On ajoute ici l'isotropie de l'espace.
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00:00Rester à ces transformations-là, donc par juste des considérations très très générales,
00:06on veut des espaces temps continus, équivalents entre eux,
00:09c'est-à-dire pour lesquels un événement, eux, a des coordonnées uniques dans les deux,
00:14et on cherche les relations de passage, c'est le principe de relativité,
00:17entre les coordonnées dans R' et les coordonnées dans R.
00:20On a vu que si on imposait l'homogénéité de l'espace-temps,
00:23alors les transformations prennent ces formes-là,
00:26et la vitesse nécessairement du référentiel R' par rapport au référentiel R
00:32doit être une constante, sinon ça ne peut pas tenir.
00:36Maintenant qu'on sait ça, on a vraiment beaucoup de possibilités pour les fonctions,
00:40parce que ça peut être n'importe quelle fonction, ici, gamma de V, A de V et B de V.
00:43C'est beaucoup trop, il va falloir qu'on trouve quelque chose pour essayer d'affiner tout ça.
00:48On va alors être obligé d'imposer une nouvelle contrainte,
00:52et la contrainte qu'on se propose, c'est ce qu'on appelle l'isotropie de l'espace.
00:57Alors qu'est-ce que ça veut dire l'isotropie de l'espace ?
01:00Ça veut dire que toutes les directions sont équivalentes entre elles.
01:05C'est-à-dire qu'il y a invariance par rotation.
01:08C'est-à-dire que si j'ai mon espace-temps, je le regarde,
01:12maintenant je le tourne autour d'un axe d'un certain angle,
01:17je regarde à nouveau l'espace une fois que je l'ai tourné,
01:20et bien c'est le même. C'est ça qu'on appelle l'isotropie de l'espace.
01:24Comme ici, on a un petit souci parce qu'on n'est qu'à une dimension,
01:27finalement, retourner l'espace, ça revient à faire le miroir.
01:31C'est-à-dire que je retourne l'axe X.
01:34Donc, qu'est-ce que je vais essayer de faire ?
01:37C'est que je vais poser un nouvel axe que je vais appeler X bar, qui vaut moins X.
01:42De la même façon, X prime bar va être retourné, ça va être moins X prime.
01:47Par contre, je ne retourne pas le temps, autrement dit,
01:50T bar, c'est toujours T, et puis T prime bar, c'est toujours T prime.
01:55Je n'ai pas changé le temps.
01:58J'ai inversé l'espace, j'ai retourné l'espace, mais pas le temps.
02:04Bon, alors qu'est-ce qu'on va faire de ça ?
02:06Je vais simplement remplacer X prime et T prime, et X et T, par leur expression en fonction des barres.
02:15On va le faire.
02:16Donc, X prime, c'est moins X prime bar.
02:20Bon, alors gamma de V, je recopie.
02:23X, c'est moins X bar, moins VT, mais T, c'est aussi T bar.
02:32Donc, je vais multiplier par moins 1, donc ça fait X prime bar, égale gamma de V, fois X bar, plus VT bar.
02:44Alors, maintenant que je suis là, moi j'aimerais, je veux que ceci soit égal à la même transformation que précédemment.
02:55Parce que retourner l'espace ne doit pas changer, ici, cette expression.
03:00Elle doit être équivalente quand j'ai retourné l'espace.
03:02Donc, finalement, j'ai envie que ce soit égal à un gamma de V bar, X bar, moins V bar, T bar.
03:09Est-ce que c'est possible que ça soit égal à ça ?
03:13La réponse est oui, on le voit.
03:16Il faut que V bar et V soient opposés.
03:19Autrement dit, V bar, c'est moins V.
03:24Effectivement, et si je change, effectivement, V bar en moins V, ça fonctionne.
03:31J'ai bien la même chose.
03:32Donc, c'est possible, il faut que V bar soit égal à moins V.
03:34Maintenant, il faut aussi que gamma de V bar soit égal à gamma de V.
03:43Or, gamma de V bar, on a dit, c'est gamma de moins V, égale gamma de V.
03:49Autrement dit, je suis en train de dire que gamma de V est une fonction paire.
03:55Bon, ce n'est pas super éclatant, mais au moins, on a éliminé un certain nombre de fonctions.
04:00Une fonction paire de V est possible, ici, pour gamma de V.
04:06Pas toute fonction possible, mais toute fonction paire de V.
04:08On peut faire la même chose avec la deuxième égalité.
04:12Donc, si j'écris la même chose avec la deuxième égalité, je vais écrire
04:14t' bar égale gamma de V fois A de V t bar, t c'est t bar, moins B de V, x bar, mais x bar c'est moins x.
