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00:00Quatre, les fonctions de référence.
00:03Alors, les fonctions affines étudiées en classe de seconde.
00:07Donc, A définition et propriété, définition d'une fonction affine.
00:11Donc, on vous dit qu'une fonction affine f est une fonction définie sur moins l'infini plus l'infini,
00:16c'est-à-dire qu'elle est définie pour tout nombre réel
00:18qui peut s'écrire pour tout réel x sous la forme f de x égale mx plus p.
00:24Donc, toutes les fonctions affines peuvent s'écrire sous cette forme là,
00:28f de x égale mx plus p avec m et p de nombre réel.
00:32Alors, le réel m, ça s'appelle le coefficient directeur de la fonction f.
00:38Donc, m, attention, c'est ce qui multiplie le x.
00:41Le réel m, c'est le nombre qui multiplie le x et il s'appelle le coefficient directeur.
00:48Et le réel p, ça s'appelle l'ordonnée à l'origine de f.
00:53Alors, qu'est-ce que ça veut dire l'ordonnée à l'origine ?
00:55Ça veut dire que p, en fait, c'est l'image de 0 par f.
00:59Donc, en effet, regardez, on prend la fonction affine f de x égale mx plus p,
01:03si on calcule l'image de 0, donc l'image de 0 par une fonction, c'est f de 0,
01:08on remplace le x par 0, donc ça donne m fois 0 plus p, et ce qui donne p.
01:13Donc, c'est ça l'ordonnée à l'origine, c'est l'image de 0.
01:16Donc, on vous demande pour chaque fonction affine,
01:18identifier la valeur du coefficient directeur m,
01:22donc, je répète, le m, c'est ce qui multiplie le x,
01:25et la valeur de l'ordonnée à l'origine p, donc p, en fait, c'est l'image de 0 par f.
01:31Et donc, premier cas, la première fonction affine, on a f de x
01:36qui est égale à 4x plus 7, donc le coefficient directeur m vaut 4,
01:41car c'est le nombre réel qui multiplie le x,
01:44et la valeur de p, donc si vous avez un doute, ce que j'écris là, c'est au brouillon,
01:48donc si vous avez un doute, vous calculez f de 0, l'image de 0,
01:52ce qui donne 4 fois 0 plus 7, et ce qui donne 7,
01:56donc p, c'est l'image de 0, ça vaut 7.
02:01Ensuite, f de x égale à moins 2x, moins 2,8x moins 3,
02:05le coefficient directeur, c'est le nombre réel qui multiplie le x,
02:09donc ici, c'est moins 2,8, et l'image de 0, f de 0,
02:14c'est donc moins 2,8 fois 0, moins 3, ce qui donne moins 3,
02:20donc la valeur de p vaut moins 3.
02:23Alors ici, f de x égale à x moins 5,8,
02:27quel est le nombre réel qui multiplie le x ?
02:30Alors non, ce n'est pas 0, en effet, si on avait 0, 0 fois x,
02:35ça donne 0, donc là, il n'y aurait même pas de x ici,
02:38donc là, quand j'ai x, qu'est-ce qui multiplie le x ?
02:41x, je rappelle, c'est 1 fois x,
02:44donc ça, vous pouvez l'écrire en rouge,
02:46ça, c'est pareil que 1 fois x, moins 5,8,
02:51donc le coefficient directeur, c'est 1,
02:55et l'image de 0, pareil, vous calculez f de 0,
02:58c'est donc 0, moins 5,8, ce qui donne moins 5,8,
03:04donc la valeur de p, l'ordre de la réunion, vaut moins 5,8.
03:08Allez, ici, le coefficient directeur, le nombre réel qui multiplie le x,
03:12c'est racine carré de 2,
03:13et l'image de 0, je vous laisse la calculer, f de 0, vous trouvez un tiers,
03:17et un tiers, c'est bien un nombre réel.
03:20Alors, ici, f de x égale 5,
03:24que vaut le coefficient directeur, quel est le nombre qui multiplie le x ?
03:27Oui, c'est 0,5, donc vous pouvez l'écrire, c'est 0 fois x,
03:34plus 5,
03:35donc le coefficient directeur, ici, vaut 0,
03:39et l'ordre donné à l'origine, l'image de 0, si on calcule f de 0,
03:42on remplace x par 0, ça fait 0 fois 0, plus 5,
03:45ce qui donne 5, donc ici, la valeur de p vaut 5.
03:49Alors, ici, f de x égale moins x plus 11,
03:52le nombre réel qui multiplie le x, moins x,
03:54pareil, si vous ne savez pas, vous l'écrivez, moins x, c'est moins 1,
03:57fois x, plus 11,
04:00donc moins x plus 11, c'est moins 1 fois x plus 11,
04:03donc la valeur du coefficient directeur, c'est moins 1,
04:06et la valeur de l'image de 0, c'est 11, p vaut 11.
