Énigme : un monde où tout le monde gagne

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l’année dernière

Les mathématiques sont souvent considérées comme un drôle de langage avec lequel certains peuvent s'amuser pendant des heures, tandis que d'autres ont des poussées d'urticaire rien qu'à son évocation. Pourtant, les maths sont partout dans notre vie. Et ces dernières recèlent parfois d'étranges casse-têtes.

C'est à ces énigmes que s'est attaqué Antoine Houlou-Garcia, chercheur associé à l'EHESS, auteur de "21 énigmes pour comprendre (enfin !) les maths" (Albin Michel, 2022) et de "Il était une fois le zéro" (Alisio, 2023). Dans une série de vidéos, le fondateur de la chaîne YouTube Arithm'Antique décrypte pour Le Point certains de ces problèmes mathématiques qui ont traversé l'Histoire ou régissent notre quotidien. Au programme de cet épisode : un monde où tout le monde gagne.

#énigmes #mathématiques #logique

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00:00 J'espère que les trois premières énigmes vous ont plu.

00:02 Voici la quatrième qui s'appelle "Un monde où tout le monde gagne".

00:05 Alors voici une élection avec quatre candidats à BCD

00:08 et douze électeurs numérotés tout bêtement de 1 à 12.

00:11 Chacun vote pour le candidat qu'il préfère.

00:14 C'est assez banal.

00:15 Dans ce cas, il paraît clair que c'est le candidat D qui doit gagner puisqu'il a 6 voix sur 12.

00:20 Premier énigme, est-il possible à votre avis

00:24 de changer la règle électorale pour faire en sorte que le candidat C gagne ?

00:30 Il faut essayer de penser à la manière dont se passent les élections législatives en France.

00:34 Deuxième énigme, et puis après je vous donnerai la réponse à la première et la deuxième.

00:39 Maintenant, on complexifie les choses.

00:40 On ne demande plus aux électeurs de voter pour une personne

00:44 mais on leur demande de classer l'ensemble des candidats par ordre de préférence.

00:48 Par exemple, le premier électeur préfère D en première position

00:52 puis ensuite en deuxième position il préfère A et ainsi de suite.

00:56 Avec cette information plus riche sur les préférences des électeurs quant à leur candidat,

01:00 est-ce que vous pouvez imaginer une règle électorale qui fasse gagner B

01:05 puis une règle électorale similaire, mais pas tout à fait identique, qui fasse gagner A ?

01:10 Et si vous réussissez à faire ça, vous aurez réussi à faire gagner tous les candidats,

01:14 les quatre candidats A, B, C, D, avec une même expression des préférences de la part des électeurs.

01:21 Ce qui montre bien que parfois on peut faire gagner qui on veut,

01:26 il suffit de choisir la bonne règle électorale.

01:30 Pour arriver à faire gagner B et puis pour arriver à faire gagner A,

01:35 il faut essayer de penser à la manière dont le concours de l'Eurovision fonctionne.

01:39 Alors, est-ce que vous avez trouvé ?

01:46 Pour la première question et pour faire donc gagner le candidat C,

01:49 il faut penser, je vous l'ai dit, aux législatives.

01:52 Législatives, comment elles fonctionnent ?

01:53 Elles ne fonctionnent pas en mettant tout dans le même sac.

01:57 Elles fonctionnent en divisant les votes par circonscriptions.

02:00 Et bien c'est exactement ce qu'on va essayer de faire.

02:03 Faire trois circonscriptions qui permettent d'optimiser la performance du candidat C,

02:08 qu'on veut faire gagner à tout prix,

02:10 et de faire sous-performer le candidat D dans le même temps.

02:13 Le premier groupe va être composé des électeurs 1, 3, 5, 6.

02:17 Ces quatre électeurs votent tous pour D.

02:20 Donc, dans ce groupe-là, le groupe jaune, D va gagner avec 100% des votes.

02:26 En faisant ça, on va réduire l'impact de D sur les deux autres groupes.

02:31 Le deuxième groupe est composé des électeurs 2, 4, 8, 9.

