Forge MAN#022 - Fonctions Homographiques...
Exercices disponible ici : https://drive.google.com/drive/folders/1DzXORWV2wewgsBTPNjmVE1Yl4D9XA-mq?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
Le cours est accessible ici : https://dai.ly/k4l0QsP3y1f8tpButN0
Que la Forge soit avec toi...
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ÉducationTranscription
00:00Mes respects à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:24Aujourd'hui, forge NAN numéro 22, les fonctions chromographiques.
00:29Et on commence sans plus attendre par le problème 13.2 qui va ouvrir ton horizon scientifique.
00:35Lors d'un branchement en parallèle, on dit aussi en dérivation, de deux résistances R1 et R2,
00:41les physiciens savent qu'une loi permet de remplacer ces deux résistances par une seule résistance, notée R,
00:47à condition qu'elle vérifie la relation suivante.
00:501 sur R est égal à 1 sur R1 plus 1 sur R2.
00:56Dans cet exercice, les résistances sont exprimées en Ohm, avec R1 l'égal à 2, et R2 égal à X.
01:03J'ai besoin de place pour réfléchir avec mon clavier, je vais donc faire du vide.
01:08Voilà qui est bien mieux.
01:10Première question, démontrer que R est égal à 2X sur X plus 2.
01:16Application de la formule donnée dans l'émoncé en remplaçant R1 et R2 par respectivement 2 et X,
01:221 sur R est égal à 1 sur 2 plus 1 sur X.
01:27Je ramène tout sur le même dénominateur, facile.
01:30Je somme les fractions, et j'inverse le résultat pour montrer que R est bien l'égal à 2X sur X plus 2.
01:37Question suivante, on considère la fonction petit r, définie sur l'intervalle 0 inclut, plus l'infini exclut,
01:44par petit r de X est égal à 2X sur X plus 2.
01:49Pour montrer que petit r de X est égal à 2 moins 4 sur X plus 2.
01:54On va travailler intelligemment, partir de l'expression littérale donnée à droite du signe égal,
01:59et justifier son égalité avec petit r de X.
02:03Première étape, on met chaque bloc sur le même dénominateur, ici, X plus 2, distributivité, somme,
02:10on obtient 2X sur X plus 2, soit petit r de X.
02:15Donc, la boucle est bouclée.
02:18Question suivante, il faut montrer que la fonction petit r est croissante sur l'intervalle des réels positifs ou nuls.
02:25Il va falloir utiliser la composition des fonctions vues dans l'atelier MAN numéro 21,
02:30le lien est dans la description de cette vidéo.
02:32Catalogue de vidéos.
02:33Salman Delbrotte.
02:35On part de l'égalité montrée dans la question précédente.
02:39Sur l'intervalle, X plus 2 est une fonction, notée f, strictement croissante,
02:45une fonction affine avec coefficient directeur strictement positif.
02:49Inversion de la fonction, ce qui entraîne une inversion de variation de f, donc fonction, notée g, qui devient décroissante.
02:57Multiplication par un nombre négatif, donc inversion de la variation de g, la fonction, notée h, devient croissante.
03:06L'ajout d'un réel ne modifiant pas la variation, petit r est croissante sur son intervalle.
03:12Question suivante, il faut démontrer que pour tout X positif, on a petit r de X compris entre 0 inclus et 2 exclus.
03:20Il faut repartir de l'égalité de la question 2a, qu'il va falloir en quelque sorte fabriquer,
03:25et du domaine de définition de la fonction petit r.
03:29X compris entre 0 inclus et plus l'infini exclu, donc ajouter 2 fera que X plus 2 compris entre 2 inclus et plus l'infini.
03:38Je rappelle que rajouter, ou soustraire, un petit nombre à plus l'infini ne le change pas, c'est plus l'infini,
03:44il est infiniment grand, tellement grand que tu auras toujours du mal à l'appréhender.
03:49Inversion de chaque membre de l'inégalité, donc inversion du sens des signes inéquation.
03:54Petit rappel qui a son importance, l'inverse de plus l'infini est 0.
03:59Multiplication par un nombre négatif, moins 4, ce qui inverse une nouvelle fois le sens des signes inéquation,
04:06puis plus 2 dans chaque membre pour bien obtenir petit r de X compris entre 0 inclus et 2 exclus.