04:12Ensuite, moins 10x,
04:13donc moins 10x, le nombre réel qui multiplie le x, c'est moins 10,
04:18et l'image de 0, donc je vous laisse la calculer, f de 0,
04:20c'est donc moins 10 fois 0, ce qui donne 0,
04:23donc ici, la valeur du réel p vaut 0.
04:27Alors, ici, la fraction 5x plus 2, le tout sur 3,
04:32donc je rappelle, propriété des fractions étudiées en cinquième,
04:355x plus 2 divisé par 3, c'est égal à 5x sur 3,
04:41plus 2 sur 3,
04:43en effet, vous savez que quand deux fractions ont le même dénominateur,
04:475x sur 3 plus 2 sur 3, c'est égal à 5x plus 2, le tout sur 3,
04:52on peut couper la fraction en deux,
04:55et 5x sur 3, ça, vous pouvez écrire que c'est pareil que 5 tiers de x,
05:02plus 2 tiers,
05:05en effet, 5 tiers fois x, c'est pareil que 5x sur 3,
05:08et donc le coefficient directeur, le nombre réel qui multiplie le x, c'est 5 tiers,
05:13et l'image de 0, donc vous pouvez la calculer, f de 0,
05:16c'est donc 5 tiers fois 0 plus 2 tiers,
05:20et ce qui donne bien 2 tiers,
05:22donc la valeur de l'ordinaire d'origine vaut 2 tiers,
05:26et ici, on a bien une fonction affine, mais il faut d'abord développer,
05:30donc on effectue la simple distributivité, 3 fois x, ça donne 3x,
05:353 fois moins 7, 3 fois moins 7, donc moins 21,
05:38et il ne faut pas oublier le plus 2,
05:40donc ça, c'est égal à 3x moins 19,
05:44donc ici, la valeur du coefficient directeur, le nombre réel qui multiplie le x, c'est 3,
05:48et la valeur de l'ordinaire d'origine, je vous laisse calculer, f de 0, on trouve moins 19.
05:54Ensuite, qu'est-ce que l'on nous dit ?
05:57Le cas particulier, donc soit f une fonction affine, on a f de x égal à mx plus p,
06:01si le coefficient directeur vaut 0,
06:04donc ça veut dire que la fonction, ça donne 0 fois x qui donne 0 plus p,
06:07donc on obtient une fonction constante qui vaut toujours p,
06:10et ici, p vaut 0, donc là, vous remplacez p par 0, donc on a une fonction linéaire,
06:15et en effet, on a pour tout réel, f de x égal à mx,
06:18donc ça, ce sont des cas particuliers de fonctions affines.
06:20Ensuite, exemple de fonctions qui ne sont pas affines,
06:22donc par exemple, la fonction f ici, ce n'est pas une fonction affine,
06:25en effet, on a du x au carré, donc ce n'est pas une fonction affine,
06:29pareil en dessous, on a du x au cube, donc ce n'est pas une fonction affine,
06:32et la fonction h, ce n'est pas une fonction affine,
06:34pour l'inverse, on a du cosinus, c'est cos d'une fonction, donc ce n'est pas une fonction affine.
06:38Ensuite, qu'est-ce que c'est que la courbe représentative d'une fonction affine ?
06:43Il faut la connaître, la courbe représentative d'une fonction affine,
06:45c'est une droite non-verticale du plan.
06:49On l'a vu au chapitre 3, les équations réduites de droite,
06:52on se souvient que les équations réduites de droite, c'est y égal à mx plus p,
06:55donc en fait, pour une fonction affine, sa courbe représentative, c'est une droite non-verticale.
06:59Et réciproquement, une droite non-verticale du plan est la courbe représentative d'une fonction affine.
07:05Comment on trace la courbe représentative d'une fonction affine ?
07:07Pour représenter une fonction affine, il suffit de placer deux points A et B,
07:11tel que l'ordonnée de A, c'est f2xa, et l'ordonnée de B, c'est f2xb,
07:15puis de tracer la droite passant par ces deux points.
07:17C'est comme dans le chapitre précédent,
07:21si j'ai la fonction affine, je ne sais pas, f2x égale 2x moins 5,
07:25vous savez que c'est une fonction affine,
07:27sa courbe représentative est une droite, donc on va calculer par exemple l'image de 0,
07:32f de 0, c'est donc 2x0 moins 5, ce qui donne moins 5,
07:37donc on retrouve la valeur de p, et on calcule une deuxième image, par exemple la f de 3,
07:41donc 2x3 moins 5, ce qui donne 6, moins 5, ce qui donne 1,
07:45et hop, on place deux points dans un repère ordonnais, 0, 1,
07:502, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3,
07:55donc on a montré que l'image de 0 vaut moins 5,
07:59moins 1, moins 2, moins 3, moins 4, moins 5,
08:02c'est à dire que j'ai un point A ici,
08:05et l'image de 3, 1, 2, 3 vaut 1, donc j'ai un point B ici,
08:09hop, on a deux points, on peut tracer la courbe représentative de la fonction affine.
