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00:00racine carrée et les propriétés de la racine carrée,
00:03donc granta la fonction racine carrée.
00:06Donc définition de la fonction racine carrée, donc on appelle fonction racine carrée
00:10la fonction définie, attention, sur 0 compris plus l'infini par f de x égale racine carrée de x.
00:15Et en effet, la racine carrée d'un nombre strictement négatif n'existe pas.
00:21Donc là, par exemple, si vous écrivez ça, racine carrée de moins 3,
00:25racine carrée de moins 3, ça n'existe pas.
00:28La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
00:30Par contre, racine carrée de 0, ça existe, là, le 0 est compris.
00:34Donc on prend 0, en effet, racine carrée de 0, ça vaut 0,
00:38car vous savez que 0 fois 0, ça donne 0.
00:41Un autre exemple, vous savez que la racine carrée de 100, ça vaut 10,
00:45car 10 fois 10, ça vaut 100, et 10 est un nombre positif.
00:50Donc si je vous demande, par exemple, la racine carrée de moins 25,
00:54ça n'existe pas, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
00:58Pourquoi ça n'existe pas ? Car vous savez que 5 fois 5, ça vaut 25,
01:03donc ça ne donne pas moins 25, et vous savez également que
01:06moins 5 fois moins 5, ça vaut 25, donc ça ne donne pas moins 25.
01:10Donc en fait, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas,
01:13car un nombre fois lui-même qui donne moins 25 n'existe pas.
01:17Donc la fonction racine carrée est définie sur 0 compris jusqu'à plus l'infini
01:21par f de x égale racine carrée de x.
01:24Donc là, voici ci-dessous un tableau de valeur de la fonction racine carrée.
01:28Donc quand x vaut 0, là j'ai la racine carrée de 0, et la racine carrée de 0 vaut 0.
01:33Ensuite quand x vaut 1, la racine carrée de 1, ça vaut 1,
01:37car 1 fois 1 vaut 1, et 1 est un nombre positif.
01:40Ensuite on va d'abord faire ça, la racine carrée de 4, ça vaut 2,
01:44car 2 fois 2, ça donne 4, et 2 est un nombre positif.
01:47Ensuite la racine carrée de 9, ça vaut 3,
01:50car 3 fois 3 donne 9, et 3 est un nombre positif.
01:53Quand x vaut 25, la racine carrée de 25 vaut 5,
01:57car 5 fois 5 donne 25, et 5 est un nombre positif.
02:00Et la racine carrée de 36, ça vaut 6, car 6 est un nombre positif,
02:04et 6 fois 6 donne 36.
02:05Donc on a tracé sa courbe représentative.
02:08Et donc là j'ai deux valeurs.
02:09Quand x vaut 2, la racine carrée de 2, ça ne donne pas une valeur exacte.
02:13Là ça vaut environ, donc la valeur exacte c'est racine carrée de 2.
02:17Si vous voulez une valeur approchée, c'est environ 1,41 centième près.
02:21C'est pour ça que là, quand x vaut 2,
02:24c'est cohérent qu'on soit vers les 1,41 ici, en ordonnée.
02:28Et quand x vaut 3, la racine carrée de 3 vaut environ,
02:32là j'insiste, c'est bien environ 1,73.
02:35Et donc, quand x va de 0 jusqu'à plus l'infini,
02:40ici, on a la courbe représentative de la fonction racine carrée.
02:46Donc on dit que la fonction racine carrée est strictement croissante de 0 à plus l'infini,
02:50et que le minimum de la fonction racine carrée, ça vaut 0,
02:53la valeur la plus bas qu'elle atteint, c'est 0, atteint x égale 0.
02:56Donc si on dresse son tableau de variation,
02:58quand x va de moins l'infini,
03:00alors voilà, c'est par réflexe, donc c'est complètement faux, vous voyez, par habitude.
