On arrive finalement à la transformation spéciale de Lorentz. La constante c est introduite "naturellement", sans aucune référence à une quelconque théorie de l'électromagnétisme qui est la théorie d'une interaction particulière, qui doit, comme toute théorie, satisfaire les exigences du principe de relativité, dès lors qu'on souhaite travailler dans un espace-temps homogène et continu, c'est-à-dire dans des référentiels inertiels.
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00:00On en est à ces quatre équations ici, donc A de V vaut 1, quel que soit V.
00:05On a B de U sur U égale B de V sur V, quel que soit U et V.
00:08On a un genre de loi de composition des vitesses,
00:10donc W c'est U plus V sur 1 plus V B de U, quel que soit U et V.
00:14Et on a cette relation-là avec γ.
00:17Donc l'idée ici, c'est déjà de s'occuper de celle-là, parce que celle-ci, elle est importante.
00:20Elle dit que B de U sur U, c'est B de V sur V, et ceci, quel que soit U et V.
00:23Un matheux vous dira que la seule possibilité pour cette fonction-là,
00:27c'est que cette fonction, finalement, B de U sur U,
00:32puisque celle-ci doit être aussi égale à B de V sur V, et ceci, quel que soit U et V,
00:35ça ne peut être qu'une constante, que je vais appeler grand K.
00:38Autrement dit, c'est-à-dire que B de V, c'est KV.
00:43Voilà ce que j'obtiens.
00:45J'obtiens que B de V, c'est KV.
00:47Avec K, une constante, donc à priori réelle, n'importe quelle constante réelle, peut convenir,
00:53mais cette constante, on doit la choisir une fois pour toutes.
00:56J'obtiens ici quelque chose de particulier, c'est qu'il apparaît dans la théorie que je suis en train de construire
01:01une constante, une valeur, qui ne peut pas être déterminée par la théorie elle-même.
01:07C'est une valeur qui, manifestement, on peut choisir arbitrairement.
01:12A priori, en tout cas dans la théorie que je suis en train de construire.
01:15Et donc cette valeur de K va faire que tous les physiciens du monde entier se mettent d'accord dessus.
01:19Une fois que tout le monde s'est mis d'accord sur cette valeur de K,
01:23alors la théorie, finalement, elle est fixée pour tout le monde, tous les physiciens vont être d'accord.
01:29Donc on va voir que cette constante K, elle est liée à la vitesse, entre guillemets, de la lumière,
01:33à la constante petit c.
01:35Alors maintenant que je sais ça, je n'ai plus qu'à appliquer bêtement.
01:39Donc j'ai ici la vitesse, donc W, du coup si j'applique ça ici,
01:45j'obtiens que W c'est U plus V sur 1 plus KVU.
01:52J'obtiens ça.
01:56C'est la loi de composition des vitesses relativistes.
01:58Il y a juste à triturer un tout petit peu K pour s'en convaincre.
02:02Mais voilà.
02:03J'obtiens ici un genre de loi de composition des vitesses.
02:07Et puis ici, je peux réécrire la même chose,
02:10mais on va apparaître que gamma de W pour l'instant est encore un peu mystérieux.
02:14Donc comme tout à l'heure, on va utiliser la même astuce si U égale moins V.
02:18En cycle W égale 0.
02:22Donc j'obtiens ici, si je remplace là-dedans,
02:24que gamma de 0, c'est gamma de U.
02:29Alors je vais tout mettre en fonction de V.
02:31Donc U c'est moins V, on a dit gamma de moins V fois gamma de V fois 1 plus V B de U.
02:43Donc B de U, c'est-à-dire K fois moins V.
02:48Puisque U c'est moins V, on a dit.
02:51U égale moins V.
02:52Et B de U, c'est K fois U.
02:55Donc K fois moins V.
02:57Or, gamma est une fonction paire.
02:59C'est là que ça va servir, ce qu'on a dit tout à l'heure.
03:00Gamma doit être une fonction paire de V.
03:02Donc ça, c'est la même chose.
03:03Donc ça fait gamma carré de V finalement.
03:06Donc gamma de 0, c'est gamma carré de V fois 1 plus...
03:10Alors par exemple, moins, si je mets le moins devant, ça fait 1 moins KV2.
03:18Ok ?