08:13Donc c'est tout, pour tracer la courbe représentative d'une fonction affine,
08:15on calcule l'image de deux points, on calcule l'image de deux valeurs,
08:20et on place les points correspondants.
08:23Et donc, variation d'une fonction affine,
08:25je rappelle que les variations d'une fonction, c'est dire si une fonction
08:29est croissante, décroissante, ou constante sur un intervalle,
08:33et le mot important c'est que les variations, il faut donner les intervalles,
08:37pour une fonction, donc propriété sens de variation d'une fonction affine,
08:41soit f une fonction affine définie sur R par f2x égale à mx plus p,
08:44on distingue trois cas, le premier cas, le coefficient directeur est strictement positif,
08:49donc être strictement plus positif, c'est être plus grand que 0,
08:53donc on vous dit que si le coefficient directeur est strictement positif,
08:56donc s'il est plus grand que 0, alors la fonction affine est strictement croissante sur R,
09:01et R c'est l'intervalle moins l'infini plus l'infini.
09:04Et donc on a le tableau de variation, donc les x vont de moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
09:09et je rappelle que l'axe des x, c'est l'axe des abscisses,
09:11donc l'axe des x, on le lit ici, graphiquement.
09:15Donc quand je parle de moins l'infini, c'est là, et de plus l'infini, c'est ici.
09:19Donc quand x va de moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
09:23et attention on veut les variations de la fonction, donc là c'est les variations de f,
09:28que fait notre fonction ?
09:29Et là, elle ne fait qu'augmenter, et augmenter pour une fonction, ça veut dire être strictement croissante,
09:34donc j'ai une fonction affine strictement croissante.
09:39Et c'est cohérent avec ce qu'on a étudié, alors si le coefficient directeur est positif,
09:44ça signifie que lorsque j'avance d'une unité en abscisse,
09:48en ordonnée, vous savez qu'on monte du coefficient directeur.
09:52Et on peut continuer ainsi de suite, lorsque j'avance d'une unité en abscisse,
09:55en ordonnée, on monte du coefficient directeur.
09:57Donc si le coefficient directeur est positif, ça veut dire que la fonction affine sera strictement croissante,
10:03sur moins l'infini plus l'infini.
10:06Et deuxième cas, si le coefficient directeur est négatif,
10:10c'est-à-dire que le m est plus petit que 0, et est inférieur à 0,
10:13alors la fonction affine sera strictement décroissante sur r.
10:18Et donc pour x allant de moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
10:24la fonction affine sera strictement décroissante, donc flèche vers le bas.
10:30Et cela est parfaitement cohérent, parce que l'on sait que si le coefficient directeur est négatif,
10:34c'est-à-dire que quand je vais avancer d'une unité en abscisse, en ordonnée,
10:39on va descendre du coefficient directeur.
10:44Je vous laisse lire les démonstrations.
10:47Et on a le troisième cas, si le coefficient directeur vaut 0,
10:51ça signifie qu'on a une fonction constante, donc être constante c'est une fonction qui vaut toujours la même valeur.
10:56Si le coefficient directeur vaut 0,
11:00ça signifie que lorsque j'avance d'une unité en abscisse,
11:06en ordonnée, on monte de 0. Donc en fait j'ai une fonction qui est constante.
11:11Donc voilà les trois cas.
11:14Coefficient directeur positif, fonction affine, strictement croissante.
11:16Coefficient directeur négatif, fonction affine, strictement décroissante.
11:19Et si le coefficient directeur vaut 0, j'ai une fonction affine qui est constante.
11:31Application 2, déterminer le sens de variation des fonctions affines suivantes.
11:37Justifier. Donc pour avoir la justification, c'est juste dire que vaut le coefficient directeur.
11:42Donc ici, la fonction affine (-3x plus 5), le coefficient directeur, ce qui multiplie l'x, vaut au moins 3.
11:48Et ça c'est négatif, le coefficient directeur.
11:51Donc dans votre tête, qu'est-ce qu'on imagine ? Le coefficient directeur vaut au moins 3.
11:55Donc voilà ce que je vois dans ma tête, je vous le montre.
11:58Ça signifie que lorsque j'avance d'une unité en abscisse,
12:02je descends de 3 unités en ordonnée. Quand j'avance d'un abscisse, je descends de 3 en ordonnée.