04:13Question suivante, dresser le tableau de variation de petit r.
04:19Un tableau de variation, le domaine de définition dans la première ligne, une flèche croissante en seconde ligne car la fonction l'est aussi.
04:27Comme on a démontré dans une question précédente que petit r était comprise entre 0 et 2,
04:32il suffit de mettre le 0 ici, et le 2 là, ce qui est mathématiquement logique, ou logiquement mathématique, c'est comme tu veux.
04:40Dernière question, comment choisir r2 pour avoir r égale à 1,5 ohm ?
04:45Il faut partir de la fonction petit r de X, qui a deux écritures, la forme homographique, et sa forme canonique.
04:53Pour répondre à la question, il faut résoudre l'équation petit r de X égale à 1,5.
04:59Je vais utiliser la forme canonique, plus pratique.
05:03Mais ça fonctionne tout autant avec la forme homographique, sauf que ce sera un peu plus long.
05:08Passage du 2 de gauche à droite, il devient moins 2.
05:121,5 moins 2, ça fait moins 0,5.
05:16J'enlève les signes moins à gauche et à droite, et je transforme le 0,5 en 1,5.
05:22Inversion des deux fractions de part et d'autre du signe égal, pour obtenir, X plus 2, sur 4, égale à 2.
05:29Le 4, qui divise à gauche, passe à droite en multipliant.
05:34On obtient X plus 2 égale à 8, ce qui entraîne que X égale à 8 moins 2.
05:39Donc, X égale à r2, égale à 6 ohm.
05:43Fin du premier exo, on passe au suivant.
05:46Une entreprise lance un nouveau produit.
05:50L'évolution des ventes mensuelles est donnée par la formule suivante.
05:54V2X égale à 60X divisé par, X plus 5.
05:58V2X est la production, en milliers d'unités, pour le mois numéro X.
06:04Je profite de l'occasion pour te conjurer de faire attention aux unités des variables et des fonctions dans un exercice,
06:10surtout si on te demande d'expliquer ce que tu as trouvé dans le contexte du problème posé.
06:15Par exemple ici, V2X est en milliers d'unités.
06:19Si on te demande de déterminer, à l'unité près, le volume produit au mois numéro X,
06:24il faudra calculer V2X avec trois chiffres après la virgule,
06:28puis de multiplier par mille ce résultat pour l'avoir en nombre d'unités.
06:32Et ici, X est en nombre de mois donc, forcément positif ou nul.
06:37J'ai encore besoin de place pour réfléchir avec mon clavier, je vais donc faire du vide.
06:43Voilà qui est plus meilleur.
06:45Première question, on te demande l'étude de la fonction V, pour X compris entre 0 et 100.
06:51Il faut montrer que V2X peut s'écrire 60 moins, 300 sur, X plus 5.
06:57Bref, on te demande la forme calonique.
07:00On reprend les bases.
07:02V2X aura deux écritures, la première homographique, la seconde calonique.
07:09Pour passer de la première à la seconde, il va falloir appliquer des formules pour trouver grand A,
07:14grand B et alpha, à partir de petit a, petit b, petit c et petit d.
07:20Commençons par donner leurs valeurs.
07:23Petit a est égal à 60, petit b à 0, petit c à 1 et petit d à 5.
07:29Grand A est égal à petit a sur petit c, soit 60 sur 1, donc grand A est égal à 60.
07:36Grand B est égal à petit b petit c moins petit a petit d sur petit c au carré, soit 0 fois 1 moins 60 fois 5 sur 1 au carré,
07:45donc grand B est égal à moins 300.
07:48Alpha est égal à moins petit d sur petit c, soit moins 5 sur 1, donc alpha est égal à moins 5.
07:54V2X est égal à 60, plus, moins 300 sur, X moins, moins 5, qui se réarrange en 60 moins, 300 sur, X plus 5.
08:05Question suivante, étudier les variations de V sur l'intervalle zéro fermé, sans ouvert.
08:11Présenter son tableau de variations.
08:14Pour cela, il faut partir de la forme canonique déterminée précédemment,
08:18et on va faire comme dans le premier exercice avec la méthode des fonctions composées.
