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00:00C'est là, chouma. Tu es complètement perdu dans les relations de comparaison en ce qui concerne les petits taux et grands taux.
00:06Bouge pas, attends-toi, algébri, explique ça pour toi tout de suite.
00:09Tout d'abord, revenons aux définitions.
00:10On va dire que G est un petit O de F au voisinage de A.
00:14Parfois ici, on notera X flèche A pour dire X tend vers A.
00:17Si la valeur absolue de G divisé par F tend vers 0 quand X tend vers A.
00:21Pour F non nul au voisinage de A, bien sûr.
00:23Autrement dit, intuitivement, c'est dire que G est écrasé par le poids de F quand on est proche de A.
00:28Intuitivement, F devient tellement gros par rapport à G que ce quotient-là devient très petit.
00:35La L3 et le master, on note généralement dans les contextes mathématiques cette relation de cette façon en disant que G est inférieur inférieur à F.
00:42Exemple, le théorème des croissances comparées que vous avez vu en terminale et que vous voyez en bac plus 1 peut se reformuler avec des petits taux
00:48en disant tout simplement que X est un petit taux de l'exponentiel de X en plus l'infini.
00:53Plus l'infini, pardon.
00:54De même, je t'invite à reformuler en commentaire toutes les autres parties du théorème des croissances comparées,
00:58donc avec X puissance n et exponentielle de X, mais aussi la limite en moins l'infini et pareil avec les logarithmes.
01:03Comment faire concrètement pour montrer que quelque chose est un petit taux d'autre chose ?
01:06Méthode.
01:07Est-ce que X5 est un petit taux de X4 quand X tend vers 0 ?
01:10Fait X5 divisé par le truc qui est dans le petit taux, donc par X4.
01:14Je transforme l'expression le plus possible, j'en calcule la limite au voisinage considéré et je montre que cette limite est 0.
01:20Et en faisant ce calcul, je prouve que X5 c'est bien un petit taux de X4 puisque divisé par X4, ça tend vers 0.
01:28A toi de jouer, je te laisse montrer en commentaire que si α est strictement inférieur à β, α et β tous les deux réels,
01:33alors X puissance β est un petit taux de X puissance α.
01:35Et enfin, définition suivante, grand taux de F.
01:38On dira que G est un grand taux de F si et seulement si il existe une constante K et il existe un voisinage de A tel que pour tous X dans ce voisinage,
01:46avec F non nul dans ce voisinage, la valeur absolue de G sur F est inférieure ou égale à K.
01:51Autrement dit, le quotient est borné.
01:53Une autre façon de le voir, c'est de dire que le module de G est contrôlé par K fois le module de F.
01:58Dans la pratique, les grands taux sont un petit peu moins fréquents dans les exercices et les devoirs.
02:02La méthode est toujours la même, on écrit notre expression, on la divise, on met en valeur absolue
02:06et on essaie de majorer ça par une constante suffisamment proche de A.
02:09Donc attention, vous n'avez pas nécessairement à avoir la majoration pour tout X là où c'est défini,
02:15mais simplement dans un voisinage de A puisque c'est ça qui nous intéresse dans la définition du grand taux.
02:19Un petit détail qui explique pourquoi on a plus souvent des petits taux que des grands taux.
02:22Le petit taux est plus précis.
02:24Plus exactement, si G est un petit taux de F, alors G est un grand taux de F.
02:29Mais la réciproque n'est pas vraie évidemment en général.
02:31Pourquoi ? Parce que dire que G est un petit taux de F, c'est dire que ce quotient tend vers 0.
02:35Or quelque chose qui converge au voisinage de A est nécessairement borné.
02:40Donc la valeur absolue de G sur F est majorée par une constante K.
02:43Et ainsi on a bien prouvé cette implication.
02:45Faites-toi de jouer, pour rappel tu dois reformuler les croissances comparées
02:48et tu dois de plus montrer ce résultat en commentaire.
02:51Bisous !