12:08Donc on écrit sur une copie, comme le coefficient directeur m vaut au moins 3, ce qui est négatif,
12:12ça signifie que sur l'intervalle moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
12:18la fonction affine, donc la fonction f, sera strictement décroissante.
12:24Et ça, c'est ce que je vois dans ma tête ici. Donc je vous montre ici ce qu'il y a dans ma tête,
12:28et voici ici la réponse qu'il faut écrire sur votre feuille.
12:33Ensuite ici, pour la fonction g, j'ai g2x égale 4 moins x.
12:37Quel est le coefficient directeur ici ? Qu'est-ce qui multiplie le x ?
12:41Donc ça on peut le réécrire, g2x c'est 4, et moins x c'est moins 1 fois x.
12:48Donc là attention, le coefficient directeur c'est moins 1. Donc sur une copie on écrit m,
12:53le coefficient directeur vaut moins 1, ce qui est négatif.
12:56Et donc dans votre tête, vous devez absolument voir ça,
13:00ça signifie que lorsque j'avance d'une unité en abscisse, en ordonnée, je descends de 1.
13:05Donc c'est-à-dire pour x allant de moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
13:10la fonction g sera strictement décroissante.
13:16Soit h, la fonction définie sur R par g, x égale x divisé par 4 plus 3,
13:20donc ça on peut l'écrire autrement, x divisé par 4 plus 3, c'est pareil que 1 quart de x plus 3.
13:30En effet, 1 quart de x, c'est pareil que x divisé par 4.
13:33Quand vous divisez par 4 une quantité, c'est pareil que prendre 1 quart d'une quantité.
13:37Et de plus, 1 fois x ça donne x, donc x sur 4 c'est pareil que 1 quart de x.
13:42Donc là on écrit que le coefficient directeur m vaut 1 quart,
13:46et 1 quart vous savez que c'est égal à 0.25, donc ça c'est positif.
13:50Et donc dans votre tête, voici ce qu'on imagine,
13:54ça signifie que lorsque j'avance d'une unité en abscisse,
13:58en ordonnée je monte de 1 quart, donc je monte de 0.25.
14:02Et donc, pour x allant de moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
14:07la fonction h est strictement croissante.
14:11Donc j'insiste, ce que vous devez écrire vous sur votre copie,
14:15c'est ce que j'entoure en vert, c'est ça que vous devez écrire.
14:22Ce qu'il y a entouré en rouge, c'est ce que moi je visualise dans ma tête,
14:27et c'est ce que vous devez avoir en tête lorsque vous répondez à la question.
14:33Ensuite, soit k la fonction définie par k²x égale à moins x sur 3,
14:37donc ça moins x sur 3 c'est pareil que moins 1 tiers de x.
14:43Moins x divisé par 3 c'est pareil que moins 1 tiers de x.
14:46Donc là le coefficient directeur m vaut moins 1 tiers,
14:49et ce qui est négatif, moins 1 tiers c'est un nombre négatif,
14:52qui vaut environ, attention, environ moins 0.33.
14:56Donc c'est le coefficient directeur est négatif,
14:58donc pareil là c'est ce qu'il y a dans ma tête.
15:01Ça signifie que lorsque j'avance d'une unité en abscisse,
15:04je descends de moins 1 tiers en ordonnée.
15:08Donc pour x allant de moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
15:12la fonction k sera strictement décroissante.
15:17Alors soit l la fonction définie sur R par l²x égale à moins 2,5,
15:21donc ici que vaut le coefficient directeur, donc on rajoute que l²x,
15:24ça c'est pareil que moins 2,5 plus 0 fois x.
15:28Donc là le coefficient directeur vaut 0,
15:30donc comme m vaut 0 dans votre tête,
15:34qu'est-ce qu'on imagine, le coefficient directeur vaut 0,
15:37donc ça signifie que lorsque j'avance d'une unité en abscisse,
15:44quand j'avance d'une unité en abscisse, en ordonnée je monte de 0.
15:48Donc en fait j'ai une fonction qui est constante,
15:51donc ma fonction affinée est constante,
15:53donc pour x allant de moins l'infini à plus l'infini,
15:56ma fonction affinée est constante, donc flèche horizontale.
16:05Et soit que la fonction définie sur R par q²x égale à x moins 4 sur 6,
16:09donc on va d'abord décomposer la fraction en deux,
16:12x moins 4 sur 6 c'est pareil que x sur 6 moins 4 sur 6,
16:17et x divisé par 6 c'est pareil qu'un sixième de x,
16:21en effet x si on divise par 6, divisé par 6 c'est pareil que prendre un sixième d'une quantité,
16:26donc c'est un sixième de x moins 4 sixièmes.