03:19Ce qui veut dire que gamma, finalement, carré de V, gamma carré de V,
03:25excusez-moi, hop, gamma carré de V, c'est finalement gamma de 0 sur 1 moins KV2.
03:37Bon, maintenant, c'est quoi gamma de 0 ?
03:40On peut le trouver en prenant U égale V égale 0.
03:44Si je prends toutes les vitesses nulles, W vaut 0 aussi, fatalement.
03:49Et donc j'ai gamma de 0 égale gamma de 0 fois gamma de 0 fois 1.
03:59Bref, j'ai gamma de 0 au carré qui vaut gamma de 0.
04:04Le nombre dont le carré est égal à ce nombre lui-même, c'est 1.
04:08Donc finalement, gamma de V, c'est 1 sur racine de 1 moins KV2.
04:18Voilà.
04:20Alors, au final, si je résume tout, les transformations, elles vont avoir quelle tête ?
04:26Les transformations, donc, je reprends d'X' et d'T'.
04:31Donc X' ça va être 1 sur racine de 1 moins KV2.
04:36X moins VT et T' 1 sur racine de 1 moins KV2 fois...
04:46Donc A de V, on a dit c'est 1, donc T moins...
04:50Et là, c'était B de V fois X.
04:55Mais B de V, on a dit, c'est KV.
04:58Donc KVX.
04:59Voilà ce qu'on obtient comme transformation.
05:04Alors, comment on peut choisir K ?
05:09Il y a plusieurs solutions.
05:10On peut prendre, par exemple, K négatif.
05:13Donc si je prends K négatif et que je regarde les dimensions de K,
05:18on voit que ça, ça n'a pas de dimension, c'est 1.
05:20Donc K a les dimensions de l'inverse du carré d'une vitesse.
05:28Dim de K...
05:30Dim de K...
05:32On voit que K fois V2 ne doit pas avoir de dimension,
05:35puisque 1 n'a pas de dimension, c'est-à-dire que K, c'est l'inverse d'une vitesse au carré.
05:41Donc ça veut dire que K, c'est écrit comme l'inverse du carré d'une vitesse.
05:47Donc on a très envie de noter K autrement.
05:50Et en particulier, si K est négatif, par exemple, j'ai très envie d'appeler K...
05:56J'ai envie d'écrire 1 sur une vitesse au carré.
06:00J'ai envie d'appeler ça...
06:03Non.
06:07Allez, C carré, je vais l'appeler comme ça.
06:09Pardon, si K est positif, excusez-moi, si K est positif.
06:13Si K est positif, j'ai très envie d'appeler K,
06:17de l'écrire sous la forme 1 sur C carré,
06:19avec C quelque chose qui a les dimensions d'une vitesse.
06:22Et si je fais ça, j'obtiens que X' c'est 1 sur racine de 1,
06:28moins V2 sur C2,
06:31X moins VT.
06:34Et j'obtiens que T' c'est 1 sur racine de 1,
06:38moins V2 sur C2,
06:41T moins VX sur C2.
06:48Et ceci, c'est exactement la transformation spéciale de Lorenz.
06:54J'obtiens la transformation spéciale de Lorenz.
06:56Je n'ai jamais parlé d'électromagnétisme,
06:59je n'ai jamais parlé d'hypothèses de constance de la vitesse de la lumière
07:02par changement de référentiel, etc.
07:05La lumière, en fait, elle n'a rien à voir là-dedans.
07:07Je n'ai pas eu besoin de lumière.
07:09J'ai juste eu besoin de poser quelques principes élémentaires.
07:13Juste poser le principe de...
07:15Un espace-temps, je construis un espace-temps continu,
07:17un espace-temps homogène,
07:19un espace isotrope.
07:21Et un dernier point,
07:23mais qui tient des autres,
07:24c'est que si j'ai trois référentiels équivalents,
07:27je dois pouvoir trouver...
07:28construire un groupe de transformation,
07:30c'est-à-dire,
07:31je dois pouvoir trouver un ensemble de transformations
07:33que je peux composer pour obtenir une nouvelle transformation.
07:36Une loi de composition interne.
07:37La composition doit être interne.
07:39Et effectivement,
07:40la composition de deux transformations
07:41est une transformation.
07:44Alors maintenant,
07:45on peut se poser la question d'autres valeurs de K.
07:48Pourquoi pas ?