02:34 C'est le groupe rouge, dans lequel deux électeurs votent pour le candidat C,

02:38 et le candidat D, lui, n'obtient qu'une seule voix.

02:40 Donc le candidat C gagne avec une majorité pile poil 50%.

02:45 Et puis le troisième groupe, ici en vert, est composé des électeurs 7, 10, 11, 12.

02:51 Il a les mêmes caractéristiques que le précédent,

02:53 deux électeurs qui votent pour le candidat C, et un seul qui vote pour D.

02:58 Donc, là encore, le candidat C gagne l'élection.

03:02 Ainsi, on a deux groupes où le candidat C gagne avec 50%,

03:07 vraiment le minimum nécessaire pour gagner,

03:10 et un seul groupe où gagne le candidat D, par contre lui, il gagne avec 100%.

03:14 En faisant comme ça, on a fait surperformer C et sousperformer D.

03:19 Et comme ça, on arrive à faire gagner C grâce à ce qu'on pourrait ici appeler un charcutage électoral.

03:24 Alors maintenant, comment on va faire gagner le candidat B avec l'information complémentaire

03:28 dont on fait voter sur toute la liste des candidats, chaque électeur ?

03:32 Je vous ai dit qu'il fallait penser à l'Eurovision.

03:33 Ça marche comment l'Eurovision ?

03:35 Vous pourriez penser aussi au ballon d'or, par exemple, qui a un fonctionnement très similaire.

03:38 C'est ce qu'on appelle, en fait, en théorie du vote, la méthode de Borda,

03:41 qui consiste à distribuer des points en fonction du classement qu'obtiennent les candidats.

03:46 Faisons très simple. On va donner 4 points à celui qui arrive en tête,

03:51 3 points à celui qui arrive en deuxième position, 2 points à celui qui arrive en troisième,

03:54 et un seul petit point à celui qui arrive en dernier dans la liste de chaque électeur.

03:59 Ce qui signifie que pour l'électeur 1, par exemple, le candidat D gagne 4 points.

04:04 Il ne gagne en revanche que 2 points grâce à l'électeur numéro 2.

04:08 Il gagne à nouveau 4 points grâce à l'électeur numéro 3.

04:11 Il ne gagne qu'un point grâce à l'électeur numéro 4, et ainsi de suite.

04:14 On fait l'addition de tout ça, et puis on voit un peu ce que ça donne.

04:17 Et si on fait cette répartition des points 4, 3, 2, 1,

04:21 qui est vraiment celle de l'Eurovision s'il n'y avait que 4 pays,

04:23 on remarque que A obtient 26 points, il arrive bon dernier.

04:26 C et D obtiennent 31 points, ils sont deuxième ex aequo,

04:29 et B arrive premier avec 32 points.

04:32 Maintenant, comment on va faire pour essayer de faire gagner A ?

04:35 Ce qu'on remarque, c'est que A n'est presque jamais en dernière position.

04:38 Une seule fois. C'est vraiment pas beaucoup.

04:40 Donc, on va essayer de donner le moins de points possible,

04:43 mais vraiment pas beaucoup du tout, à la dernière position,

04:46 et puis essayer de répartir les autres de façon intelligente.

04:49 Ce qu'on peut commencer par faire, c'est déjà donner 0 points

04:52 quand on arrive en dernière position.

04:53 Et puis, on va essayer de gonfler les notes des places un peu plus hautes,

04:58 comme ça on va essayer de faire sortir du lot le candidat A.

05:01 On va mettre par exemple 10 points pour une première position,

05:04 9 pour une deuxième, 8 pour une troisième, et donc 0 pour la quatrième place.

05:09 Et là, on s'aperçoit que A gagne à son tour.

05:12 Il obtient en effet 91 points, juste devant B, qui en compte 90.

05:19 Et voilà comment, au final, on a réussi à faire gagner nos 4 candidats,

05:22 alors qu'on n'a jamais fait changer l'opinion de nos électeurs.

05:26 Voilà comment on peut être très malin en mathématiques électorales

05:29 et faire gagner à peu près n'importe qui dans certaines situations.

05:33 [Musique]

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