16:30Et donc là le coefficient directeur m vaut un sixième,
16:33et un sixième c'est un nombre qui est positif, ça vaut environ 0,17,
16:38et donc pour x allant de moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
16:42comme le coefficient directeur est positif,
16:44c'est-à-dire que quand j'avance de R en abscisse je vais monter d'environ un sixième,
16:47d'un sixième en ordonnance,
16:49donc ma fonction Q sera strictement croissante sur moins l'infini plus l'infini.
16:54Et là, pardon, la fonction ici elle s'appelait L.
16:58Donc voilà pour les variations d'une fonction affine.
17:03Ensuite on passe au tableau de signes d'une fonction affine,
17:06donc signe de f de x égale à 1.000.000.000.000,
17:08donc je rappelle le signe d'une fonction,
17:10c'est déterminer pour quelle valeur de x la fonction est positive,
17:14pour quelle valeur de x la fonction vaut 0,
17:16et pour quelle valeur de x la fonction est négative.
17:19Donc le signe de la fonction, c'est dire qu'elle est positive, nulle ou négative.
17:23Donc swipe de x égale mx plus p une fonction affine,
17:26et donc on va distinguer deux cas.
17:29Donc le premier cas, si mon coefficient directeur est positif,
17:33pour avoir le tableau de signes d'une fonction,
17:39je dois résoudre d'abord lorsque cette dernière vaut 0.
17:43Donc je résouds d'abord lorsque la fonction est égale à 0.
17:46Cela revient déterminer les antécédents de 0 par f.
17:49Donc je résous lorsque ma fonction est égale à 0, f de x égale 0,
17:52ce qui donne mx plus p égale 0,
17:55moins p à gauche, moins p à droite,
17:58et ensuite mx, on divise par m à gauche, on divise par m à droite,
18:02et on trouve que x égale moins p sur m.
18:04Ainsi, moins p sur m est l'antécédent de 0 par f.
18:08Donc concrètement, ça signifie que lorsque x vaut moins p sur m,
18:13f de x, son image, vaut 0.
18:16Et ensuite, pour dresser le tableau de signes,
18:19on va résoudre lorsque la fonction, ici, est strictement plus grande que 0.
18:22Donc c'est là qu'on résout lorsque f de x est strictement positif.
18:27Et donc f de x est strictement positif,
18:29ça donne donc mx plus p strictement plus grand que 0,
18:33moins p à gauche, moins p à droite,
18:35et ensuite on divise par m à gauche, on divise par m à droite,
18:38et on ne change pas le sens des inégalités,
18:42car on divise par un nombre positif,
18:44donc quand on divise par un nombre positif, on ne change pas.
18:47Et donc ça signifie que pour x strictement plus grand que moins p sur m,
18:52donc strictement supérieur à moins p sur m,
18:54donc les nombres strictement plus grands que moins p sur m
18:57vont de moins p sur m exclu jusqu'à plus l'infini,
19:01la fonction f de x est strictement plus grande que 0.
19:05Et donc on peut dresser le tableau de signes de la fonction affine.
19:10Donc on écrit x, vu que c'est une fonction affine,
19:14elle est définie sur moins l'infini plus l'infini,
19:17et là on ne veut pas les variations mais le signe,
19:20donc signe de f de x,
19:26et on utilise les informations que l'on a trouvées précédemment,
19:30donc on reprend ce qu'on a trouvé précédemment ici,
19:32donc on a montré que lorsque x est égal à moins p sur m,
19:36donc dans mon tableau de signes quand x vaut moins p sur m,
19:41la fonction f de x est égale à 0.
19:44Donc quand x vaut moins p sur m, f de x vaut 0.
19:48Donc ça c'est un 0 et on met, hop,
19:50par convention des petits traits pour couper en deux le tableau de signes.
19:53Et ensuite, ici on a montré que lorsque x est strictement supérieur à moins p sur m,
20:01donc là il faut y aller tranquillement,
20:03x strictement plus grand que moins p sur m,
20:05les nombres strictement plus grands que moins p sur m se trouvent ici.
20:11Donc quand x est strictement plus grand que moins p sur m,
20:14donc ça veut dire que ça va de moins p sur m à plus l'infini,
20:17on a montré que f de x est strictement positive,
20:21donc la fonction ici f de x est strictement positive,
20:24donc signe plus.
20:26Et donc, lorsque x va être strictement inférieur à moins p sur m,
20:30la fonction affine sera strictement négative.
20:35Et, il y a une deuxième méthode pour vérifier ce que l'on vient de trouver,
20:39on peut s'aider d'un graphique.
20:42On sait qu'ici que le coefficient directeur est strictement positif,
20:46donc d'après ce que l'on a vu avant,
20:48la fonction affine est strictement croissante sur R.
20:53Et donc, ici, j'ai l'antécédent de 0 par f.
