Cours téléchargeable ici : https://drive.google.com/file/d/19DUQZsd9sruSFhpDqDABWvUP2N1-2RZ5/view?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
TD Forge disponible ici : https://youtu.be/sDiR_H5oG-g
Que la Forge soit avec toi !..
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ÉducationTranscription
00:00Mes respects à tout le monde, bienvenue dans la forge du Quantum.
00:24Aujourd'hui, atelier MAN numéro 21, les fonctions composées.
00:29Et on commence sans plus attendre par les définitions.
00:32Soit f et g de fonctions.
00:35On appelle h, fonction composée de f suivi de g,
00:39telle que h de x est égale à f rongé de x, égale à f de g de x.
00:44Comme tu l'as bien entendu, l'expression, f o g, se lit, f rongé,
00:49et pas fogue comme je l'entends trop souvent.
00:52Soit deux fonctions définies sur l'ensemble des réels,
00:54avec f de x égale à 4x plus 5, et g de x égale à x au carré.
01:00f rongé de x, égale à f de g de x, est égale à f de x au carré,
01:05soit 4x au carré plus 5.
01:08g rongé de x, égale à g de f de x, est égale à g de, 4x plus 5,
01:13soit, 4x plus 5, au carré.
01:17Comme tu peux le constater, f rongé de x est différent de g rongé de x,
01:21ce qui est normal car l'égalité est très rare.
01:24Cette égalité étant une exception, considère que quelles que soient les fonctions f et g,
01:29f rongé sera toujours différent de g rongé de f.
01:33Une fonction peut se composer avec elle-même, ce qui sera une puissance fonctionnelle.
01:38Dans ce cas, il sera plus commode d'opter pour une autre notation.
01:42f, rongé de f, rongé de f, s'écrira f au cube.
01:47Si f rongé de f est égale à f, la fonction est idempotente.
01:51Voici quelques exemples.
01:54f de x égale x, f de x égale à k, avec k réel, ajouter 0, ou encore multiplier par 1.
02:01Fin des définitions, on passe aux caractéristiques et je vais avoir besoin de toute ton attention.
02:07Donc bois un coup, inspire profondément et on y va.
02:11La composition est associative, f rongé, rong h est égale à f rong, g rong h, aussi égale à f rongé rong h.
02:20Sauf tomber sur quelques rares exceptions, elle est non commutative, on l'a vu précédemment, f rongé différent de g rong f.
02:28Elle est aussi non distributive, ce qui veut dire que h rong, f plus ou moins g, différent de, h rong f, plus ou moins, h rong g.
02:37Le domaine de définition de la fonction composée sera intersection.
02:40Les parties communes, des domaines de définition des fonctions f et g, notées respectivement d f et d g.
02:47L'écriture sera la suivante.
02:50d 2, f rong g, sera égale à d f inter d g.
02:54L'existence de f rong g n'implique pas forcément celle de g rong f.
02:59Soit deux fonctions, f de x égale à moins x, avec l'ensemble des réels comme domaine de définition,
03:05et g de x égale à racine carrée de x, avec les réels positifs ou nuls comme domaine de définition.
03:12Le domaine de définition, notée grand D, de la composée de f et g sera intersection de d f et d g,
03:19ce qui va donner l'intervalle 0 inclut, plus l'infini exclut.
03:23On aura f rong g de x égale à f de g de x, soit f de racine carrée de x, ce qui donnera moins racine carrée de x,
03:31avec son domaine de définition, notée grand D1, égale à 0 inclut, plus l'infini exclut,
03:37que des valeurs positives ou nuls sous une racine carrée.
03:41g rong f de x égale à g de f de x, soit g de moins x, ce qui donnera racine carrée de moins x,
03:47avec son domaine de définition, notée grand D2, égale à moins infini exclut, 0 inclut,
03:54que des valeurs positives ou nuls sous une racine carrée.
03:57Comme grand D1 est égal à grand D, f rong g existe.
04:01Mais comme grand D2 différent de grand D, g rong f n'existe pas.
04:06Fin des caractéristiques, on en vient aux variations.
04:09Les variations d'une fonction composée est la résultante de la comparaison des variations de chaque fonction qui la compose.
04:16Si les deux fonctions ont la même variation, la composée est croissante.
04:21Si les deux fonctions sont de variations contraires, la composée est décroissante.
04:26Voici un petit tableau de variations.
04:29Première ligne, celle de f, seconde ligne, celle de g, dernière ligne, celle de f rong g.
04:36Je vais faire une comparaison des variations de fonction sur chaque portion d'intervalle du tableau sur les deux premières lignes,
04:42et justifier les variations de la dernière ligne.
04:45Ici, f est croissante, g est décroissante, variation contraire, donc f rong g est décroissante.