07:48On peut se poser la question de K négatif.
07:50Si je prends K négatif,
07:53je peux faire ça.
07:54Je peux imaginer choisir une valeur de K négative.
07:56Mais si je choisis la valeur de K négative,
07:59dans ce cas-là,
07:59K s'écrirait moins 1 sur quelque chose au carré,
08:03une vitesse au carré.
08:05Du coup, ici, j'aurais des plus, des plus,
08:07ici des plus,
08:08et si je fais ça,
08:10je vais avoir un souci de causalité.
08:13Alors pourquoi de causalité ?
08:15À notre échelle humaine,
08:17on aime bien penser
08:18que certaines actions sont causalement liées.
08:21Par exemple,
08:21si j'ai un événement E1,
08:24je mets une claque à quelqu'un,
08:26E2,
08:27cette personne se met à pleurer.
08:30J'aime à croire, à mon échelle,
08:32que E1 a induit E2,
08:34que E2 est une conséquence.
08:35Donc j'aimerais que
08:36T2 moins T1
08:37soit positif,
08:40et que,
08:41quel que soit le changement que je fais
08:43par cette transformation,
08:44par une transformation de cet ensemble,
08:46je voudrais que T'2 moins T'1
08:49soit aussi positif.
08:50Je ne veux pas pouvoir changer le signe
08:52de T2 moins T1.
08:55Or,
08:56je ne sais pas,
08:57je peux vous laisser me montrer,
08:58mais si vous mettez ici
08:59plus, plus, plus,
09:01vous pouvez toujours trouver un référentiel
09:02dans lequel les dates seront inversées.
09:04dans ce cas.
09:06Donc si K est négatif,
09:07la causalité peut être menacée.
09:09On peut donc écrire une physique non-causale.
09:12Donc il n'est pas très judicieux
09:13de choisir K négatif.
09:16Dernier point,
09:17si K vaut 0,
09:19alors dans ce cas,
09:20si K vaut 0,
09:22j'obtiens X'
09:23égale,
09:25si K vaut 0,
09:26ça fait 1,
09:26ça fait X moins VT,
09:28et j'obtiens T'
09:30égale,
09:31si K vaut 0,
09:31ça, ça vaut 0,
09:32ça, ça vaut 1,
09:33ça vaut T.
09:34Si K,
09:35je le choisis identiquement nul,
09:37j'ai alors Galilée.
09:39Je retrouve
09:39le groupe de Galilée
09:41en prenant
09:43la valeur de K
09:45particulière,
09:46nul.
09:47Maintenant,
09:48choisir K nul,
09:50c'est s'imposer
09:50une contrainte supplémentaire
09:52qui n'est pas utile
09:53et qui n'est pas souhaitable
09:56puisqu'on voit
09:56que si K égale 0,
09:58j'ai du mal
09:58à écrire des lois
09:59de la physique
09:59cohérentes,
10:01invariantes,
10:01etc.
10:02En particulier,
10:03quand j'écris des lois
10:03de l'électromagnétisme,
10:04je vois qu'elles ne sont
10:05pas cohérentes
10:07avec la transformation
10:07de Galilée.
10:08Je n'arrive pas
10:09à écrire des lois
10:09de l'électromagnétisme
10:10qui sont invariantes
10:12par une transformation
10:12de Galilée,
10:14mais bien par
10:14transformation de Lorentz.
10:16Donc la transformation
10:17de Lorentz,
10:19cette transformation
10:19spéciale de Lorentz,
10:20vous voyez qu'elle apparaît
10:22sans jamais avoir
10:23parlé de lumière,
10:23elle apparaît naturellement
10:25en prenant juste
10:27des principes fondamentaux
10:28de base,
10:30homogénéité de l'espace-temps,
10:33homogénéité,
10:34pardon,
10:34isotropie de l'espace,
10:36principe de relativité
10:37et puis principe de causalité.
10:39Je ne veux pas
10:39que ma physique
10:40ne soit pas causale,
10:42c'est-à-dire
10:42je ne veux pas inverser
10:43des dates d'événements
10:44causalement liés.
10:44Et donc voilà
10:46comment on obtient ça.
10:47La vitesse C,
10:49ici,
10:50n'apparaît pas du tout
10:51comme étant la vitesse
10:52de la lumière,
10:53mais bien comme
10:54une constante fondamentale
10:55de la théorie
10:56que je viens de construire
10:57sur laquelle
10:57il va falloir se mettre
10:58d'accord.