21:00Ici, on est à la valeur moins p sur m.
21:04En effet, c'est ce qu'on a montré, quand l'axe de x est là,
21:07quand x vaut moins p sur m,
21:09la fonction affine vaut 0,
21:11donc son image vaut 0, donc on est là.
21:13Et après, si on regarde son tableau de signes,
21:16on a bien d'abord une image qui est négative,
21:21et ensuite, on a bien une image qui va être positive.
21:27Donc la représentation graphique est parfaitement cohérente avec le tableau de signes.
21:34Et dans le deuxième cas,
21:36on prend le cas où le coefficient directeur est strictement négatif.
21:40Pour dresser le tableau de signes, on résout,
21:42lorsque f de x vaut 0, ce qui donne mx plus p égale 0,
21:45moins p à gauche, moins p à droite,
21:47et on divise par m.
21:48Ça, ça ne change pas.
21:49Ainsi, moins p sur m est l'antécédent de 0 par f.
21:55Et ensuite, on résout lorsque la fonction affine est strictement supérieure à 0,
22:00donc lorsque f de x est strictement positive.
22:04Et c'est là, il va falloir surligner en rouge,
22:07donc ça donne mx plus p strictement plus grand que 0,
22:09mx strictement plus grand que p.
22:11Et là, pour avoir le x, on va diviser par m à gauche,
22:14et on va diviser par m à droite.
22:16Sauf qu'ici, m, il est négatif,
22:19et vous savez très bien,
22:21donc là, vous rajoutez,
22:23lorsque l'on divise ou multiplie par un nombre négatif,
22:26le sens des inégalités change.
22:29Donc là, comme j'ai divisé par un nombre négatif,
22:32on change le sens des inégalités.
22:36Et donc, on obtient cela.
22:38On obtient x strictement inférieur à moins p sur m.
22:41Et les x strictement inférieurs à moins p sur m vont de moins l'infini jusqu'à moins p sur m exclu.
22:47Et donc, on peut dresser le tableau de signe de cette fonction affine.
22:52J'ai x qui va de moins l'infini jusqu'à plus l'infini.
23:00J'ai le signe de f de x.
23:09On reprend la première étape.
23:11On a montré que lorsque x est égale à moins p sur m,
23:14donc quand x vaut moins p sur m,
23:18f de x est égale à 0.
23:21Donc quand x vaut moins p sur m, f de x vaut 0.
23:24Donc ça c'est un 0 et hop, on met des petits traits.
23:27Et ensuite, c'est là où ça va changer.
23:30Lorsque x est strictement inférieur à moins p sur m,
23:35donc les x qui sont inférieurs à moins p sur m se trouvent ici.
23:40x strictement inférieur à moins p sur m, je me trouve entre moins l'infini et moins p sur m exclu.
23:45Donc lorsque x est dans cet intervalle là,
23:48f de x, la fonction est strictement positive.
23:52Donc signe plus, et donc sur moins p sur m plus l'infini, signe moins.
23:59Et on vérifie la cohérence avec une courbe représentative.
24:04On sait qu'ici, que le coefficient directeur est négatif,
24:08donc comme le coefficient directeur est négatif, ça signifie que quand j'avance d'une unité en massif,
24:11je vais descendre du coefficient directeur en ordonnée.
24:14Donc j'aurai une fonction affine strictement décroissante.
24:17Et donc à cet endroit là, c'est l'axe des x,
24:22on a vu que quand x vaut moins p sur m,
24:26la fonction f de moins p sur m vaut 0,
24:29donc là je suis à moins p sur m.
24:31Et donc de moins l'infini, je rappelle le moins l'infini, ça se lit là,
24:34donc de moins l'infini jusqu'à moins p sur m, j'aurai d'abord une image positive.
24:41Et ensuite de moins p sur m jusqu'à plus l'infini, j'aurai une image négative.
24:48Donc c'est parfaitement cohérent.
24:51On va faire l'application 3.
24:56Donc application directe 3, on vous donne soit f définie sur R par f de x,
25:00également à 5x plus 10.
25:02Donc quelle est la nature de cette fonction ?
25:04C'est mx plus p, donc f est affine,
25:07donc f est une fonction affine,
25:13avec pour coefficient directeur le rel m, c'est moins 5,
25:18et pour ordonner à l'origine, p c'est l'image de 0,
25:21f de 0 moins 5x0 plus 10 qui vaut 10.
25:26Et donc vous savez que sa courbe représentative est une droite.
25:31Question 2, on vous demande de dresser le tableau de variation de f en justifiant.
25:36Donc on écrit en justifiant que comme le coefficient directeur m vaut moins 5,
25:39ce qui est strictement négatif.