03:04Attention, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas,
03:07donc c'est quand x va de 0 ici, jusqu'à plus l'infini,
03:13la fonction racine carrée est strictement croissante sur 0 plus l'infini.
03:20Et quand x vaut 0, la racine carrée de 0 vaut 0.
03:25Et ensuite, si on dresse le tableau de signes de la fonction racine carrée,
03:29donc c'est écrit là, le signe,
03:31donc pour tourelle x positive, la racine carrée de x est tout le temps supérieure ou égale à 0.
03:36En effet, on a sa courbe représentative,
03:38on constate bien que la racine carrée est tout le temps positive.
03:41Et de plus, on a l'équivalence, la racine carrée de x égale à 0, ça équivaut à x vaut 0.
03:47Donc si on dresse le tableau de signes x,
03:51le signe de racine carrée de x,
03:55quand x vaut 0, la racine carrée vaut 0,
03:58et quand x va de 0 à plus l'infini,
04:00une racine carrée est tout le temps positive, donc signe plus.
04:05Et ensuite, on va passer à quelques propriétés de la racine carrée.
04:11On vous dit que pour tourelle x positive, lorsque j'ai une racine carrée au carré,
04:16ça vaut x, donc racine carrée de x au carré, ça vaut x.
04:20Et également, pour tourelle x positive, quand j'ai x au carré,
04:25et que je prends sa racine carrée, ça me donne x.
04:28Et si x est négatif,
04:30donc la racine carrée de x au carré, c'est égale à la valeur absolue de x.
04:34Donc par exemple, si on vous demande la racine carrée de moins 5 au carré,
04:37donc on calcule déjà moins 5 au carré, moins 5 fois moins 5, ça donne 25,
04:42et la racine carrée de 25, c'est 5, et 5 c'est bien égal à la valeur absolue de moins 5.
04:49Ensuite, propriétés, soit x, y de tourelle positive,
04:52alors la racine carrée de x fois y,
04:55c'est égal à la racine carrée de x fois la racine carrée de y,
04:59donc vous pouvez encadrer celle-là, celle-là, et celle-là.
05:05Donc la racine carrée de x fois y,
05:07c'est pareil que la racine de x fois la racine carrée de y.
05:11Et pareil pour les fractions,
05:14soit x, y de tourelle positive avec y différente de 0,
05:17donc lorsque j'ai la racine carrée d'une fraction,
05:20on vous dit que c'est égal à la racine carrée du numérateur sur la racine carrée du dénominateur.
05:28Multiplication, division,
05:30sauf qu'attention ici, pour l'addition, ça ne marche pas,
05:34soit x et y de tourelle positive,
05:36alors la racine carrée de x plus y est strictement inférieure à la racine carrée de x plus la racine carrée de y.
05:41Donc vous, vous devez retenir que cela implique
05:44que la racine carrée de x plus y n'est pas égale à la racine carrée de x plus la racine carrée de y.
05:51Donc ça marche avec la multiplication, la division, mais pas avec l'addition.
05:57Alors on va faire l'application 5,
05:59donc on vous dit de montrer que racine carrée de 8 c'est égal à 2 fois racine carrée de 2,
06:03donc racine carrée de 8 égale,
06:07et on va essayer d'appliquer la propriété ici, donc 8,
06:12on laisse la racine carrée, on peut le décomposer en 4 fois 2,
06:17égale, et là je vais appliquer ma propriété ici,
06:21donc le égal j'applique la propriété là,
06:23la racine carrée de x fois y c'est donc la racine carrée de x fois y,
06:27donc là c'est racine carrée de 4 fois racine carrée de 2,
06:33et la racine carrée de 4 c'est 2,
06:35car 2 fois 2, 4 et 2 est un nom positif,
06:37donc ça donne 2 fois racine carrée de 2,
06:40et vous savez qu'en mathématiques souvent on n'écrit pas les fois,
06:43lorsqu'on a une somme distributive 8 et 2 fois x plus 3,
06:46le fois on ne l'écrit pas, mais on sait qu'il y a un fois,
06:48donc là pareil 2 fois racine carrée de 2, on sait qu'il y a un fois,
06:51ça se note 2 fois racine carrée de 2,
06:53et souvent on n'écrit pas le fois.