04:52Tu as vu, rien de compliqué.
04:55On continue.
04:56Là, f croissante, g aussi, même variation, donc f rong g est croissante.
05:02Dans cette zone, f décroissante et g croissante, variation contraire, donc f rong g est décroissante.
05:09Pour terminer, f décroissante et g aussi, même variation, donc f rong g est croissante.
05:16Pour toute fonction, il y aura inversion de variation si multiplication par un nombre négatif, ou si inversion de fonction.
05:23Ces effets peuvent être cumulés, comme je vais te le montrer maintenant.
05:28Première tentative, multiplication de la fonction par moins un, ce qui entraîne une inversion de variation, les flèches changent de sens.
05:36Seconde tentative, inversion de la fonction f, qui entraîne aussi une inversion de variation, et du sens de chaque flèche.
05:44Dernière tentative, faire simultanément une inversion de la fonction et une multiplication par un nombre négatif, moins deux ici,
05:51entraîne une inversion d'inversion des variations, donc les variations qui ne changent pas, les flèches noires ont le même sens que les rouges.
05:59Je n'en ai pas parlé dans ce tableau, mais il est évident que les valeurs des extrémums locaux, et des limites, vont aussi être impactées par ces effets.
06:08Détail important, une inversion de fonction peut faire apparaître des valeurs interdites, comme je vais te le montrer ci-après.
06:15Voici un tableau de variation d'une fonction quelconque, duquel je vais déterminer celui de la fonction inverse, noté en sur f.
06:23Aux abscisses 2 et 4, la fonction s'annule.
06:26De ce fait, ces abscisses vont devenir des valeurs interdites pour la fonction inverse, d'où ces doubles barres.
06:33Comme on inverse la fonction, on inverse les variations.
06:37Fonction inverse croissante entre moins infini et 2, puis toujours croissante entre 2 et 3.
06:43Mais comme l'image de 3 par la fonction est moins simple, l'image de 3 par la fonction inverse sera moins 1 sur 5.
06:50Puis fonction inverse décroissante entre 3 et 4, et encore décroissante entre 4 et plus l'infini.
06:56Le tableau n'est pas complet, il manque les limites en moins infini, en 2, à gauche et à droite, en 4, hidden, et en plus l'infini.
07:05Elles seront abordées dans un prochain atelier.
07:08On passe désormais à la partie la plus importante des fonctions composées, les transformations.
07:14Le but de la manœuvre est, à partir des représentations graphiques des fonctions de référence, vues dans l'atelier MAN numéro 20, lien dans la description,
07:23catalogue de vidéos, Salman Delbrotte, de tracer celles de la fonction composée, appelée transformée.
07:30Dans toutes les transformations suivantes, la courbe rouge sera celle de la courbe de référence représentative de la fonction F,
07:37la courbe bleue celle de la transformée.
07:39Ah oui, point très important, ne regarde pas l'expression de la fonction, mais plutôt sa représentation graphique,
07:46surtout quand je vais faire défiler les transformations, au nombre de 8.
07:51J'ai surtout cherché des fonctions graphiquement intéressantes pour chaque transformation,
07:55et j'ai dû piocher dans un pan des mathématiques qui s'apparentent pour toi à de l'ésotérisme chamanique.
08:01Te voilà averti, je peux continuer avec grande sérénité.
08:05Première transformation, la translation verticale.
08:09Je rappelle qu'une translation, c'est un déplacement rectiligne de l'objet, sans déformation de ce dernier.
08:15La composée sera du type Y égale F de X, plus A, avec A en réel.
08:21La translation verticale sera de vecteur à J.
08:25Donc si A est positif, la translation se fera vers le haut, et si A est négatif, la translation se fera vers le bas.
08:32Illustration par un exemple.
08:35Voici trois courbes représentatives de trois fonctions, F, G et H.
08:40F est la fonction de référence, en rouge.
08:44G de X est égale à F de X, moins 2.
08:47Pour tracer la courbe représentative de G, il suffit de faire une translation verticale de la courbe rouge de moins de J, soit 2 unités vers le bas.
08:56H de X est égale à F de X, plus 4.
09:00Pour tracer la courbe représentative de H, il suffit de faire une translation verticale de la courbe rouge de plus 4 J, soit 4 unités vers le haut.
09:10Seconde transformation, la translation horizontale.
09:14Je rappelle encore une fois qu'une translation, c'est un déplacement rectiligne de l'objet, sans déformation de ce dernier.
09:21La composée sera du type Y égale F de X, moins A, avec A en réel.
09:26La translation horizontale sera de vecteur à I.
09:30Donc si A est positif, la translation se fera vers la droite, et si A est négatif, la translation se fera vers la gauche.
