Les séries d'exercices sont ici : https://drive.google.com/drive/folders/1N7RTtfJ_ObWhGLDfbqxv9PQxiDEbwniP?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles :
- https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
Que la Forge soit avec toi...
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ÉducationTranscription
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00:07Merci d'avoir regardé cette vidéo, et je vous dis à la prochaine !
00:30Géométrie analytique
00:58Le but est de savoir où est précisément ce point dans l'environnement d'étude.
01:02Paragraphe suivant, l'échelle de mesure, qui peut apparaître dans des exercices.
01:08Une échelle est la division de la distance unitaire du repère, sur le schéma, par celle de la distance réelle exprimée dans la même unité.
01:16Ça permet de déterminer une distance réelle entre deux points, la surface réelle d'une figure fermée, ou encore le volume réel d'un solide.
01:24Elle sera toujours indiquée dans un exercice, soit par une fraction, soit avec des indications sur un schéma.
01:31Sinon, il faudra travailler en unité de longueur, noté UL, en unité de surface, noté US, ou unité d'air, noté UA, ou bien encore en unité de volume, noté UV.
01:43Ceci explique la présence systématique d'un fond en damier ou rainuré dans les vidéos, qui sert de repère.
01:50Il est utilisé pour déterminer des vitesses de projectiles, ou des distances de projection.
01:55Je t'affiche ce fond en damier noir et jaune extrait d'une des vidéos des MythBusters.
02:00Chaque carré a une longueur de côté bien définie, permettant d'effectuer des calculs en prenant directement des mesures sur l'écran de l'ordinateur.
02:08Mais il y en a d'autres, comme celui-ci, mesure de la distance de projection,
02:13celui-là, mesure de la vitesse et de la trajectoire de la chute d'une bille,
02:17ou ce dernier, mesure de la vitesse d'une balle de pistolet, avec Adam des MythBusters qui fait office de potiche de présentation.
02:25Maintenant que j'ai terminé le préambule, on va rentrer dans le vif du sujet.
02:30Règle graduée, une dimension.
02:33Il en existe plusieurs formes, comme celle-ci, et celle-là, plus épurée.
02:38Une droite, ou une flèche, munie de graduation, sera appelée règle.
02:43Une graduation est un repère sur un instrument de mesure.
02:47Il y aura plusieurs niveaux de graduation.
02:50La principale, représentée par un grand trait, rouge sur la première règle affichée, ou un trait plus épais.
02:57La secondaire, affichée avec un trait moyen, orange sur la première règle, ou un trait moins épais.
03:03La tertiaire, modélisée par un petit trait, bleu sur la première règle, ou un trait fin.
03:09La graduation n'est pas forcément égale à une unité.
03:12Par exemple sur cette règle, un trait noir représente un quart, un trait bleu est équivalent à un douzième.
03:19Les graduations sont visibles sur un thermomètre, une règle graduée, ou encore un pied à coulisses,
03:25que j'affiche sur l'écran pour celles et ceux qui ne sauraient pas ce que c'est.
03:28Ça évite une recherche sur Google.
03:31L'écriture de repérage d'un point P sur une règle graduée sera la suivante.
03:36La lettre du point, ici P, suivie d'une parenthèse contenant XP, l'abcide du point sur la règle,
03:42c'est-à-dire la valeur numérique de sa position.
03:45Petit exercice.
03:47Voici une règle graduée piochée sur Internet.
03:51On va déterminer les abcides de chaque point, de la gauche vers la droite.
03:56Ne pas confondre vitesse et précipitation, analysons d'abord les graduations.
04:01Celles des dizaines et leur moitié sont en noir épais, il y en a quatre en noir fin qui les séparent,
04:06donc une graduation est équivalent à une unité.
04:09Maintenant, on a toutes les informations en tête pour faire justement le travail demandé.
04:15Le point est à une graduation après 60, donc son abcide est 61.
04:20Le point est à quatre graduations après 60, donc son abcide est 64.
04:26Le point F est à trois graduations après 70, donc son abcide est 73.
04:32Le point B est à deux graduations avant 80, donc son abcide est 78.
04:38Le point G est à une graduation après 80, donc son abcide est 80.
04:43Le point C est à quatre graduations avant 90, donc son abcide est 86.
04:49Le point D est à 3 graduations avant 100, donc son abscisse est 97.
04:54Le point H est à une graduation avant 100, donc son abscisse est 99.
05:00Tu as vu, rien de bien compliqué.
05:03La distance entre deux points sera la différence de leurs abscisses, attention à l'échelle éventuelle à appliquer.