06:56Pareil on peut montrer racine carrée de 75,
07:02alors 75 ça peut se décomposer en 25 fois 3,
07:0525, 50, 75 c'est 25 fois 3,
07:11on applique la propriété ici,
07:14racine carrée de 25 fois 3 c'est donc racine carrée de 25 fois racine carrée de 3,
07:19la racine carrée de 25 ça vaut 5,
07:22car 5 fois 5 vaut 25 et 5 est un nom positif,
07:24donc ça donne 5 fois racine carrée de 3,
07:26ce qui nous donne 5 racine carrée de 3.
07:32Ensuite question 2, cette fois-ci on a des fractions,
07:35donc racine carrée de 1 sur 49,
07:38d'après la propriété lorsque j'ai la racine carrée d'une fraction,
07:41c'est la racine carrée d'une numérateur sur la racine carrée d'une numérateur,
07:44donc c'est racine carrée de 1 sur racine carrée de 49,
07:50la racine carrée de 1 ça vaut 1,
07:52car 1 fois 1 donne 1 et 1 est un nom positif,
07:54et la racine carrée de 49 c'est 7,
07:56car 7 fois 7 vaut 49 et 7 est un nom positif,
07:59et ensuite racine carrée de 8 sur 144,
08:05la racine carrée d'une fraction c'est la racine carrée du numérateur
08:08sur la racine carrée du dénominateur,
08:14alors la racine carrée de 8, on va utiliser le résultat de la question 1,
08:18on a montré que c'est 2 fois racine carrée de 2,
08:21donc c'est 2 fois racine carrée de 2,
08:25et racine carrée de 144 c'est 12,
08:28en effet 12 fois 12 vaut 144,
08:31et là on peut simplifier, j'ai 2 fois racine carrée de 2,
08:3512 vous savez que c'est 2 fois 6,
08:38et donc lorsqu'on a des multiplications,
08:412 fois racine carrée de 2, 2 fois 6, on peut simplifier,
08:44parce qu'on a des multiplications,
08:47et donc il reste bien racine carrée de 2 sur 6.
08:55Et question 3, on vous demande de calculer racine carrée de 25,
08:59et racine carrée de 9 plus 16, et qu'est-ce qu'on peut en déduire ?
09:02Racine carrée de 25, ça on sait que ça vaut 5,
09:06car 5 fois 5 vaut 25 et 5 est un nom positif,
09:09et on vous demande de calculer racine carrée de 9 plus racine carrée de 16,
09:16la racine carrée de 9 c'est 3,
09:19plus la racine carrée de 16 c'est 4,
09:22donc ça donne 7.
09:26Donc qu'est-ce qu'on peut en déduire ?
09:29On sait que 5 n'est pas égal à 7,
09:34donc ça veut dire que la racine carrée de 25,
09:38n'est pas égale à la racine carrée de 9,
09:42plus la racine carrée de 16.
09:45Et donc 25, on peut dire que c'est aussi 9 plus 16,
09:49donc ça veut dire que la racine carrée de 9 plus 16,
09:52ce n'est pas égal à la racine carrée de 9,
09:55plus la racine carrée de 16.
09:58C'est la propriété qu'on a vu ici.
10:01Lorsque j'ai une addition, on ne peut pas séparer les racines carrées en deux.
10:04La racine carrée de 9 plus 16 n'est pas égale à la racine carrée de 9,
10:08plus la racine carrée de 16.
10:10Ça marche avec les multiplications,
10:13avec les fractions, les divisions,
10:16mais pas avec l'addition ni la soustraction.