08:23Sur l'intervalle, X plus 5 est une fonction, notée f, strictement croissante,
08:28par fonction affine avec coefficient directeur strictement positif.
08:33Inversion de la fonction, ce qui entraîne une inversion de variation de f, donc fonction, notée g, qui devient décroissante.
08:41Multiplication par un nombre négatif, moins 300, donc inversion de la variation de g, la fonction, notée h, devient croissante.
08:50L'ajout d'un réel, ici, 60, ne modifiant pas la variation, V est croissante sur son intervalle.
08:58Tableau de variations, 0 et 100, flèche croissante, puis calcul de V de 0, qui donne 0, inscrit dans le tableau,
09:06et V de 100, qui donne 4 cent septième, placé dans le tableau.
09:10Et pis c'est tout.
09:12Dernière question, compléter le tableau de valeur suivant au millier d'euros près, puis tracer la courbe.
09:18Facile et mille, c'est du calcul bête et méchant, remplacement de X par la valeur et calcul d'image, arrondi à l'unité.
09:26C'est parti !
09:56dans le tableau. Tu places les points dans un repère orthogonal ou orthonormé, et
10:01tu les relis au crayon, bien taillé, pour obtenir ça. La mienne est parfaite, vu que
10:06j'ai utilisé GeoGebra. Il n'empêche que tu vas devoir prendre le coup de main assez
10:11rapidement et apprendre à tracer des courbures sans sucrer des fraises, ou d'investir dans
10:15un pistolet à courbe. Aussi appelé pistolet à dessin, ou perroquet, je t'en affiche
10:21un exemplaire sur ton écran, et ça se trouve dans n'importe quelle mercerie, vu que c'est
10:26un outil de couture à base. Fin de cet exo, on passe au prochain.
10:30Exprime chacune des fonctions sous la forme f de x égale à m plus n sur x plus p. Construis
10:39ensuite le graphique de chacune des fonctions à partir de celui de 1 sur x, en justifiant
10:44les étapes de construction. Bref, tu as la forme homographique, on te demande la forme
10:49canonique, et de l'utiliser avec la méthode des fonctions composées pour dessiner sa
10:54courbe à partir de celle de 1 sur x. Pour ne pas que cette vidéo dure une plombe, je
10:59ne vais m'occuper que des deux premières, je te laisse le soin de faire les deux dernières.
11:03Et si tu as des questions, l'espace commentaire est à ta disposition.
11:08Première fonction, f1 de x, égale à 2x moins 1 sur x. Travaille toujours intelligemment
11:16et ne pars pas automatiquement dans les procédures avant d'être sûr que tu ne peux pas faire
11:20plus simple. Ici, je peux décomposer la fraction en deux parties, 2x sur x, et moins 1 sur
11:27x. La première se simplifie en 2, donc f1 de x est égale à 2 moins 1 sur x. Pour fabriquer
11:34f1 à partir de 1 sur x, il faut prendre son opposé, et y rajouter 2. Voici ce que tu
11:40devrais obtenir. 3 hyperboles, 1 sur x en rouge, noté g, son opposé en vert, noté
11:47h, et la fonction finale en bleu, noté f. J'espère que tu connais les transformations
11:53des fonctions composées. Car c'est le moment où il va falloir les utiliser. Si ce n'est
11:58pas le cas, le lien vers l'atelier est dans la description de cette vidéo.
12:02Catalogue des vidéos. Salman Delbrott. Atelier MAN numéro 21.
12:07C'est parti. Courbe rouge, un renversement, suivant l'axe
12:12au x, car opposé, pour obtenir la courbe verte. Courbe verte, translation verticale
12:18vers le haut de plus 2 unités, car on rajoute 2 à h pour avoir f. Et c'est fini. On va
12:25s'occuper de la seconde fonction. Par contre là, il va falloir dérouler la procédure
12:30complète pour transformer une forme homographique en forme canonique, vue dans la question
12:35numéro 1 de l'exercice précédent. Pour ne pas faire d'erreur de signe dans la
12:39détermination des constantes de la forme homographique, j'ai fait passer le moins
12:43du numérateur avec le 6, tout en conservant les codages couleurs.
12:47Petit a est en rouge, petit b en vert, petit c en bleu, et petit d en violet.
