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ÉducationTranscription
00:00Alors, grand 2, la fonction valeur absolue.
00:03Donc, valeur absolue d'un nombre réel.
00:05Déjà, c'est quoi la valeur absolue ?
00:07La valeur absolue d'un nombre réel X
00:09est la distance entre 0 et X sur la droite numérique.
00:13Et elle se note, valeur absolue de X,
00:15donc c'est un X avec une barre à gauche et une barre à droite,
00:18ça se dit valeur absolue de X.
00:20Donc concrètement, c'est la distance,
00:22donc si là j'ai 0, 1, 2, 3, je ne sais pas,
00:25donc si j'ai un nombre réel X ici qui vaut X,
00:28la valeur absolue de X
00:30c'est donc la distance
00:32entre 0
00:35et X.
00:37Alors, premier exemple,
00:39on vous demande valeur absolue de 3.
00:41Donc là j'ai 0, 1, 2,
00:443, 4,
00:46etc., 5, 6,
00:48donc la valeur absolue de 3
00:50c'est la distance qu'il y a
00:52entre 0
00:54et 3.
00:56La distance entre 0 et 3, c'est 3,
00:58il y a 3 unités d'écart.
01:00Ensuite, on vous demande la valeur absolue de
01:02moins 5, donc moins 1,
01:04moins 2, moins 3, moins 4,
01:06moins 5, il est là moins 5,
01:08et la valeur absolue de moins 5
01:10c'est la distance qu'il y a entre 0
01:12et moins 5.
01:14Donc entre 0 et moins 5,
01:16il y a une distance
01:18de 5 unités.
01:20Ensuite, la valeur absolue de 0,
01:22donc la distance entre 0 et 0,
01:24il y a 0 unités d'écart.
01:26Pi, la valeur absolue
01:28de Pi, donc c'est Pi.
01:32La valeur absolue de moins 2,7,
01:34donc moins 1, moins 2,7,
01:36on est là.
01:38Donc la valeur absolue de moins 2,7
01:40c'est la distance entre moins 2,7
01:42et 0, donc il y a une distance de 2,7
01:44unités.
01:46La valeur absolue de 5 tiers,
01:48il y a donc une distance de 5 tiers.
01:50La valeur absolue de moins racine carrée de 2, c'est donc racine carrée de 2.
01:52La valeur absolue de 10 puissance 3
01:54c'est donc 10 puissance 3
01:56et 10 puissance 3 c'est 10 fois 10 fois 10
01:58ce qui donne 1000.
02:00La valeur absolue de 6 vaut 6
02:02parce que la distance entre 0 et 6 vaut 6
02:04et la valeur absolue de moins 6 vaut 6
02:06car la distance entre 0 et moins 6 vaut 6.
02:10Et donc cette fois-ci, c'est dans l'autre sens qu'on vous demande
02:12on vous demande de résoudre dans R
02:14si cela est possible, les équations suivantes.
02:16Donc résoudre une équation, c'est trouver
02:18toutes les valeurs que l'on peut donner à l'inconnu.
02:20Ici, mon inconnu c'est x
02:22donc sur une copie, quand je résouds une équation
02:24je dois avoir donc x égale.
02:26Donc là, la question
02:28c'est pour quelle valeur de x
02:30la valeur absolue est-elle égale à 25?
02:32Et bien j'ai donc
02:34pour x égale 25
02:36en effet, si x vaut 25
02:38la valeur absolue de 25 vaut 25.
02:42Mais est-ce qu'il n'y a que x égale 25
02:44donc c'est pour x égale 25 ou
02:46x égale
02:48également moins 25
02:50en effet, si x vaut moins 25
02:52la valeur absolue de moins 25
02:54vaut 25.
02:56Donc là, il y avait deux solutions
02:58x qui vaut 25 ou x qui vaut moins 25.
03:00Ici, pour quelle valeur de x
03:02la valeur absolue vaut-elle 0?
03:04Donc ici, c'est pour x égale 0.
03:08Et c'est la seule valeur, quand x vaut 0
03:10sa valeur absolue vaut 0.
03:12Ici, pour quelle valeur de x
03:14la valeur absolue vaut-elle moins 3?
03:16Alors là, regardez
03:18la valeur absolue de 3, vous savez que c'est 3.
03:20Et la valeur absolue de moins 3
03:22vous savez que c'est 3.
03:24Donc en réalité, il n'y a aucune valeur de x.
03:26Donc ça,
03:28on n'écrit pas.
03:30Donc la question est, pour quelle valeur de x
03:32la valeur absolue de x vaut-elle moins 3?
03:34Donc ça veut dire concrètement, pour quel nombre x
03:36la distance entre 0 et x vaut-elle moins 3?
03:38Et bien ça, c'est impossible.
03:42Impossible.
03:44Car
03:46une distance
03:48est toujours positive.
03:50C'est-à-dire que la valeur absolue de x
03:52ne peut pas être égale à moins 3.
