16 multiplie par un nombre dénominateur d'une fraction, on doit multiplier par le même nombre
24:20 numérateur, donc en haut et en bas on fait fois 3 - 10i. Alors au dénominateur on sait qu'un nombre
24:26 complexe fois son conjugué ça donne la partie réelle, donc ça va donner 3² + la partie imaginaire
24:32 10², donc on sait qu'au dénominateur on devra trouver 109. Donc on va d'abord faire le
24:41 dénominateur, allons-y, donc si on effectue la double distributivité 3 x 3 = 9, 3 x -10i = -30i,
24:49 on passe au +10, +10i x 3 = +30i, et attention là à ne pas se tromper on a +10i x -10i, donc +10i
25:02 x -10i, positif x négatif = négatif, 10 x 10 = 100, i x i = i², donc -100i². Et le numérateur,
25:13 on effectue la double distributivité, on démarre avec le i, i x 3 = 3i, i x -10i, donc positif x
25:23 négatif = négatif, et i x -10i, donc -10i². On a terminé avec le i, on va donc passer au -2,
25:31 donc -2 x 3 = -6, et -2 x -10i, négatif x négatif = positif, 2 x 10 = 20, donc +20i. Ce qui donne
25:47 z =, allez le numérateur on a 3i, -10i², donc -10 x -1, -6 + 20i. Et au dénominateur on a donc 9,
26:03 hop, -3i + 30i ça s'annule, -36 + 36 ça s'annule, et il reste -100i². Alors au numérateur on a 3i,
26:17 +20i, ce qui donne 23i, et là il faut faire attention, ici -10 x -1, négatif x négatif
26:27 donne positif, -10 x -1 donc +10, et il reste le -6. Sur 9, -100i² c'est 100 x -1. Et vous
26:42 savez qu'au dénominateur on doit obtenir un nombre réel positif quand on a fait un nombre complexe
26:45 façon conjuguée. Donc au dénominateur ça donne 9, donc on a -100 x -1, négatif x négatif
26:53 = positif, donc ça donne +100, et on devait bien trouver un nombre réel positif, négatif x négatif
26:57 +100, donc ça donne sur 109, et au numérateur on a donc 23i + 4. Et donc on obtient 23/109i + 4/109,
27:15 et c'est ça la forme algébrique de Z. Partie réelle 4/109, partie imaginaire 23/109. Petit 3,
27:24 on vous demande d'écrire sous forme algébrique Z = 5/8i, donc Z c'est 5/8i, donc même technique,
27:31 on va multiplier par le conjugué du dénominateur, donc le conjugué de 8i c'est x -8i, donc x -8i au
27:40 dénominateur et x -8i au numérateur. Donc au numérateur ça nous donne 5 x -8i, 5 x -8i,
27:48 donc -40i, et au dénominateur on sait que Z x son conjugué c'est la partie réelle au carré + la
27:59 partie imaginaire au carré. Donc ici la partie réelle de 8i c'est 0, donc on obtient 0 au carré
28:06 + la partie imaginaire c'est 8 au carré, donc ça donne 64. Donc on sait qu'au dénominateur on
28:11 obtient bien 64, un nombre positive. Donc si on fait le calcul 8i x -8i, positif x négatif,
28:18 négatif, 8 x 8 = 64, i x i, i au carré, ce qui donne -40i sur -64i carré, donc -64 x -1,
28:31 et ce qui donne -40i sur -64 x -1 = 64, et on devait trouver exactement ça. Bon après si on
28:41 simplifie par 8, je divise par 8 par 8 ça donne -5/8i. C'était pas demandé, partie réelle 0,
28:48 partie imaginaire -5/8i. Et enfin la question 4, donc là vous étiez un peu guidé pour ne pas
28:55 tomber dans le panneau, donc on vous demande quel est le conjugué de 5i + 3. Ah, le conjugué de
29:01 5i + 3, attention on change la partie imaginaire, c'est -5i + 3, attention, et pourquoi on vous dit
29:10 ça ? Regardez la question suivante, écrire sous forme algébrique, donc on a z = 1/5i + 3,
29:18 donc c'est 1 x 5i + 3 x, et donc on multiplie par le conjugué du dénominateur, et donc la
29:31 question, quel était le conjugué de 5i + 3 ? Et bah c'est pas 5i - 3, ça c'est une erreur très
29:38 courante, attention, le conjugué de 5i + 3 c'est -5i + 3, donc fallait faire x -5i + 3, et x donc
29:46 -5i + 3. Et on sait qu'un nombre complexe ou à son conjugué c'est la partie réelle, donc 3² +
29:56 la partie imaginaire 5², donc ça donne 9 + 25, ce qui donne 34. Donc on sait qu'au dénominateur,
30:03 on devrait trouver bien un réel positif qui vaut 34 au dénominateur. Alors on développe, en haut,
30:11 on a 1 x ça, donc 1 x -5i - 5i, et 1 x 3 + 3, et au dénominateur 5i x -5i, positif x négatif,
30:20 5 x 5 = 25, i x i, i². Ensuite on a 5i x 3, donc +15i, ensuite on a 3 x -5i, 3 x -5, -15i,
30:38 et enfin 3 x 3 + 9, ce qui donne donc -5i + 3 sur -25i² -25 x -1, +15i -15i, hop ça s'annule,
30:55 il reste donc +9. Donc ça donne -5i + 3 sur -25 x -1, négatif x négatif, positif, donc 25 + 9,
31:05 et donc on obtient bien -5i + 3 sur 34. Et donc ça c'est égal à -5 sur 34i + 3 sur 34.