12:53m est égal à petit a sur petit c, soit 4 sur 2, donc m est égal à 2.
13:00n est égal à petit b petit c moins petit a petit d sur petit c au carré, soit, moins 6 fois 2,
13:06moins 4 fois 1, sur 2 au carré, donc n est égal à moins 4.
13:10p est égal à moins petit d sur petit c, soit moins 1 sur 2, donc p est égal à moins 0,5.
13:17f2 de x est égal à 2, plus, moins 4 sur, x moins, moins 0,5, qui se réarrange en 2 moins,
13:254 sur, x plus 0,5. Pour fabriquer f2 à partir de 1 sur x,
13:32il faut prendre sa translatée horizontale, passer par son opposé, et y rajouter 2.
13:37Voici ce que tu devrais obtenir. 4 hyperboles, 1 sur x en rouge,
13:43noté g, sa translatée en vert, noté h, son opposé en marron, noté k,
13:48et la fonction finale en bleu, noté f. Courroux rouge, une translation
13:54horizontale à gauche de moins 0,5, car h2x égal g2, x plus 0,5, pour obtenir la courbe verte.
14:01Courbe verte, renversement, suivant l'axe x, car opposé, pour obtenir la courbe marron.
14:08Courbe marron, translation verticale vers le haut de plus 2 unités,
14:13car on rajoute 2 à k pour avoir f. Et c'est fini.
14:17A toi donc de jouer pour les deux dernières fonctions, et pour ne pas perdre de temps,
14:21utilise GeoGebra, facile à prendre en main. Fin de cet exo, on passe au prochain.
14:27Pour chacune des fonctions suivantes, précisez le domaine de définition,
14:32les intersections avec les axes de coordonnées, les équations des asymptotes,
14:36les coordonnées du centre de symétrie, la croissance ou la décroissance.
14:41Et D, tout ça. Et ce n'est pas fini, vu qu'il faut effectuer une représentation graphique
14:48dans un système d'axes orthonormé, phrase pompeuse qui veut juste dire de tracer
14:52à courbe dans un repère standard. Je te rassure, on ne va pas tout faire,
14:57je ne vais sélectionner que ces trois-là. Mais rien ne t'empêche de faire les deux autres,
15:02bien au contraire. J'ai besoin de place pour réfléchir avec mon clavier, je vais donc faire du vide.
15:08Voilà qui est de nouveau mieux. Je vais afficher la fonction écrite telle qu'elle dans l'énoncé
15:14en haut à droite de ton écran, et je vais répondre aux questions dans l'ordre demandé.
15:18Domaine de définition, il faut que le dénominateur ne soit pas nul, car division
15:24par zéro impossible. Tu poses x moins 1 différent de zéro, donc x différent de 1.
15:29Le domaine de définition, noté Df, sera moins infini exclu, un exclu, union à exclu,
15:36plus l'infini exclu. Tu peux remplacer le mot exclu par le mot ouvert, qui désigne
15:42l'orientation des crochets. Intersection avec l'axe des ordonnées, il suffit de calculer f de zéro,
15:48ce qui donne 1. Le point K aura pour coordonnées zéro, 1. Intersection avec l'axe des abscisses,
15:56il faut résoudre f de x égal à zéro. Je te rappelle que pour qu'une fraction soit nul,
16:01ceci implique que seul son numérateur est nul. Donc, tu poses 2x moins 1 égal à zéro,
16:07et tu auras x égal à 0,5. Le point L aura pour coordonnées 0,5, 0.
16:14Avant d'aller plus loin, on va déterminer les coefficients de la forme homographique
16:19de notre fonction. Petit a égal à 2, petit b à moins 1, petit c à 1, et petit d à moins 1.
16:26Par définition, l'asymptote verticale aura pour équation x égal à alpha,
16:31avec alpha égal à moins petit d sur petit c. Donc, x égal à 1. De nouveau par définition,
16:39l'asymptote horizontale aura pour équation y égal à grand A, grand A égal à petit a sur petit c.
16:45Donc, y égal à 2. Toujours par définition, décidément, le centre de symétrie,
16:52noté oméga, a pour coordonnées alpha, grand A. Donc, les coordonnées d'oméga sont 1, 2.