09:38Illustration par un exemple.
09:40Voici trois courbes représentatives de trois fonctions, F, G et H.
09:46F est la fonction de référence, en rouge.
09:49G de X est égale à F de X, moins 2.
09:53Pour tracer la courbe représentative de G, il suffit de faire une translation horizontale de la courbe rouge de plus 2 I, soit 2 unités vers la droite.
10:02H de X est égale à F de X, plus 4.
10:06Pour tracer la courbe représentative de H, il suffit de faire une translation horizontale de la courbe rouge de moins 4 I, soit 4 unités vers la gauche.
10:16Troisième transformation, la dilatation ou contraction verticale, c'est-à-dire que l'amplitude verticale de la courbe va soit augmenter, dilatation, soit diminuer, contraction.
10:27La composée sera du type Y égale A fois F de X, avec A en réel.
10:33Si A est strictement supérieur à 1, il y aura dilatation verticale.
10:37Si A est compris entre 0 et 1 exclu, il y aura contraction verticale.
10:42Illustration par un exemple.
10:45Voici trois courbes représentatives de trois fonctions, F, G et H.
10:50F est la fonction de référence en rouge.
10:54G de X est égale à 3 F de X.
10:57Pour tracer la courbe représentative de G, il suffit de faire une dilatation verticale de la courbe rouge de coefficient 3, c'est-à-dire multiplier chaque image par 3.
11:07H de X est égale à 0,5 F de X.
11:11Pour tracer la courbe représentative de H, il suffit de faire une contraction verticale de la courbe rouge de coefficient 0,5, soit multiplier chaque image par 0,5, ou les diviser par 2, c'est pareil.
11:25Quatrième transformation, la dilatation ou contraction horizontale, c'est-à-dire que l'amplitude horizontale de la courbe va soit augmenter, dilatation, soit diminuer, contraction.
11:37La composée sera du type Y égale à F de AX, avec A en réel.
11:42Si A est strictement supérieur à 1, il y aura contraction horizontale.
11:47Si A est compris entre 0 et 1 exclu, il y aura dilatation horizontale.
11:52Si A est compris entre moins 1 exclu et 0 exclu, il y aura retournement et dilatation horizontale.
11:59Si A est strictement inférieur à moins 1, il y aura retournement et contraction horizontale.
12:05Le retournement, c'est une rotation suivant l'axe Y, et on le verra ensemble après plus en détail.
12:11Illustration par un exemple.
12:14Voici trois courbes représentatives de trois fonctions, F, G et H.
12:19F est la fonction de référence en rouge.
12:23Et je vais commencer par traiter avec les coefficients à positif.
12:27G de X est égale à F de 3X.
12:30Pour tracer la courbe représentative de G, il suffit de faire une contraction horizontale de la courbe rouge de coefficient 3,
12:37c'est-à-dire de la compacter horizontalement de telle sorte que la transformée occupe, dans ce cas-là,
12:431 tiers, 1 sur 3, de la place prise par la fonction originelle.
12:48H de X est égale à F de 0,5X.
12:52Pour tracer la courbe représentative de H, il suffit de faire une dilatation horizontale de la courbe rouge de coefficient 0,5,
13:00c'est-à-dire l'étirer horizontalement de telle sorte que la transformée occupe, dans ce cas-là,
13:052 fois, 1 sur 1 demi, plus de place prise par la fonction originelle.
13:10On continue désormais avec les coefficients à négatif.
13:14G de X est égale à F de moins 3X.
13:18Pour tracer la courbe représentative de G, il suffit de faire en même temps un retournement et une contraction verticale de la courbe rouge de coefficient 3,
13:26c'est-à-dire de la compacter horizontalement de telle sorte que la transformée occupe, dans ce cas-là,
13:311 tiers, 1 sur 3, de la place prise par la fonction originelle, et de la retourner suivant l'axe Y.
13:39H de X est égale à F de moins 0,5X.
13:43Pour tracer la courbe représentative de H, il suffit de faire en même temps un retournement et une dilatation horizontale de la courbe rouge de coefficient 0,5,
13:52c'est-à-dire l'étirer horizontalement de telle sorte que la transformée occupe, dans ce cas-là,
13:572 fois, 1 sur 1 demi, plus de place prise par la fonction originelle, et de la retourner suivant l'axe Y.
14:05Cinquième transformation, le renversement.
14:09C'est comme un retournement vu précédemment, mais suivant l'axe X.
14:14La composée sera du type Y égale à moins F de X.
14:18La transformée sera une image renversée autour de l'axe X.
14:22Illustration par un exemple.
14:25Voici deux courbes représentatives de deux fonctions, F et G.
14:30F est la fonction de référence, en rouge.