31:17 Partie réelle 3 sur 34, partie imaginaire -5 sur 34. On passe à l'exercice 4. Alors là j'ai pas
31:29 compris mais vous m'avez fait n'importe quoi alors qu'il était simple. Là les questions c, d, e,
31:33 je ne sais pas ce qui s'est passé. Donc on va essayer de comprendre ensemble. Donc regardez,
31:38 question 1a, on a deux nombres complexes z1 = 8 + 2i, z2 = 7 - 3i. On vous demande de donner le
31:44 conjugué de z1, donc le conjugué de z1, on change la partie imaginaire c'est 8 - 2i, et le conjugué
31:52 de z2 c'est 7 - 3i, donc le conjugué c'est 7 + 3i. Ok, question b, on vous demande d'en déduire,
32:02 donc on déduire le conjugué de z1 + le conjugué de z2. Il n'y avait rien de dur le conjugué de z1,
32:10 on l'a trouvé ici c'est 8 - 2i +, en plus là il y a un + donc il n'y a pas besoin de parenthèse,
32:16 le conjugué de z2, 7 + 3i. Ce qui donne donc donc 8 + 7 = 15, - 2i + 3i + i, voilà, z1
32:28 conjugué + z2 conjugué ça donne 15 + i. Question 1c, on vous demande d'écrire sous forme algébrique
32:38 le nombre complexe z1 + z2, donc on va additionner z1 + z2, donc z1 c'est 8 + 2i + z2 7 - 3i.
32:50 Ok, j'additionne 8 + 2 = 15, 2i - 3i - i, voilà, donc z1 + z2 ça donne 15 - i. Et on vous demande
33:09 d'en déduire le conjugué de z1 + z2 conjugué, donc z1 + z2 conjugué, alors là il ne faut pas aller
33:15 chercher loin, z1 + z2 c'est 15 - i, donc le conjugué de 15 - i, c'est juste 15 + i, fin, c'est tout.
33:29 z1 + z2 c'est 15 - i, donc le conjugué de z1 + z2, donc le conjugué de 15 - i c'est 15 + i, c'est tout, basta.
33:38 Et donc question E, quelle propriété du coup retrouvons-nous ? Regardez ce que l'on retrouve,
33:44 on a vu que le conjugué de z1 + le conjugué de z2 ça donne 15 + i, et le conjugué de z1 + z2
33:52 conjugué ça donne 15 + i, donc on retrouve que le conjugué de z1 + le conjugué de z2,
34:00 d'après la question B, c'est égal à 15 + i, c'est égal à z1 + z2 conjugué, c'est tout.
34:09 C'est-à-dire si on a un nom complexe + un deuxième nom complexe, si on additionne deux noms complexes,
34:14 et on prend leur conjugué, c'est pareil que faire le conjugué de z1 + le conjugué de z2, c'est tout.
34:20 Point.
34:22 Et ensuite la question 2, écrivez en sous forme algébrique z1 - z2 et pensez à bien tout soustraire.
34:29 Donc à votre avis pourquoi je vous ai mis ça ? Parce que là on fait le nom de complexe z1,
34:35 et on doit soustraire tout le nom de complexe z2, donc z1 je soustrais moins tout le z2,
34:43 donc z1 c'est 8 + 2i, mais je dois soustraire tout le z2.
34:52 Donc qu'est-ce qui doit être soustrait ?
