Partie 4 : On envisage 3 référentiels équivalents
On montre qu'on est en train de construire un "groupe" : la composition de deux transformations est une transformation. Ceci implique finalement des contraintes fortes sur les fonctions γ, A et B.
On montre qu'on est en train de construire un "groupe" : la composition de deux transformations est une transformation. Ceci implique finalement des contraintes fortes sur les fonctions γ, A et B.
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00:00On avait écrit des transformations générales ici, alors on sait que maintenant toute fonction paire de v convient ici,
00:09toute fonction paire de v convient ici, toute fonction impaire de v convient ici.
00:13L'idée maintenant c'est d'aller un peu plus loin et donc d'imaginer trois référentiels,
00:18donc j'ai un référentiel que je vais appeler R, donc un espace temps R,
00:22je vais indiquer ici, donc l'événement, il a les coordonnées x et t dans R.
00:28On va maintenant passer à R', donc avec les coordonnées x', t',
00:34et pour passer de l'un à l'autre, on va considérer que R' a une vitesse relative U par rapport à R.
00:41Ainsi, je vais pouvoir écrire, si j'applique la transformation à cette situation,
00:46je vais pouvoir écrire que x' est égal à γ de U, x moins U, t, et t' égale γ de U, a de U, t, moins B de U, x.
01:03Voilà pour la première transformation.
01:09Bon, maintenant on va passer à la deuxième, c'est-à-dire que maintenant de x' t', donc de R',
01:15je vais passer à x' t', et la vitesse relative, je vais l'appeler V.
01:23Ainsi, je peux appliquer à nous cette transformation, je vais avoir x' qui va être égal à γ de V, a de V, t', moins B de V, x'.
01:45Voilà ce qui va se passer.
01:48Donc, la suite, c'est quoi ?
01:51Je vais vérifier que ça n'a pas plus de place.
01:52La suite, c'est quoi ? C'est remplacer x' et t' par leurs expressions qui sont ici.
01:58Donc, je vais d'abord m'occuper de x' dans un premier temps,
02:01et essayer de tirer toutes les conclusions possibles, puis après, passer à t'.
02:05Donc, j'y vais pour x', je prends un peu de place,
02:10mais x' c'est donc γ de V, x' moins Vt'.
02:15Mais à chaque fois, dans x' et t', il y a toujours γ.
02:18Donc, x' c'est γ de u, x moins ut, et t', il y aura γ de u fois ce truc-là.
02:23Donc, je peux mettre γ de u en facteur tout de suite.
02:26C'est ce que je vais faire.
02:26Je mets γ de u en facteur.
02:29Du coup, il me reste ici, x', donc on a dit γ de u en facteur,
02:34donc c'est x moins ut, moins Vt'.
02:41Donc, t', c'est γ, mais c'est déjà en facteur,
02:44donc a de u, t, moins B de u, x.
02:51Voilà.
02:53Maintenant, l'idée, c'est de regrouper tous les x ensemble,
02:58tous les t ensemble, donc je recopie ça.
03:01Je vais mettre quelque chose fois x, moins quelque chose fois t.
03:05Donc, qu'est-ce qu'il y a pour x ?
03:08Il y a ici 1, et puis j'ai ici plus Vb de u.
03:19C'est ça.
03:20Donc, j'ai 1 plus Vb de u, ici.
03:23Moins, et là, il faut que je mette ici,
03:25donc j'ai un ut,
03:26et ici, j'ai un Vb de u avec un moins,
03:34mais j'ai mis le moins en facteur,
03:35donc plus Vb de u.
03:39Maintenant, je voudrais que ceci,
03:42cette transformation que je viens d'écrire,
03:44corresponde à la même transformation, ici,
03:48sous la même forme,
03:49parce que je veux que la composition de deux transformations
03:52soit elle-même une transformation.
03:54C'est-à-dire que de x t à x seconde t seconde,
04:00il doit exister une vitesse W
04:01qui permet de passer de l'un à l'autre.
04:04Donc, je voudrais avoir un truc de la forme
04:06gamma de W,
04:09facteur de x moins Wt.
04:11Le problème, c'est que là, je n'ai pas x,
04:12j'ai un truc devant.
04:13Donc, l'astuce, c'est de factoriser.
04:15Donc, si je factorise ce terme-là,
04:19donc 1 plus Vb de u,
04:20si je factorise ça, il me reste bien x moins,
04:25et là, j'ai u plus V a de u,
04:27à condition de diviser par ce que j'ai factorisé,
04:30donc 1 plus Vb de u, t.