03:54Il n'y a aucune valeur de x. Vous remplacez x
03:56par n'importe quel nombre, ça ne peut pas donner moins 3.
03:58Donc impossible car une distance
04:00est toujours positive.
04:06Et enfin, on vous demande
04:08pour quelle valeur de x
04:10la valeur absolue de x plus 4 vaut 5?
04:13Donc il y a peut-être une solution
04:15évidente que vous avez trouvée. Oui, il y en a.
04:17En effet, il y a pour x égale 1.
04:19Pourquoi x vaut 1?
04:21Car la valeur absolue
04:23de 1 plus 4
04:25ça donne la valeur absolue de 5
04:27et la valeur absolue de 5
04:29c'est bien 5.
04:31Ou il y a aussi pour x égale
04:33et là le plus dur c'est de trouver l'autre valeur
04:35et donc comment on fait
04:37pour trouver l'autre valeur? Donc on part un peu à la fin.
04:39Si j'ai égal 5, vous savez que la valeur
04:41absolue de 5 vaut 5
04:43mais vous savez également que la valeur absolue de moins 5
04:45vaut 5.
04:47La valeur absolue de moins 5 ça donne 5.
04:49Donc là,
04:51il faudrait trouver quelque chose plus 4
04:53qui donne moins 5 et donc
04:55c'est pour x égale moins 9.
04:57En effet, quand x vaut moins 9
04:59car quand x vaut moins 9, j'ai donc la valeur absolue
05:01de moins 9 plus 4. La valeur absolue
05:03de moins 9 plus 4 c'est la valeur absolue de moins 5
05:05et qui donne 5. Donc là, il y avait deux solutions.
05:07x égale 1 ou x égale
05:09moins 9.
05:11Donc de façon générale,
05:13la valeur absolue de x, ça vaut
05:15x si x est un nom positif.
05:17Donc là, vous pouvez écrire un exemple.
05:21Si x est positif,
05:23la valeur absolue de 3, ça vaut 3.
05:25Voilà. Et la valeur
05:27absolue de x est égale à moins x
05:29si x est négatif. En effet, la valeur absolue de moins
05:315, moins 5 c'est un nom négatif
05:33et on vous dit que c'est égal à moins 5.
05:35En effet, ça donne moins et là
05:37x vaut moins 5, ça donne moins moins 5
05:39et ce qui donne bien 5.
05:41C'est pour ça que là, il y a moins x.
05:43Là vraiment, x vaut moins 5. Donc
05:45moins moins 5, ça donne bien 5.
05:47Voilà, sur un exemple.
05:49Et donc, avec ça, on peut tracer
05:51la courbe représentative de la fonction valeur absolue.
05:53Donc on vous dit définition. La fonction
05:55valeur absolue est définie pour tout réel
05:57donc sur R par fdx égale valeur absolue
05:59de x. Voici
06:01ci-dessous le tableau de valeur de la
06:03fonction valeur absolue allant de moins 3 à 3
06:05avec un pas de 1. Donc pourquoi de moins 3
06:07pour le x ? Les x vont de moins 3
06:09jusqu'à 3. Et
06:11là, il y a une coquille
06:13c'est un pas de 0,5
06:15donc vous, vous aurez la version
06:17corrigée
06:19lorsqu'elle sera imprimée. Donc là, c'est une version
06:21provisoire mais vous allez voir que vous, vous aurez déjà
06:23avec un pas de 0,5, ce sera
06:25déjà corrigé l'erreur quand vous aurez
06:27le polycopier. Donc vous, vous avez écrit
06:29avec un pas de 0,5
06:31et pourquoi c'est un pas de 0,5 ?
06:33Parce que de moins 3 à moins
06:352,5, à chaque fois on augmente de 0,5
06:37on fait plus 0,5, plus 0,5, plus 0,5, plus 0,5
06:39plus 0,5. Et
06:41donc on a le tableau de valeur quand
06:43x vaut moins 3
06:45et là on prend la valeur absolue, donc là j'ai
06:47valeur absolue de moins 3 ce qui donne
06:493. Ensuite
06:51quand x vaut moins 2,5, sa valeur absolue
06:53ça donne 2,5. Quand x vaut
06:55moins 2, sa valeur absolue, fdx égale
06:57valeur absolue de x, ça vaut 2. Quand x vaut
06:59moins 1,5, sa valeur absolue vaut 1,5.
07:01Quand x vaut moins 1,5, sa valeur absolue vaut 1.
07:03Là 0,5, là 0,5,
07:05là 0,5, là 1,
07:071,5, 2,
07:092,5 et 3.
07:11On peut tracer
07:13une partie de sa courbe représentative
07:15donc je rappelle que l'axe des x est ici.
07:17Donc quand x vaut
07:19moins 3, son image
07:21quand x vaut moins 3, son
07:23image à valeur absolument 3 c'est 3.