34:54 Tout ce que je soustrais, ça doit être moins tout ça, je soustrais tout z2,
34:59 donc je dois faire moins, donc parenthèse, 7 - 3i, c'est pour ça que je vous ai dit pensez à bien tout soustraire.
35:06 Fallait mettre des parenthèses, c'est z1 - z2, donc on prend z1 et on doit soustraire tout z2,
35:13 donc je dois soustraire tout ça, donc c'est moins tout ça, donc fallait mettre des parenthèses.
35:19 Donc ça donne 8 + 2i, et je soustrais z2, 7 - 3i, donc quand je soustrais 7 - 3i, le 7 devient -7,
35:32 et le -3i devient +3i, donc ça donne 1 + 5i.
35:38 Attention ici c'est z-, je soustrais tout le z2, donc en voyant une soustraction, méfiez-vous, on soustrait tout ça,
35:45 et vous devriez obtenir 1 + 5i.
35:48 Et on passe au dernier exercice, donc quelques petites questions diverses pour finir.
35:54 Question 1, l'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifiez.
35:58 Le produit, c'est le résultat d'une multiplication, donc si je multiplie deux nombres imaginaires purs,
36:04 c'est ça qui est important, est-ce que le produit de deux nombres imaginaires purs est-il toujours égal à un nombre imaginaire pur ?
36:10 Donc on l'a vu dans le cours que c'est faux. Affirmation fausse.
36:14 Et il faut donner un contre-exemple, donc un imaginaire pur, allez si je prends 2i,
36:19 et que je le multiplie par un autre imaginaire pur, 5i.
36:22 C'est un imaginaire pur, je le multiplie par un imaginaire pur, donc ça nous donne 2 * 5 = 10,
36:28 i * i, i². Donc ça donne 10 * -1, ce qui donne -10.
36:36 Et -10, ce n'est pas un nombre imaginaire pur, donc ça, ce n'est pas un imaginaire pur.
36:43 Donc l'affirmation, il faut, si on multiplie deux imaginaires purs, ça ne donne pas un imaginaire pur.
36:52 Il y avait un exemple plus simple, c'est i * i, i c'est un imaginaire pur,
36:56 il est un imaginaire pur, y fois i ça donne i au carré, ce qui donne -1.
37:00 C'est peut-être l'exemple le plus simple.
37:03 Question 2, que vaut i puissance 4 ?
37:06 On repart, i puissance 4 c'est i fois i fois i fois i,
37:12 y fois i, y au carré, x y fois i, y au carré.
37:23 Et par définition c'est que i au carré ça donne -1, donc ça donne -1 fois i au carré -1,
37:30 et -1 fois -1, ça donne 1.
37:34 Donc i puissance 4, hop, ça vaut 1.
37:37 Et enfin, question bonus, on vous disait soit z un nombre complexe,
37:41 dans quel cas on a z qui est égal à son conjugué ?
37:44 Je ne sais pas, si je prends z = 2 + 3i,
37:48 on voit bien que le conjugué de z c'est 2 - 3i.
37:51 On voit bien que les deux nombres ne sont pas égaux.
37:55 Si je prends z = 1 - 2i, son conjugué c'est 1 + 2i,
38:02 on voit bien que les deux nombres complexes ne sont pas égaux.
38:05 Par contre, si je prends z = 8, c'est quoi son conjugué ?
38:11 8 c'est pareil que 8 + 0 fois i,
38:14 donc le conjugué ça va être 8 - 0 fois i, ce qui donne 8.
38:19 Donc le conjugué de 8 c'est 8, donc ça marche.
38:23 Mais ce qu'il y a que pour 8, si je prends z = 3,
38:27 son conjugué c'est 3 aussi.
38:30 La partie imaginaire c'est 0, donc quand je prends l'opposé de 0 c'est 2 0.
38:33 Donc z est égal à son conjugué lorsque la partie imaginaire de z est égale à 0.
38:47 Et donc si la partie imaginaire de z vaut 0, j'ai z = x + i fois y.
38:52 La partie imaginaire vaut 0, donc j'ai z = x.
38:55 Donc c'est lorsque z est un nombre réel.
39:04 Lorsque z est un nombre réel, par exemple un nombre réel est -5,
39:07 le conjugué de -5 c'est -5.
39:10 Donc pour cette question, z est égal à son conjugué lorsque la partie imaginaire de z vaut 0,
39:15 et c'est donc lorsque z est un nombre réel.
39:17 Et on a fini la correction de cette interrogation.