04:34Et ça, c'est bien de la forme
04:36gamma de W,
04:39x moins Wt,
04:42avec,
04:43alors ça, c'est x seconde,
04:45avec gamma de W
04:47qui vaut gamma de u,
04:49gamma de v,
04:521 plus Vb de u,
04:54première chose,
04:56et W
04:57qui vaut
04:58u plus V a de u
05:01sur 1 plus Vb de u.
05:04Ça, ça va ressembler
05:07à la loi de composition des vitesses,
05:09en fait,
05:09le relativiste.
05:11Bon, est-ce qu'on peut faire déjà
05:12des choses avec ça ?
05:13La réponse est oui.
05:16En particulier,
05:17ça, ça doit être vrai
05:17quelles que soient les valeurs
05:18de u et de v
05:19qu'on a choisis,
05:20et en particulier,
05:21on peut prendre
05:21le cas particulier aussi,
05:24u égale moins V.
05:26Ça doit être vrai aussi, ça.
05:28Mais si u égale moins V,
05:29on veut alors que W soit nul.
05:31Pourquoi ?
05:34Parce que si u égale moins V,
05:35je reviens dans le référentiel R,
05:37puisque u et v sont
05:38des définitions
05:39des vitesses relatives
05:40des référentiels
05:41les uns par rapport aux autres.
05:43Donc si u égale moins V,
05:44je veux que W soit nul.
05:46Donc si j'applique ça bêtement,
05:47c'est-à-dire que 0
05:48doit être égal à
05:49moins V
05:50plus V
05:52a de u,
05:53et u on a dit moins V,
05:56sur
05:561
05:57plus
05:59V
05:59b de u,
06:00c'est-à-dire de moins V.
06:03On peut mettre
06:04V en facteur,
06:05donc je vais mettre
06:06V en facteur,
06:08sur
06:081,
06:09alors,
06:10b de moins V,
06:10c'est moins B de V,
06:12donc ça fait moins
06:13V,
06:14B de V,
06:15ça ne change pas grand-chose,
06:17facteur 2,
06:18donc il y a
06:18a de moins V,
06:21a est une fonction paire,
06:22donc c'est aussi
06:23a de V,
06:24moins 1.
06:26Voilà ce que ça me donne.
06:27Et ça doit faire 0.
06:28Autrement dit,
06:30je suis en train de dire
06:31que ça,
06:32ça doit faire 0,
06:33puisque ça,
06:33a priori,
06:33ce n'est pas nul,
06:34donc il faut que
06:35a de V soit nul,
06:36quel que soit V,
06:37euh,
06:37soit 1,
06:38égal à 1,
06:38pardon,
06:39quel que soit V.
06:42Autrement dit,
06:43a de V,
06:44c'est 1,
06:44ce qui va simplifier
06:45grandement les choses,
06:46donc finalement,
06:47W,
06:48la loi de composition
06:49des vitesses,
06:49W,
06:50c'est U
06:50plus V
06:51sur
06:521
06:53plus V
06:54B de U,
06:55quel que soit U et V.
06:59Voilà pour
07:00ce qu'on peut déduire
07:02de ça.
07:04Après,
07:04on n'a pas B de U encore,
07:06on ne sait pas trop
07:06ce que c'est,
07:07donc il va falloir
07:07qu'on s'occupe
07:08de T seconde.
07:10Donc on va essayer
07:10de réécrire,
07:11d'écrire les choses
07:12avec T seconde,
07:14sachant que maintenant,
07:14A de V vaut 1,
07:15ce qui va simplifier
07:16un peu grandement
07:17les choses.
07:18Donc T seconde est ici.
07:19Je vais effacer
07:20pour éviter
07:22de tout refaire,
07:23je vais effacer
07:23simplement ça,
07:26maintenant qu'on a
07:27nos réponses.
07:29Je laisse
07:30ces expressions-là,
07:33ça je peux enlever.
07:35Voilà.
07:36Et maintenant,
07:37si j'écris T seconde
07:38sur le même principe,
07:41donc T seconde,
07:43c'est
07:43gamma
07:45de V,
07:47il va y avoir
07:48un T prime
07:49et un X seconde ici,
07:50et T prime
07:52et X prime
07:53vont être
07:54toujours précédés
07:55de gamma de U,
07:56il y aura toujours
07:56un gamma de U dedans.