16:59Pour déterminer les variations, croissances ou décroissances, il va falloir transformer la
17:05forme homographique en forme canonique. Affichage des coefficients de la forme
17:09homographique, et il te suffit d'appliquer simplement les formules. Grand A est égal à
17:15petit a sur petit c, ce qui donne 2. Grand B est égal à petit b petit c moins petit a petit d sur
17:22petit c au carré, soit moins 1 fois 1, moins 2 fois moins 1, sur un gros carré. Donc grand B
17:28est égal à 1. Alpha est égal à moins petit d sur petit c, soit moins 1 sur 1, donc alpha
17:34est égal à moins 1. f de x est égal à 2, plus, 1 sur, x moins, moins 1, qui se réarrange en 2 plus,
17:421 sur, x plus 1. Étudions maintenant cette forme canonique. Ici, la fonction notée g est
17:49croissante car fonction affine avec coefficient directeur strictement positif. Inversion de la
17:55fonction, ce qui entraîne une inversion de variation, donc fonction, notée h, qui devient
18:01décroissante. Multiplication par un nombre positif, donc conservation de la variation de h,
18:07la fonction reste décroissante. L'ajout d'un réel, ici, 2, ne modifie pas la variation mais génère
18:14une translation verticale, f est donc décroissante sur son intervalle. Voici la courbe tracée sur
18:21géogébras. J'ai fait apparaître les points K et L, intersection de la courbe avec les axes,
18:26le point de symétrie oméga, et les asymptotes horizontales et verticales. Si tu veux la dessiner
18:33à la main, je te conseille de tracer en premier les deux asymptotes, suivi des points d'intersection
18:38avec les axes, s'ils existent, puis de prendre quelques antécédents savamment choisis pour
18:42placer d'autres points sur le repère, et de les relier sans trembler, ou avec le pistolet à courbe
18:48précédemment. C'est bon pour toi. On peut donc passer à la seconde fonction. Je vais afficher la
18:55fonction écrite telle quelle dans l'énoncé en haut à droite de ton écran, et je vais à nouveau
18:59répondre aux questions dans l'ordre demandé. Domaine de définition, il faut que le dénominateur
19:05ne soit pas nul, car division par 0 impossible. Tu poses 4 moins x différent de 0, donc x différent
19:13de 4. Le domaine de définition, noté des f, sera moins infini exclu, 4 exclu, union 4 exclu, plus
19:21l'infini exclu. Tu sais que tu peux remplacer le mot exclu par le mot ouvert, qui désigne l'orientation
19:28des crochets. Intersection avec l'axe des ordonnées, il suffit de calculer f de 0, ce qui donne moins
19:340,5. Le point k aura pour coordonnées 0, moins 0,5. Intersection avec l'axe des abscisses, il faut
19:43résoudre f de x égal à 0. Je te rappelle que pour qu'une fraction soit nulle, ceci implique que seul
19:49son numérateur est nul. Donc, tu poses 3x moins 2 égal à 0, et tu auras x égal à 2 tiers. Le point
19:58l aura pour coordonnées 2 tiers, 0. Avant d'aller plus loin, on va déterminer les coefficients de
20:04la forme homographique de notre fonction. Attention au piège, il y a une inversion des données au
20:10dénominateur, la variable x doit toujours être en première position. De ce fait, 4 moins x doit se
20:17lire moins x plus 4. Donc, petit a sera égal à 3, petit b à moins 2, petit c à moins 1, et petit d à 4.
20:26Par définition, l'asymptote verticale aura pour équation x égal à alpha, avec alpha égal à
20:32moins petit d sur petit c. Donc, x égal à 4. De nouveau par définition, l'asymptote horizontale
20:40aura pour équation y égal à grand a, grand a égal à petit a sur petit c. Donc, y égal à moins 3.
20:47Toujours par définition, décidément, le centre de symétrie, noté omega, a pour coordonnées alpha,
20:54grand a. Donc, les coordonnées d'oméga sont 4, moins 3. Pour déterminer les variations, croissances
21:02ou décroissances, il va falloir transformer la forme homographique en forme canonique. Affichage
21:08des coefficients de la forme homographique, il te suffit d'appliquer simplement les formules.