25:41Donc là ce que je vais faire, c'est ce que je visualise dans ma tête,
25:44donc c'est pas à faire sur une copie, c'est vraiment à vous de visualiser.
25:47Donc ça signifie, voici comment je visualise cela,
25:50comme le coefficient directeur vaut moins 5,
25:52ça signifie que lorsque j'avance d'une unité en abscisse,
25:55en ordonnée je descends de 5 unités.
25:58Donc ça signifie l'axe des x est ici,
26:00pour x allant de moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
26:04j'aurai une fonction strictement décroissante.
26:07Donc voilà ce qu'on écrit sur une copie.
26:09Comme le coefficient directeur m également est négatif,
26:12ça veut dire que pour x allant de moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
26:17la fonction f sera strictement décroissante.
26:25Et ensuite question 3, on vous demande de dresser le tableau de signe
26:29de la fonction affine.
26:31Et ensuite je vais vous montrer comment vérifier le résultat,
26:34ou comment s'en sortir si vous avez un doute le jour du contrôle.
26:37Donc déjà il faut résoudre lorsque f de x est égal à 0,
26:40on résout lorsque notre fonction vaut 0.
26:42Donc f de x égale 0, ça donne moins 5x plus 10 égale 0.
26:49Et donc ça donne moins 5x égale moins 10 à gauche moins 10 à droite,
26:54et moins 5x est moins 5 fois x,
26:57donc on divise par moins 5 à gauche,
26:59et on divise par moins 5 à droite,
27:02et on trouve que x vaut moins 10 divisé par moins 5,
27:05et donc on trouve que x vaut 2.
27:08Donc concrètement qu'est-ce qu'on a montré ici ?
27:11Vous avez montré que quand x vaut 2, f de x vaut 0.
27:15Donc c'est dire que l'antécédent de 0 c'est 2.
27:18Et ensuite on résout lorsque la fonction f de x est strictement positive,
27:25donc f de x strictement positive c'est strictement plus grand que 0.
27:29Donc f de x strictement positive ça donne moins 5x plus 10,
27:33strictement positif,
27:37ce qui donne moins 5x, moins 10 à gauche moins 10 à droite,
27:40strictement plus grand que moins 10.
27:42Et là attention on ne va pas trop vite,
27:44on réécrit moins 5x moins 10,
27:47et moins 5x on va diviser par moins 5 à gauche,
27:51on divise par moins 5 à droite, c'est pour ça que j'ai réécrit ça,
27:54et dès que l'on divise par un nombre négatif,
27:58on change le sens des inégalités.
28:01Donc attention ici, on divise par un nombre négatif,
28:05donc il faut changer le sens.
28:08Et donc on obtient x strictement inférieur à 2.
28:14On peut donc dresser le tableau de signes de la fonction infime,
28:17donc ça donne x,
28:20signe de la fonction,
28:23donc signe de f de x,
28:26donc les x vont de moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
28:36et on cède de ce que l'on a montré avant.
28:38Donc là on regarde ce qui est écrit en jaune,
28:40on a montré que quand x vaut 2,
28:42donc là quand x vaut 2,
28:45f de x vaut 0,
28:47donc quand x vaut 2, f de x vaut 0.
28:52Et ensuite on va utiliser ce qu'on a écrit là,
28:54on a un livre ici, donc il faut d'abord le lire tranquillement,
28:57ça, ça se lit quand x est strictement inférieur à 2,
29:01x plus petit que 2.
29:04Donc où se situent les x strictement inférieurs à 2 ?
29:08Les x plus petits que 2 sont ici.
29:12Si x est strictement inférieur à 2,
29:14c'est-à-dire que x est entre moins l'infini et 2.
29:16Donc quand x est entre moins l'infini et 2,
29:19f de x est strictement plus grande que 0,
29:23f de x est strictement positive, signe plus.
29:28Et donc de l'autre côté, ici, signe moins.
29:32Et le jour du contrôle,
29:33comment vous pouvez vérifier si c'est plus ou moins ou moins de plus ?
29:36Vous avez peur de vous tromper ?
29:37Vous regardez la question d'avant.
29:39Regardez ce qu'on a montré.
29:41La question d'avant, c'est que la fonction infime est strictement décroissante.
29:45Et on a montré que quand x vaut 2, la fonction vaut 0.
29:48Donc là, vous savez, l'axe de x est ici.
29:50On a montré que quand x vaut 2, f de x vaut 0.
29:54Donc j'ai un point ici.
29:55Et de plus, on sait que la fonction infime est strictement décroissante.
29:59Donc c'est parfaitement cohérent que de moins l'infini jusqu'à 2,
30:03on ait d'abord une image positive.
30:07Et ensuite, de 2 jusqu'à plus l'infini,
30:10c'est normal qu'on ait ensuite une image qui est négative.