07:57Donc je mets gamma de U
07:58tout de suite en facteur
07:59pour éviter de décrire
08:00comme tout à l'heure
08:01le gamma de U partout.
08:03Du coup,
08:04je mets une grande parenthèse,
08:05donc j'ai un A de U
08:06mais qui vaut 1,
08:09pardon,
08:10excusez-moi,
08:10A de V d'abord,
08:11donc c'est A de V,
08:12mais A de V c'est 1,
08:13donc on ne peut pas
08:13pas l'écrire.
08:16Donc 1 fois T prime,
08:18et T prime c'est ça,
08:19gamma de U étant en facteur,
08:20il reste T
08:21moins
08:22B de U
08:25X,
08:28puisque A de V vaut 1,
08:30donc il ne reste que T prime
08:32avec le gamma qui est en facteur.
08:34Moins
08:34B de V
08:36fois
08:37X prime,
08:39et X prime,
08:39on a dit,
08:40c'est gamma de U
08:40qui est en facteur,
08:41mais c'est X
08:42moins U T.
08:43Voilà ce qu'il reste.
08:46Donc,
08:47c'est le gamma de U
08:48et le gamma de V,
08:49je regroupe
08:50tous les T
08:52et tous les X,
08:53donc si je fais ça,
08:55donc T
08:56moins
08:57quelque chose
08:58fois X,
08:59qu'est-ce que j'obtiens ?
09:01Donc T,
09:01j'ai un,
09:02ici,
09:021,
09:03donc j'ai un 1,
09:05et j'ai un
09:06plus
09:08U B de V.
09:08puisque là,
09:12ça va faire plus.
09:14Et pour les X,
09:15j'ai un
09:16B de U
09:17ici,
09:20avec le moins
09:21étant en facteur
09:22et le moins saute,
09:24et ici,
09:25j'ai un
09:25moins
09:26B de V,
09:30c'est ça,
09:32donc il faudrait
09:32un plus B de V.
09:35Est-ce que ça marche ?
09:36Oui,
09:37plus B de V.
09:39Ici.
09:41Bon.
09:43Je dois
09:44faire apparaître
09:45gamma de W
09:46fois
09:47quelque chose.
09:48Donc là,
09:49si on regarde,
09:50j'ai perdu mon gamma de W,
09:53bon,
09:53c'est pas grave.
09:54Donc je vais
09:54ici
09:56faire apparaître
09:59gamma de U,
10:00gamma de V,
10:011 plus V B de U,
10:04il faut que je fasse apparaître
10:051 plus V B de U,
10:07si je veux,
10:08pouvoir faire apparaître
10:09mon gamma de W.
10:10Du coup,
10:11je divise
10:11par
10:141 plus V B de U,
10:18T,
10:21moins B de U
10:22plus B de V
10:24sur
10:25sur 1 plus B de U x.
10:34Voilà.
10:36Voilà ce que ça donne.
10:37Et donc ça,
10:38c'est gamma de W,
10:39on l'a dit tout à l'heure,
10:39ça ne change rien.
10:40Par contre,
10:41je sais que ça,
10:41ça doit valoir 1.
10:42C'est A de W,
10:44ça.
10:44Ça,
10:45c'est A de W
10:46qui doit valoir 1.
10:48Et ça,
10:49c'est B de W.
10:50Alors,
10:52si A de W vaut 1,
10:54qu'est-ce que ça donne ?
10:55Donc,
10:55j'écris
10:551 plus U
10:57B de V
10:59sur 1 plus V B de U
11:02doit être égal à 1.
11:04Puisque A de V
11:06doit être égal à 1
11:07quel que soit V,
11:08donc A de W aussi,
11:10n'importe quelle valeur
11:11de ce qu'il y a ici
11:15doit donner 1.
11:16donc A n'est pas une fonction,
11:18en fait,
11:18A est une constante
11:18qui vaut 1.
11:20Du coup,
11:20si on passe d'autre côté,
11:22on voit que ça,
11:24ça va passer là,
11:25on va pouvoir simplifier
11:26par 1
11:26et finalement,
11:27ça fait B de U sur U
11:28égale B de V sur V
11:30quel que soit U et V.
11:34Voilà ce qu'on obtient.
11:36Donc,
11:37on va,
11:38dans la prochaine vidéo,
11:41exploiter ça
11:42et essayer d'arriver
11:43à la transformation
11:44de Lorentz.