21:13Grand a est égal à petit a sur petit c, ce qui donne moins 3. Grand b est égal à petit b petit c
21:20moins petit a petit d sur petit c au carré, soit moins 2 fois moins 1 moins 3 fois 4 sur moins 1 au
21:27carré. Donc, grand b est égal à moins 10. Alpha est égal à moins petit d sur petit c, soit moins 4
21:34sur moins 1. Donc, alpha est égal à 4. f de x est égal à moins 3 plus moins 10 sur x moins 4,
21:42que je te conseille de conserver tel quel. Étudions maintenant cette forme canonique.
21:47Ici, la fonction notée g est croissante car fonction affine avec coefficient directeur
21:53strictement positif. Inversion de la fonction, ce qui entraîne une inversion de variation,
21:59donc fonction, notée h, qui devient décroissante. Multiplication par un nombre négatif, moins 10,
22:06donc inversion de la variation de h, la fonction devient croissante. L'ajout d'un réel, ici,
22:13moins 3, ne modifie pas la variation mais génère une translation verticale. f est
22:18donc croissante sur son intervalle. Voici la courbe tracée sur Géogébra. J'ai fait apparaître les
22:24points k et l, intersection de la courbe avec les axes, le point de symétrie oméga et les asymptotes
22:30horizontales et verticales. Si tu veux la dessiner à la main, je te rappelle de tracer en premier les
22:36deux asymptotes, puis les points d'intersection avec les axes, s'ils existent, puis de prendre
22:41quelques antécédents savamment choisis pour placer d'autres points sur le repère, et de les
22:46relier sans trembler, ou avec le pistolet à courbe. C'est toujours bon pour toi. On peut donc passer à
22:53la dernière fonction. Je vais afficher la fonction écrite telle quelle dans l'énoncé en haut à
22:57droite de ton écran, et je vais toujours répondre aux questions dans l'ordre demandé. Domaine de
23:03définition, il faut que le dénominateur ne soit pas nul, car division par zéro impossible. Tu poses
23:10deux x plus trois différents de zéro, donc x différents de moins trois demi. Le domaine de
23:15définition, noté df, sera moins infini exclu, moins trois demi exclu, union moins trois demi exclu,
23:22plus l'infini exclu. Tu sais aussi que tu peux remplacer le mot exclu par le mot ouvert, qui
23:28désigne l'orientation des crochets. Intersection avec l'axe des ordonnées, il suffit de calculer
23:34f de zéro, ce qui donne zéro. Le point O a pour coordonnées zéro, zéro. Intersection avec l'axe
23:41des abscisses, il faut résoudre f de x égal à zéro. Je te rappelle que pour qu'une fraction soit
23:47nulle, ceci implique que seul son numérateur est nul. Donc, tu poses moins cinq x égal à zéro,
23:54et tu auras x égal à zéro. Le point O aura pour coordonnées zéro, zéro. Avant d'aller plus loin,
24:01on va déterminer les coefficients de la forme homographique de notre fonction. Attention au
24:07piège, il n'y a pas de somme de réel au numérateur, ce qui implique que petit b est nul. De ce fait,
24:13petit a sera égal à moins cinq, petit b à zéro, petit c à deux, et petit d à trois. Par définition,
24:20l'asymptote verticale aura pour équation x égal à alpha, avec alpha égal à moins petit d sur petit
24:26c. Donc, x égal à moins 1,5. De nouveau par définition, l'asymptote horizontale aura pour
24:34équation y égal à grand a, grand a égal à petit a sur petit c. Donc, y égal à moins 2,5. Toujours
24:43par définition, décidément, le centre de symétrie, noté omega, a pour coordonnées alpha, grand a.
