Énigme : comment gagner aux tirs au buts grâce aux probabilités ?

Le Point

Les mathématiques sont souvent considérées comme un drôle de langage avec lequel certains peuvent s'amuser pendant des heures, tandis que d'autres ont des poussées d'urticaire rien qu'à son évocation. Pourtant, les maths sont partout dans notre vie. Et ces dernières recèlent parfois d'étranges casse-têtes.  C'est à ces énigmes que s'est attaqué Antoine Houlou-Garcia, chercheur associé à l'EHESS, auteur de "21 énigmes pour comprendre (enfin !) les maths" (Albin Michel, 2022) et de "Il était une fois le zéro" (Alisio, 2023). Dans une série de vidéos, le fondateur de la chaîne YouTube Arithm'Antique décrypte pour Le Point certains de ces problèmes mathématiques qui ont traversé l'Histoire ou régissent notre quotidien. Au programme de cet épisode : gagner aux tirs au but grâce aux probabilités.  #énigmes #mathématiques #logique  Suivez nous sur : - Youtube : https://www.youtube.com/c/lepoint/ - Facebook : https://www.facebook.com/lepoint.fr/ - Twitter : https://twitter.com/LePoint - Instagram : https://www.instagram.com/lepointfr - Tik Tok : https://www.tiktok.com/@lepointfr - LinkedIn : https://www.linkedin.com/company/le-point/posts/ - www.lepoint.fr

Transcript

00:00 J'espère que vous avez apprécié la première énigme mathématique.

00:02 Voici la deuxième qui s'intitule les tirs au but paradoxaux.

00:05 Imaginez qu'on soit en finale de coupe du monde,

00:08 toute ressemblance avec des faits réels serait purement fortuite,

00:11 et que la finale se décide aux tirs au but.

00:13 Les cinq premiers tireurs ont déjà fait ce qu'il fallait,

00:16 on est à égalité, on est donc à la mort subite.

00:19 L'entraîneur va désigner un joueur pour tirer le sixième tir au but.

00:24 Grâce à ses analystes statistiques, il sait qu'il possède deux joueurs

00:27 qui ont de bonnes probabilités de réussite dans cet exercice.

00:31 Le premier joueur, qu'on va appeler Antoine tout à fait au hasard,

00:35 a un taux de réussite de 82% dans l'exercice.

00:39 Le deuxième joueur, qu'on va appeler Kylian, tout à fait au hasard à nouveau,

00:43 a un taux de réussite de 85% dans le même exercice.

00:48 Il paraît évident que l'entraîneur va donc choisir Kylian.

00:51 Néanmoins, l'entraîneur a des statisticiens qui font un travail assez précis,

00:56 et ils ont regardé non seulement la probabilité de succès

01:00 durant 200 tirs au but de chacun des deux joueurs,

01:03 mais ils ont aussi regardé la probabilité de succès

01:06 face à des gardiens spécialistes de l'exercice

01:08 et face à des gardiens non spécialistes de l'exercice.

01:12 Or, on s'aperçoit d'une chose un peu étrange.

01:14 Face à des gardiens spécialistes des tirs au but,

01:17 Antoine a une probabilité de succès de 77% contre 70% pour Kylian.

01:22 Ainsi, Antoine a une probabilité de succès aux tirs au but supérieure à celle de Kylian

01:27 face aux gardiens spécialistes.

01:28 Face à des gardiens non spécialistes,

01:30 Antoine a une probabilité de succès de 96% contre 90% pour Kylian.

01:36 En d'autres termes, là encore, Antoine a une probabilité de succès plus grande que Kylian.

01:41 Et pourtant, en moyenne, il résulte que bizarrement,

01:44 Kylian a une probabilité de succès supérieure à celle d'Antoine.

01:48 Comment est-ce possible ?

01:50 [SILENCE]

01:54 Alors, est-ce que vous avez trouvé la solution ?

01:57 La solution s'appelle tout simplement le paradoxe de Simpson.

02:00 Il ne s'agit bien sûr pas des Simpsons, la célèbre série télévisée,

02:03 mais de Edward Simpson, un statisticien qui a démontré ce paradoxe en 1951.

02:08 L'idée avec les probabilités et les statistiques,

02:11 c'est de comprendre comment elles ont été construites.

02:13 Sans ça, on ne sait pas trop les interpréter.

02:15 Antoine et Kylian ont tous deux fait deux cents tirs au but face à des gardiens.

02:20 Antoine a tenté 150 tirs au but face à des gardiens spécialistes,

02:24 là où Kylian n'en a tenté que 50 contre ce type de gardien.

02:27 À l'inverse, Antoine a tenté 50 tirs au but contre des gardiens non spécialistes,

02:32 et, à l'inverse, Kylian en a fait 150 contre des non spécialistes.

02:37 Tout ça, ça fait quoi ?

02:38 Eh bien, ça fait qu'en tirant contre des spécialistes,

02:41 on a forcément une probabilité de succès un peu plus faible que contre des non spécialistes.

02:46 En d'autres termes, en n'ayant pas fait tirer le même nombre de tirs au but

02:50 face à des gardiens spécialistes et non spécialistes par Antoine et Kylian,

02:54 eh bien, on a en quelque sorte plombé la moyenne d'Antoine,

02:58 tandis qu'on gonflait la moyenne de Kylian.

03:01 Au final, certes, l'un et l'autre ont tiré le même nombre de tirs au but,

03:04 mais pas dans les mêmes conditions.

03:06 C'est ce qui fait que quand on calcule la probabilité moyenne de réussite de l'un et de l'autre,

03:11 eh bien, on obtient un effet contradictoire.

03:12 Alors que Antoine est meilleur dans chacune des catégories,

03:15 il résulte moins bon en moyenne.

03:18 Si vous voulez en savoir plus sur ce genre de paradoxes,

03:20 vous pouvez consulter 21 énigmes pour comprendre enfin les maths,

03:23 que j'ai eu le plaisir de co-signer avec Thierry Maugenet.

03:26 [Musique]

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