10:59Je rappelle que
10:59le système international
11:00aujourd'hui
11:01a été défini
11:03à partir des constantes
11:04fondamentales.
11:04On a fixé,
11:05une fois pour toutes,
11:06la valeur de C.
11:07C'est-à-dire que C,
11:08maintenant,
11:09est un choix arbitraire,
11:11certes,
11:11qui vient du passé,
11:12de nos choix
11:13d'unités
11:14de longueur
11:14et de temps.
11:15Mais maintenant,
11:16C est choisi
11:17de façon exacte,
11:19de façon arbitraire.
11:20On a choisi
11:20cette valeur-là
11:21de C.
11:23Et voilà,
11:24c'est un choix
11:24qu'on vient de faire.
11:25Donc C n'est pas
11:26la vitesse de la lumière,
11:28en tout cas,
11:28pas fondamentalement.
11:29C est une constante
11:30fondamentale,
11:31ici,
11:32qui tient,
11:33entre guillemets,
11:34qui fait un lien
11:35entre guillemets
11:35entre l'espace
11:36et le temps.
11:37C'est la constante
11:38de structure
11:39de cette théorie
11:40de la relativité.
11:42Toute interaction,
11:44toute loi de la physique
11:44doit être invariante
11:47par une transformation
11:48de ce groupe de Lorentz
11:49si on veut avoir
11:51l'espoir
11:51que la loi de la physique
11:52tienne la route,
11:53puisqu'une loi de la physique
11:54doit être la même
11:56pour tout le monde.
11:57Si en changeant
11:57de référentiel,
11:58la loi change de forme,
12:00du coup,
12:00on n'a plus vraiment de loi.
12:01C'est-à-dire qu'il n'y a
12:01que des exceptions
12:02et ce n'est plus des lois.
12:05Dernier point,
12:06là ici,
12:06on a travaillé
12:07à une dimension.
12:07Il faut évidemment
12:08généraliser à trois dimensions.
12:09Je ne vais pas faire ça,
12:10mais ce n'est pas très compliqué
12:12non plus.
12:13Mais on peut généraliser
12:14à trois dimensions
12:14et le groupe de Lorentz
12:16finalement s'agrandit.
12:18Il y a d'autres choses.
12:19Il y a aussi
12:19les rotations de l'espace
12:20qui sont des transformations
12:22qui permettent
12:23de garder
12:24toutes ces hypothèses
12:25dont on a parlé.
12:26Il y a aussi
12:27le retournement de l'espace.
12:28C'est un peu ce que j'ai fait
12:29ici puisque je n'étais
12:30qu'à une dimension,
12:31mais le retournement
12:32de l'espace
12:32et nos rotations
12:33dans l'espace,
12:34ce n'est pas toujours
12:35la même chose.
12:36Donc,
12:36retournement de l'espace,
12:37rotation dans l'espace,
12:38tout ça sont des transformations.
12:41Et puis,
12:41à ça s'ajoutent
12:42les translations dans l'espace
12:43et les translations
12:44dans le temps.
12:45Quand j'ajoute
12:45toutes ces transformations-là,
12:47c'est-à-dire
12:47le boost de Lorentz,
12:49les rotations,
12:50les translations dans l'espace,
12:51les translations dans le temps,
12:53je construis un groupe
12:54plus général
12:54qu'on appelle
12:55le groupe de points carrés.
12:56Et donc,
12:58toute loi de la physique,
13:01dans sa version la plus simple,
13:03doit être invariante
13:06par toute transformation
13:07du groupe de points carrés
13:08pour pouvoir espérer
13:09être valide.
13:10Il faut que les lois de la physique
13:11respectent la constitution
13:12qui est en partie ici.
13:16Voilà.
13:16Donc,
13:17toutes ces vidéos
13:17s'achèvent là.
13:19Tout ça pour vous montrer
13:20que la vitesse C,
13:22c'est plus profond
13:23que la vitesse de la lumière.
13:24la lumière n'a rien à voir
13:26avec finalement
13:27la transformation de Lorentz.
13:28La transformation de Lorentz
13:29n'a pas besoin
13:30de la lumière
13:31pour exister.