07:25Quand x vaut moins 2,5,
07:27son image c'est moins 2,5.
07:29Quand x vaut moins 2,5,
07:31son image c'est 2. Quand x vaut moins 1,5,
07:33son image c'est 1,5. Quand x vaut
07:35moins 1,5, son image c'est 1. Quand x vaut
07:37moins 0,5, 0.
07:39Quand x vaut 0,5, son image
07:41c'est 0,5. Quand x vaut 1,5, son image
07:43vaut 1. Quand x vaut 1,5, c'est 1,5.
07:45Quand x vaut 2,5, c'est 2.
07:47Quand x vaut 2,5, c'est 2,5.
07:49Et quand x vaut 3, son image
07:51vaut 3. Et donc en réalité
07:53on prend sa règle
07:55et
07:57et on trace la cope
07:59représentative de la fonction valeur absolue.
08:01Donc à la règle, les points doivent être parfaitement
08:03alignés à gauche et à droite.
08:05Voilà.
08:07Et donc qu'est-ce qu'on constate en termes de symétrie ?
08:09Et bien on constate
08:11que la fonction valeur absolue est symétrique
08:13mais il faut préciser par rapport à quoi ? Par rapport à
08:15l'axe des ordonnées. Donc l'axe des ordonnées
08:17c'est l'axe ici. Donc on constate
08:19bien qu'il y a une symétrie axiale
08:21par rapport à l'axe des ordonnées.
08:23En effet,
08:25et donc là,
08:29ça porte un nouveau nom.
08:31Ça c'est peut-être nouveau pour vous
08:33mais c'est nouveau.
08:35Lorsque la courbe représentative
08:37d'une fonction est symétrique
08:39par rapport à l'axe des ordonnées.
08:41Donc quand j'ai une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
08:43on dit que c'est une fonction paire.
08:45Donc c'est ça une fonction paire.
08:47Une fonction paire c'est une fonction
08:49qui est symétrique par rapport
08:51à l'axe des ordonnées. Donc c'est
08:53du nouveau vocabulaire pour cette année
08:55fonction paire c'est une fonction symétrique
08:57par rapport à l'axe des ordonnées.
08:59Et donc la fonction valeur absolue
09:01c'est une fonction qui est une fonction paire
09:03car sa courbe représentative est
09:05symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
09:07Maintenant
09:09on va pouvoir dresser son tableau de variation.
09:11Donc les variations, on constate quoi ?
09:13On constate que la fonction valeur absolue est strictement
09:15décroissante sur moins l'infini 0.
09:17En effet, pour x allant de moins l'infini jusqu'à 0
09:19la fonction valeur absolue est strictement
09:21décroissante. Et la fonction
09:23valeur absolue est strictement croissante de 0
09:25à plus l'infini.
09:27Et on vous dit que le minimum de la
09:29fonction vaut 0 et il est atteint en x égale 0.
09:31Donc avec tout ça on peut dresser
09:33le tableau de variation. Donc c'est ce qu'on va faire.
09:35Donc x
09:37allant de moins l'infini
09:39jusqu'à plus l'infini.
09:41Variation
09:43de la fonction valeur absolue.
09:45Donc on constate quand x va de moins
09:47l'infini jusqu'à 0
09:49la fonction valeur absolue est
09:51strictement décroissante.
09:53Et quand x va de 0 jusqu'à
09:55plus l'infini, la fonction valeur
09:57absolue est strictement croissante.
09:59Et quand x vaut 0, son image
10:01vaut 0.
10:03Et donc lorsque l'on vous parle du
10:05minimum de la fonction, c'est le minimum
10:07qui est ici. Donc le minimum
10:09de la fonction le plus bas qu'elle atteint c'est
10:110 quand x vaut
10:130.
10:15Et ensuite on peut dresser
10:17le tableau de signes, on vous dit que pour tout réel x
10:19valeur absolue de x est toujours supérieure
10:21ou égale à 0. En effet
10:23une distance est toujours positive.
10:25Et même graphiquement on constate
10:27que de moins l'infini jusqu'à 0
10:29j'ai bien une image positive.
10:31Quand x vaut 0
10:33l'image vaut 0, c'est ce qui est écrit là.
10:35Et quand
10:37x va de 0 à plus l'infini
10:39j'ai bien une image qui est
10:41positive.
10:43Donc si on trace
10:45ce tableau de signes de la fonction valeur absolue
10:47donc quand x va
10:49de moins l'infini jusqu'à plus l'infini
10:51donc là le signe
10:53de la valeur absolue de x
10:55donc de moins
10:57l'infini jusqu'à 0 j'ai une image positive
10:59quand x vaut 0 c'est 0
11:01et de 0 à plus
11:03l'infini c'est positif.
11:05Donc voici le signe de la fonction
11:07valeur absolue, c'est tout le temps positif
11:09plus 0 plus.
11:11Voilà pour la fonction valeur absolue.