30:13Donc si vous avez un doute,
30:15vous savez que la fonction infime est décroissante.
30:18Donc si elle décroît, on aura bien d'abord une image positive.
30:22Et ensuite, une image négative.
30:25Donc si vous avez un doute, vous pensez que ça décroît.
30:28Donc c'est d'abord positif et ensuite négatif.
30:31On va refaire la même avec la fonction g.
30:35Alors, pour la fonction g,
30:37soit g définie sur R par g de x égale 3x plus 12,
30:40qu'elle est la nature de la fonction g,
30:42donc c'est de la forme mx plus p.
30:48g est une fonction affine
30:56avec, pour coefficient directeur,
30:59ce qui multiplie le x, c'est 3,
31:02et p, c'est l'ordonnée origine, donc l'image de 0.
31:05g de 0, 3x0 plus 12, g vaut 12.
31:07Et vous savez que la courbe représentative d'une fonction affine
31:10est une droite.
31:12Question 5. Dressez le tableau de variation de g.
31:15Donc le coefficient directeur m vaut 3,
31:17ce qui est strictement positif.
31:19Donc ça signifie que lorsque j'avance d'une unité en abscisse,
31:22je monte de 3 en ordonnée.
31:23Donc ça signifie que sur l'intervalle moins l'infini plus l'infini,
31:26ma fonction g sera strictement croissante.
31:30Et ensuite on vous demande de dresser le tableau de signes de la fonction g,
31:34donc on va résoudre quand g2x est égal à 0,
31:37et on va résoudre quand g2x est strictement positive.
31:40Donc elle est strictement positive, c'est strictement plus grand que 0.
31:43Donc g2x égale 0, ça équivaut à 3x plus 12 égale 0,
31:48ce qui donne 3x égale moins 12 à gauche moins 12 à droite,
31:51et on divise par 3 des deux côtés, ça donne x égale moins 4.
31:55Donc on a montré que quand x vaut moins 4,
31:57g2x vaut 0.
31:59Et on résout lorsque g2x est positive,
32:01donc ça donne 3x plus 12 strictement positif,
32:05ce qui donne 3x strictement plus grand que 12.
32:08Et là on va diviser par 3 à gauche, on divise par 3 à droite,
32:12et vous savez que lorsque l'on divise par un nombre positif,
32:15on ne change pas le sens de l'équation,
32:17donc ça donne x strictement plus grand que moins 4.
32:21On va pouvoir dresser le tableau de signes de la fonction g,
32:24donc x signe de g2x,
32:33les x vont de moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
32:37et on regarde ce que l'on a résolu.
32:39On a montré que quand x vaut moins 4,
32:42g2x est égale à 0.
32:44Donc lorsque x vaut moins 4,
32:47g2x vaut 0.
32:51Et ensuite, on comprend tranquillement ce qu'il y a là.
32:57Donc ça, ça veut dire x strictement plus grand que moins 4.
33:02Donc dans votre tête, vous devez vous dire
33:04où sont les nombres qui sont strictement plus grands que moins 4.
33:08Donc les nombres qui sont plus grands que moins 4,
33:11ce sont les nombres qui vont de moins 4 jusqu'à plus l'infini.
33:14Les nombres plus grands que moins 4,
33:170, 0, 5, 1, 1,5, 10, pi, etc.
33:20Donc les nombres x strictement plus grands que moins 4
33:23vont de moins 4 jusqu'à plus l'infini.
33:25Donc quand x est strictement plus grand que moins 4,
33:28g2x est strictement plus grande que 0,
33:30donc c'est dire g2x est strictement positive.
33:33Donc signe plus ici,
33:35et donc signe moins de l'autre côté.
33:38Et on peut vérifier que c'est cohérent
33:42avec la courbe représentative de la fonction.
33:45Affine, tac, tac, 0,
33:48moins 1, moins 2, moins 3, moins 4, moins 5.
33:53Donc on regarde ce que l'on a montré,
33:55on sait que la fonction affine est strictement croissante,
33:58et on a montré que quand x vaut moins 4,
34:01son image vaut 0.
34:02Donc j'ai un point ici.
34:05Quand x, l'axe de x il est là.
34:07Quand x vaut moins 1, moins 2, moins 3, moins 4,
34:11l'image vaut 0.
34:12Et après vous savez que la fonction affine est strictement croissante,
34:16et donc vu que la fonction affine est strictement croissante,
34:18on aura bien une image qui sera négative au départ,
34:22donc elle sera négative de moins l'infini jusqu'à moins 4,
34:29et ensuite de 4 jusqu'à plus l'infini,
34:32on aura bien une image qui sera positive.
34:36Donc c'est normal qu'on ait moins, 0 et plus.
34:39Voilà pour cette partie.
34:42Merci.