05:09Une distance sera toujours positive.
05:12Reprenons la règle précédente pour ne calculer que deux longueurs, celles des segments AC et DC, ai-je fait exprès.
05:19Oui, et j'assume.
05:22La distance AC est égale à 86 moins 64, soit 22 unités de longueur.
05:28La distance DC est égale à 97 moins 86, soit 11 unités de longueur.
05:34Maintenant, et à titre d'exemple, si on m'indique qu'une graduation correspond à 2 centimètres réels, ça implique que AC fait 44 centimètres et DC 22 centimètres.
05:44Terminé pour les règles graduées, on rajoute une dimension pour travailler dans le plan, en deux dimensions donc.
05:51Pour définir un repère d'un plan, il suffit de fournir trois points non alignés, notés O, I et J.
05:58Ce repère sera noté ainsi, ce qui correspond respectivement aux points d'origine, aux points unitaires des abscisses, et celui des ordonnées.
06:06L'ordre dans lequel les points sont écrits est important, il ne faut surtout pas les intervertir.
06:12Composé de deux axes, le premier passant par I, le second passant par J, qui se coupe au point O.
06:19L'axe horizontal, noté X, est celui des abscisses, son unité sera la longueur du segment unitaire OI, de grandeur égale à 1.
06:27L'axe vertical, noté Y, est celui des ordonnées, son unité sera la longueur du segment unitaire OJ, de grandeur égale à 1.
06:36Il existera plusieurs possibilités de repères.
06:39Le premier est le repère quelconque, dans lequel les axes ne seront pas perpendiculaires, et la longueur OI est différente de celle de OJ.
06:47Voici ce que ça donne graphiquement.
06:50Ce genre de repère est rare en exercice, il se retrouve généralement dans des problèmes avec des triangles ou des parallélogrammes.
06:57Le second est le repère normé, dans lequel les axes ne seront pas perpendiculaires, mais la longueur OI est égale à celle de OJ.
07:05Voici ce que ça donne graphiquement.
07:08Ce genre de repère est tout aussi rare que le premier en exercice.
07:12Le troisième est le repère orthogonal, dans lequel les axes seront perpendiculaires, mais la longueur OI est différente de celle de OJ.
07:20Voici ce que ça donne graphiquement.
07:23Ce genre de repère est relativement fréquent en exercice, surtout quand tu travailles dans un rectangle.
07:29Le dernier est le repère orthonormé, dans lequel les axes seront perpendiculaires, et la longueur OI est égale à celle de OJ.
07:37Voici ce que ça donne graphiquement.
07:39Ce genre de repère est très fréquent en exercice, car il est le repère de référence en sciences mathématiques et physiques, optiques et mécaniques, entre autres.
07:48L'écriture de repérage d'un point P dans le plan sera la suivante.
07:53xP et la psy du point P, yP sont ordonnées, et ces deux valeurs sont séparées par un point virgule dans la parenthèse.
08:01L'écriture linéaire des coordonnées imposées au collège est peu pratique.
08:05Il est préférentiel d'opter pour l'écriture matricielle montrée au lycée, plus adaptée pour les calculs, et qui se présente ainsi,
08:12les abscisses et ordonnées étant l'une sur l'autre entre les parenthèses.
08:17Petit exemple avec ces deux repères, dans lesquels on va déterminer les coordonnées du point C.
08:22Dans celui de gauche, repère orthogonal, en partant du point d'origine O, il faut se déplacer d'une unité horizontale vers la gauche, puis de deux unités verticales vers le haut pour arriver au point C.
08:34Ces coordonnées sont –1, 2, que j'écris en premier sous la forme linéaire, puis sous la forme matricielle.
08:41Dans celui de droite, repère quelconque, en partant du point d'origine O, il faut se déplacer de trois unités horizontales vers la droite, puis d'une seule unité verticale vers le haut pour arriver au point C.
08:53Ces coordonnées sont 3, 1, que j'écris en premier sous la forme linéaire, puis sous la forme matricielle.
09:00Les coordonnées ne sont pas forcément des nombres entiers relatifs.
09:04Par exemple dans ce repère, il faut déterminer les coordonnées du point A.
09:09En partant du point d'origine O, il faut se déplacer d'un tiers d'unité horizontale vers la gauche, puis de deux unités verticales vers le bas pour arriver à ce point A.
09:19Ces coordonnées sont –1, 3, –2, que j'écris en premier sous la forme linéaire, puis sous la forme matricielle.