14:33G de X est égale à moins F de X.
14:36Pour tracer la courbe représentative de G, en bleu, il suffit de faire la symétrie axiale de la courbe rouge par rapport à l'axe des abscisses.
14:45Aucune complication, le plus difficile sera de faire cette symétrie axiale proprement et rapidement.
14:51Sixième transformation, le retournement, vu dans les dilatations et contractions horizontales.
14:57La composée sera du type Y égale à F de moins X.
15:01La transformée sera une image renversée autour de l'axe Y.
15:06Illustration par un exemple.
15:08Voici deux courbes représentatives de deux fonctions, F et G.
15:13F est la fonction de référence, en rouge.
15:16G de X est égale à F de moins X.
15:20Pour tracer la courbe représentative de G, il suffit de faire la symétrie axiale de la courbe rouge par rapport à l'axe désordonné.
15:28Aucune complication, le plus difficile sera de faire cette symétrie axiale proprement et rapidement.
15:34Septième transformation, la valeur absolue de fonction.
15:38La composée sera du type Y égale à valeur absolue de F de X.
15:43La transformée sera la symétrie axiale suivant l'axe X de toutes les portions de courbe situées en dessous de l'axe des axes,
15:50pour les ramener au-dessus en conservant les portions de courbe en haut.
15:54Illustration par un exemple.
15:56Voici deux courbes représentatives de deux fonctions, F et G.
16:01F est la fonction de référence, en rouge.
16:04La transformée est en bleu.
16:07Tu remarqueras que la portion de courbe rouge à gauche désordonnée est passée au-dessus des abscisses.
16:13Quant à la portion de courbe à droite désordonnée, elle n'a pas bougé car au-dessus des abscisses,
16:18ceci explique sa coloration violette car superposition de F et G.
16:22Huitième et dernière transformation, la fonction de valeur absolue.
16:27La composée sera du type Y égale à F de valeur absolue de X.
16:32La transformée sera la symétrie axiale suivant l'axe Y de toutes les portions de courbe situées à droite de l'axe désordonné pour les ramener à gauche,
16:40en conservant les portions de droite.
16:43Illustration par un exemple.
16:45Voici deux courbes représentatives de deux fonctions, F et G.
16:50F est la fonction de référence, en rouge.
16:53La transformée est en bleu.
16:55Tu remarqueras que la portion de courbe rouge à gauche désordonnée n'a aucune correspondance en bleu.
17:01Quant à la portion de courbe à droite désordonnée, elle a sa symétrie axiale en bleu à gauche désordonnée.
17:07La composée ici sera la réunion de la portion bleue à gauche désordonnée et celle à droite de cet acte,
17:13ceci expliquant sa coloration violette, par superposition de F et G.
17:18On en a enfin terminé avec ce catalogue fastidieux de transformations.
17:23Il ne me reste plus qu'à clôturer cet atelier par une note de fin.
17:27Sache que les effets de chaque transformation peuvent se cumuler.
17:31Un exemple valant tous les pompes discours du monde, soit une fonction F qui sort un peu de l'ordinaire, mais ne te focalise pas dessus.
17:39Je dois tracer la fonction G de X, égale à moins 4 fois F de, moins 0,5 X moins 2, plus 3.
17:46Oui, je sais, je n'ai pas fait dans la dentelle, et on ne te demandera jamais de tracer une fonction aussi chargée.
17:53J'ai voulu un exemple dans lequel il fallait reconnaître un maximum de transformations.
17:58C'est parti pour leur détermination.
18:01Le moins ici, c'est un renversement.
18:04Le 4 indique une didatation verticale.
18:07Le moins ici atteste d'un retournement.
18:10Le 0,5 énonce une didatation horizontale.
18:14Le moins 2 à cet endroit mentionne une translation horizontale.
18:18Le plus 3 en fin d'équation spécifie une translation verticale.
18:22Et ça donne quoi d'un point de vue graphique ?
18:25Ceci.
18:27La courbe rouge est la fonction F, la bleue s'a transformée.
18:31Donc, pour passer de la rouge à la bleue, il a fallu faire un renversement, une dilatation verticale, un retournement, une dilatation horizontale, une translation horizontale, et une translation verticale.
18:44Tout ça pour ça.
18:46L'atelier est désormais terminé.
18:49Tu as des questions ?
18:51Tu veux un complément d'information ?
18:53Rejoins-moi dans l'espace commentaires.
18:56Le cours complet en PDF, librement téléchargeable, est disponible dans la description de cette vidéo.
19:03Le tutoriel de travaux dirigé intitulé ForgeMAN hashtag 021, fonction composée, est accessible, le lien est en description.
19:12Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
19:16A tout de suite.
19:18Tchuss !