24:50Donc, les coordonnées d'omega sont moins 1,5, moins 2,5. Pour déterminer les variations,
24:58croissances ou décroissances, il va falloir transformer la forme homographique en forme
25:02canonique. Affichage des coefficients de la forme homographique, il te suffit d'appliquer
25:08simplement les formules. Grand a est égal à petit a sur petit c, soit moins 5 sur 2,
25:13ce qui donne moins 2,5. Grand b est égal à petit b petit c moins petit a petit d sur petit c au
25:21carré, soit 0 fois 2 moins moins 5 fois 3 sur 2 au carré. Donc, grand b est égal à 3,75. Alpha
25:30est égal à moins petit d sur petit c, soit moins 3 sur 2. Donc, alpha est égal à moins 1,5. F de
25:37x est égal à moins 2,5 plus 3,75 sur x moins moins 1,5, qui se simplifie en moins 2,5 plus 3,75
25:49sur x plus 1,5. Étudions maintenant cette forme canonique. Ici, la fonction notée g est croissante
25:57car fonction affine avec coefficient directeur strictement positif. Inversion de la fonction,
26:03ce qui entraîne une inversion de variation, donc fonction, notée h, qui devient décroissante.
26:09Multiplication par un nombre positif, 3,75, donc conservation de la variation de h, la
26:17fonction reste décroissante. L'ajout d'un réel, ici, moins 2,5, ne modifie pas la variation mais
26:24génère une translation verticale. F est donc décroissante sur son intervalle. Voici la courbe
26:30tracée sur GeoGebra. J'ai fait apparaître le point O, intersection de la courbe avec les axes,
26:36le point de symétrie Omega, et les asymptotes horizontales et verticales. Si tu veux la dessiner
26:42à la main, je te rappelle de tracer en premier les deux asymptotes, suivi des points d'intersection
26:47avec les axes, s'ils existent, puis de prendre quelques antécédents savamment choisis pour
26:52placer d'autres points sur le repère, et de les relier sans trembler, ou avec le pistolet à courbe.
26:57Fin de cet exo, et je te conseille de t'occuper des deux fonctions que je n'ai pas traitées,
27:02histoire de t'assurer que tu maîtrises bien la procédure. On passe maintenant au
27:07dernier exercice. Libérer, délivrer, la chanson tu connais. Déterminer les réels petit a,
27:15petit b, et petit d, tels que l'hyperbole, notez grand H, de formule y égale à, petit a x plus
27:22petit b, sur, x plus petit d. Admettre pour asymptote les droites d'équation y égale à 2,
27:28et x égale à moins 3. Et passe par le point grand A de coordonnée 0, 1. Construire grand H dans un
27:35repère orthonormé. Bref, tu commences à être rodé, on ne te demande que des banalités mathématiques.
27:41C'est parti. Par définition, la fonction homographique a pour formule, petit a x plus petit b, sur,
27:50petit c x plus petit d. Mais ici, le dénominateur est égal à, x plus petit d, ce qui entraîne que
27:58petit c est égal à 1. Par définition, l'asymptote horizontale aura pour équation y égale à petit a
28:04sur petit c, aussi égale à 2. Donc, petit a sur 1 est égal à 2, ce qui entraîne que petit a
28:11égale à 2. Toujours par définition, l'asymptote verticale aura pour équation x égale à moins
28:18petit d sur petit c, aussi égale à moins 3. Donc, moins petit d sur 1 est égal à moins 3,
28:24ce qui entraîne que petit d égale à 3. On va utiliser ces informations pour écrire la
28:29formule intermédiaire de f de x, qui sera égale à, 2 x plus petit b, sur, x plus 3.
28:36Si l'hyperbole passe par le point grand A de coordonnée 0, 1, ça entraîne que f de 0 est
28:42égal à 1. Tu remplaces x par 0, et tu auras petit b sur 3 égal à 1, donc petit b sera égal à 3.
28:49L'expression finale de la fonction s'écrira, 2 x plus 3, sur, x plus 3.
28:55Voici la courbe tracée sur Géogébra. J'ai fait apparaître le point grand A,
29:01et les asymptotes horizontales et verticales. Si tu veux la dessiner à la main, je te rappelle
29:07une fois de plus de tracer en premier les deux asymptotes, puis de prendre quelques
29:11antécédents savamment choisis pour placer d'autres points sur le repère, et de les
29:15relier sans trembler, ou avec le pistolet à courbe. La forge est désormais terminée.
29:20Des questions ? Un complément d'information ? Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
29:27D'autres exercices en PDF, librement téléchargeables, sont disponibles dans la
29:33description de cette vidéo. A toi de forger maintenant.
29:37Prochaine vidéo sur l'enclume. Que la forge soit avec toi.
29:41Stay tuned. Tchuss.