09:26J'attire ton attention sur le fait de toujours écrire les valeurs exactes des coordonnées, soit sous forme fractionnaire, soit avec des racines carrées.
09:34Tu ne peux utiliser la forme décimale que si la coordonnée est un véritable décima, nombre de chiffres après la virgule finie, comme 0,5 ou 3,647.
09:45La distance entre deux points sera seulement demandée si tu officies dans le repère orthonormé, appelé aussi référentiel dans le monde de la mécanique classique.
09:54Pour celles et ceux qui ont la mémoire courte, je réaffiche les caractéristiques de ce repère orthonormé.
10:00Les axes sont perpendiculaires, et la longueur OI est égale à celle de OJ.
10:05Soit deux points, le premier noté A, de coordonnée XA, YA, et le second, noté B, de coordonnée XB, YB.
10:15La distance, notée AB, entre ces deux points, se calculera grâce à la formule suivante.
10:21AB est égale à racine carrée de XB-XA au carré, plus YB-YA au carré.
10:29Pour retenir cette équation, il suffit de penser à Pythagore, et ce petit schéma t'aidera à mieux visualiser.
10:36AB est l'hypoténuse XB-XA à longueur d'un des côtés de langue droite, YB-YA celle de l'autre côté.
10:43Pas plus compliqué.
10:45Par contre, toujours exprimer les longueurs avec des valeurs exactes, soit fractionnaires, soit racinaires.
10:52Jamais de valeur décimale, sauf si la longueur est un véritable décimal, nombre de chiffres après la virgule finie, comme 0.5 ou 3.647.
11:02Déterminer la surface d'une figure fermée se fera uniquement dans un repère orthonormé, du moins jusqu'en termina option math.
11:10Tu apprendras à utiliser le calcul différentiel, et particulièrement l'intégral, qui permet le calcul d'air dans un repère orthogonal ou orthonormé.
11:19En attendant la joie immense de découvrir cet outil, la procédure consiste à déterminer l'air élémentaire, en cm² par exemple, qui sera l'air du carré de côté OI, égal aussi à OG.
11:31Puis, tu devras utiliser le produit en croix, appelé aussi règle de 3, pour transformer l'air de la figure, exprimé en UA, en cm² ou en m².
11:42Pas d'inquiétude, je vais te montrer un exemple pour que tu imprimes correctement.
11:47Voici un repère orthonormé avec 3 points formant un triangle, dont on va déterminer l'air en cm².
11:54Première étape, déterminer les coordonnées de chaque point.
11:58Pour A, moins 5, 4.
12:00Pour B, moins 7, moins 2.
12:03Pour C, moins 2, 3.
12:06Seconde étape, il faut calculer la longueur de chaque côté.
12:10Il va falloir faire la différence des abscisses, puis celle des ordonnées, et utiliser le théorème de Pythagore.
12:17Attention aux signes, une erreur est si vite arrivée.
12:21On commence avec AB.
12:23Différence des abscisses, puis des ordonnées, la formule à appliquer, réduction entre chaque parenthèse, calcul, et AB est égal à √40, que je reporte sur la figure.
12:35On continue avec AC.
12:37Différence des abscisses, puis des ordonnées, la formule à appliquer, réduction entre chaque parenthèse, calcul, et AC est égal à √10, que je reporte sur la figure.
12:49On termine avec BC.
12:51Différence des abscisses, puis des ordonnées, la formule à appliquer, réduction entre chaque parenthèse, calcul, et BC est égal à √50, que je reporte sur la figure.
13:03Troisième étape, savoir si le triangle est rectangle.
13:07√50, strictement supérieur à √40, aussi strictement supérieur à √10.
13:15Donc, l'hypoténuse présumée est BC.
13:19Il faut appliquer la réciproque du théorème de Pythagore.
13:23Calcul de BC², égal à 50.
13:27Calcul de AB², plus AC², ce qui donne 40 plus 10, soit 50, égal à BC².
13:35Donc, le triangle est rectangle en A, et je le symbolise sur la figure.
13:40Quatrième étape, détermination de l'aire du triangle en unité d'air.
13:45L'air d'un triangle se détermine en multipliant la base par la hauteur, puis en divisant le résultat par 2.
13:51Dans un triangle rectangle, la base est l'un des côtés de l'angle droit, la hauteur l'autre.
13:57De ce fait, l'air du triangle sera égal à AC fois AB sur 2.
14:02Remplacement par les valeurs numériques, calcul, réduction, et l'air est égal à 10Ua, que j'inscris dans la figure.
14:09Dernière étape, l'air du triangle en cm².
14:13Il faut commencer par déterminer l'air unitaire, représenté par ce carré rouge hachuré, en cm².
14:20La toit de fond du graphique est celle du papier millimétré, on aura donc 0,5 cm ici, et pareillement là.
14:28L'air unitaire sera le carré de la longueur du côté du carré rouge hachuré, soit 0,5², donc 0,25 cm².
14:37Une unité d'air sera équivalente à 0,25 cm².
14:42Sachant que l'air du triangle est de 10Ua, un produit en croix permet d'affirmer que la surface du triangle est de 2,5 cm².
14:50Fini avec le plan, on rajoute une dimension pour accéder à l'espace cartésien.
14:55Pour définir un repère d'un espace, il suffit de fournir 4 points non alignés, O, I, J, et K.
15:03Ce repère sera noté ainsi.
15:05L'ordre dans lequel les points sont écrits est important, il ne faut surtout pas les intervertir.
15:11Composé de 3 axes, le premier passant par I, le second passant par J, et le troisième passant par K, qui se coupent au point O.
15:20Le premier axe, noté X, est celui des abscisses, en rouge sur le repère, son unité sera la longueur du segment unitaire OI, de grandeur égale à 1.
15:30Le second axe, noté Y, est celui des ordonnées, en vert sur le repère, ou l'axe de profondeur, son unité sera la longueur du segment unitaire OJ, de grandeur égale à 1.
15:41Le troisième axe, noté Z, est celui de l'altitude, en bleu sur le repère, ou axe de la côte, son unité sera la longueur du segment unitaire OKa, de grandeur égale à 1.
15:53Repère forcément orthonormé, pour le moment, c'est-à-dire que les axes sont perpendiculaires 2 à 2, et la longueur OI est égale à celle de OJ, égale aussi à celle de OKa.
16:03L'écriture de repérage d'un point P dans l'espace sera la suivante.
16:08XP est l'abscisse du point P, YP son ordonnée, ZP son altitude, et ces trois valeurs sont séparées par un point virgule dans la parenthèse.
16:17L'écriture linéaire des coordonnées imposées au collège est encore moins pratique.
16:22Il est préférentiel d'opter pour l'écriture matricielle montrée au lycée, plus adaptée pour les calculs, et qui se présente ainsi.
16:29Les abscisses, ordonnées, et altitudes étant l'une sur l'autre entre les parenthèses.
16:35Soit deux points, le premier noté A, de coordonnées XA, YK, ZA, et le second, noté B, de coordonnées XB, YB, ZB.
16:46La distance, notée AB, entre ces deux points, se calculera grâce à la formule suivante.
17:03Important, toujours exprimer les longueurs avec des valeurs exactes, soit fractionnaires, soit racinaires.
17:10Jamais de valeur décimale, sauf si la longueur est un véritable décimal, nombre de chiffres après la virgule finie, comme 0.5 ou 3.647.
17:20Comme d'habitude, un petit exemple pour lever ce brouillard qui embrûle tes neurones.
17:25Voici un repère en 3D, et on va déterminer la longueur du segment BF.
17:30Première étape, déterminer les coordonnées des points B et F.
17:35Les codes couleurs ont été conservés, donc abscisse en rouge, ordonnées en vert, et altitude en bleu.
17:42Pour B, 5, 0, 0.
17:45Pour F, 0, 4, 4.
17:49Seconde étape, calcul de la longueur de BF.
17:53Différence des abscisses, des ordonnées, puis des altitudes, la formule à appliquer, réduction entre chaque parenthèse, calcul, et BF est égal à racine carrée de 57.
18:04Guerre plus compliquée que le même calcul dans le plan.
18:08Dernier paragraphe, repérage sur une sphère, toujours d'actualité vu que les GPS l'indiquent.
18:14Voici une carte de Google Maps.
18:17Cette série de deux nombres, séparés par une virgule, et entourés en rouge, est la position du pont d'Avignon sur le globe terrestre.
18:25C'est quoi leur signification ?
18:28Je vais te l'expliquer.
18:30Pour donner ta position en n'importe quel point sur Terre, tu auras besoin de deux références perpendiculaires, qui sont l'équateur, et le méridien de Greenwich.
18:39Notre planète, supposée parfaitement sphérique, alors que ce n'est pas totalement vrai, est découpée en parallèle, dans la direction est-ouest, et en méridien, dans la direction nord-sud.
18:50Les coordonnées d'un point seront composées de sa longitude, son angle par rapport au plan formé par méridien de Greenwich, et sa latitude, son angle par rapport au plan formé par l'équateur.
19:02Voici une vue en planisphère de la position des deux références perpendiculaires, l'équateur et le méridien de Greenwich, qui se croisent sous l'Afrique, dans l'océan Atlantique, plus précisément dans le golfe de Guinée, à environ 625 km au sud du Ghana, et à mi-kilomètre à l'ouest du Gabon.
19:20L'équateur est la référence des latitudes, les parallèles qui lui sont parallèles, d'où leur nom, ont leur position exprimée en degrés, de moins 90 degrés, au sud, à plus 90 degrés, au nord.
19:32Bien entendu, l'équateur est à zéro degré.
19:36Sur une vue planisphère, quelques parallèles avec un nom spécifique dû aux explorations passées, comme le tropique du Cancer, au nord, le tropique du Capricorne, au sud, et les deux cercles polaires, l'Arctique au nord, l'Antarctique au sud.
19:51Le méridien de Greenwich est la référence des longitudes, les autres méridiens qui coupent le globe comme des quartiers d'orange ont, comme les parallèles, leur position exprimée en degrés.
20:02Sur cette vue planisphère, les angles des méridiens vont de moins 180 degrés, à l'ouest, à plus 180 degrés, à l'est.
20:10Tu m'entends dire nord, sud, est, ouest, mais pas en haut, en bas, à gauche, ou à droite.
20:17En cartographie, les concepts de haut, bas, gauche, et droite, n'existent pas.
20:24D'ailleurs, comme le faisait brillamment remarqué Perceval dans la série Kaamelott d'Alexandre Astier, ces conneries de gauche et de droite, ça veut rien dire ces machins.
20:33Selon comme on est tourné, ça change tout.
20:36Si tu n'as pas la référence, il va te falloir la chercher, Google est ton ami.
20:41Voici une rose des vents, seule référence géographique à poser sur toutes les cartes.
20:47Le nord sera toujours en haut, et si tu fais une rotation dans le sens anti-horaire à partir de N, tu pourras lire Nose.
20:54Il faut avoir du nez pour ne pas se paumer.
20:57Ce moyen mnémotechnique te permettra de placer correctement les quatre directions principales les unes par rapport aux autres sans te tromper, donc de ne pas te perdre sur ta carte.
21:07Justement, pour que tu détermines rapidement la position d'un point sur la Terre, petit exercice tout simple.
21:14Un globe sur lequel sont tracés l'équateur, en rouge, et ses parallèles, le méridien de Greenwich, en vert, et les autres méridiens.
21:22Il faut déterminer les coordonnées des points K, L, M et N.
21:27Si tu as bien compris, déplacement est-ouest en premier, parallèle à l'équateur, puis nord-sud, parallèle à Greenwich.
21:35Coordonnées du point K, 40 degrés ouest, 40 degrés nord, ou encore, moins 40 degrés, 40 degrés.
21:43Coordinées du point L, 20 degrés est, 30 degrés nord, ou encore, 20 degrés, 30 degrés.
21:50Coordinées du point M, 10 degrés est, 10 degrés sub, ou encore, 10 degrés, moins 10 degrés.
21:57Coordinées du point N, 40 degrés ouest, 30 degrés sub, ou encore, moins 40 degrés, moins 30 degrés.
22:05Et si je plaçais le point P, de coordonnées suivantes, 60 degrés ouest, 30 degrés nord.
22:11Il serait ici sur le globe. 60 degrés horizontaux à l'ouest de Greenwich,
22:1830 degrés verticaux au nord de l'Équateur.
22:20Pour en revenir à la position du pont d'Avignon, les deux nombres séparés par une virgule
22:25se traduisent par 43,954 degrés ouest, 4,805 degrés nord, ce qui se convertit en DMS,
22:34minutes secondes, par 43 degrés, 57 minutes et 13 secondes, puis 4 degrés, 48 minutes
22:41et 19 secondes.
22:42Dans la base numéro 12, je t'explique comment convertir du degré décimal en degré sexagésimal,
22:49et inversement.
22:50Le lien est dans la description, catalogue de vidéos, onglet prérequis.
22:54La base est désormais terminée.
22:57Tu as des questions ? Tu veux un complément d'information ? Rejoins-moi dans l'espace
23:05Des exercices en PDF librement téléchargeables, dont certains sont corrigés, sont disponibles.
23:10Les liens sont dans la description de cette vidéo.
23:12A toi de forger maintenant.
23:14Prochaine vidéo sur l'enclume.
23:17Stay tuned.
23:19Tchuss.