04:32Donc, ça fait plus B de V fois x bar.
04:35Est-ce que ça, ça s'écrit gamma de V bar, donc je réécris exactement la même égalité, avec des barres partout.
04:45Donc, fois A de V bar t bar, moins B de V bar, x bar.
04:54Est-ce que c'est possible que ça soit égal à ça ?
04:57Bah oui, à condition que B de V soit égal à moins B de V bar, ou B de V bar égale moins B de V.
05:07Il faut que B de V bar soit égal à moins B de V, et il faut que A de V bar, finalement, soit égal à A de V, par contre.
05:14Comme V bar, c'était moins V, ça veut dire que B doit être impair, et que A doit être pair.
05:26A de V doit être pair.
05:30Voilà.
05:31Donc, on vient avec l'isotropie de l'espace, de montrer que toute fonction paire de V convient pour gamma,
05:39A, toute fonction paire de V convient pour A, et toute fonction impair de V convient pour B.
05:46Alors, on n'est pas encore super avancé, mais, bon, il y a du progrès.
05:51On arrive à affiner un tout petit peu plus nos fonctions.
05:56Alors, comment continuer ?
05:59Eh bien, l'astuce que je développerai dans la prochaine vidéo, l'astuce, c'est de se dire maintenant,
06:04bah, ok, il y a R, il y a R', ok, R et R',
06:08mais imaginons que j'envisage un troisième référentiel R seconde.
06:16Pour passer de R à R', je dois pouvoir, pour passer de XT à X'T',
06:21il doit y avoir une vitesse U de R' par rapport à R,
06:26qui permet de passer de XT à X'T' via cette transformation, cette transformation-là.
06:36Donc, je peux trouver X'T' en fonction de X et T,
06:40et ici, la vitesse, je vais l'appeler U.
06:42Une fois que j'ai fait ça, je connais X'T',
06:45et je peux donc en déduire X'T' ici,
06:51avec une vitesse que je vais appeler V,
06:53donc en appliquant à nouveau cette transformation,
06:56en mettant X' et T' ici, je pourrais avoir X' et T'.
07:01Mais, puisque ces deux sont équivalents,
07:05et que ces deux référentiels sont équivalents aussi,
07:08cet espace-temps est équivalent à celui-là,
07:10cet espace-temps est équivalent à celui-là,
07:12donc cet espace-temps doit être aussi équivalent à celui-là.
07:14Il doit donc exister un chemin direct,
07:18donc une transformation,
07:20ça, cette chose-là,
07:22il doit exister une vitesse W de R' par rapport à R,
07:26qui permet de passer directement de XT à X'T'.
07:30Donc, la vidéo suivante va consister à écrire
07:33cette succession ici de transformations,
07:37on va appeler ça une composition.
07:39La composition de deux transformations est une transformation.
07:43En fait, la composition d'une transformation,
07:45c'est une loi de composition interne,
07:47on appelle ça parce que,
07:49si mon ensemble, c'est l'ensemble de toutes les transformations que je cherche,
07:55finalement, cet ensemble,
07:57il est muni d'une loi de composition interne.
08:00La loi de composition consiste juste à appliquer les transformations l'une après l'autre.
08:03Eh bien, je constate que la composition de deux transformations,
08:07ça doit être aussi une transformation.
08:10Donc, la composition doit être une loi de composition interne.
08:14En fait, on est en train de construire ce qu'on appelle un groupe en mathématiques,
08:18parce qu'un groupe, c'est quoi ?
08:20C'est un ensemble.
08:21Mon ensemble, c'est l'ensemble de toutes les transformations possibles et imaginables que je cherche.
08:25La loi de composition interne, c'est simplement la composition de deux transformations,
08:31c'est-à-dire une puis l'autre.
08:33J'applique une transformation puis une autre après.
08:35Et cette composition est une transformation.
08:38Je veux que ce soit une transformation,
08:39puisque les référentiels ici doivent être aussi équivalents.
08:42Donc, j'ai un ensemble muni d'une loi de composition interne.
08:46Pour faire un groupe, ce n'est pas suffisant.
08:48Il faut aussi qu'il y ait un élément neutre.
08:50C'est-à-dire, quand je fais une transformation,
08:54je dois trouver une transformation qui me ramène au même état,
08:56au même endroit, ce qu'on appelle l'identité.
08:58Donc, est-ce qu'il existe une transformation d'identité ?
09:01On va voir que la réponse est oui.
09:02Il suffit de prendre V égale 0 et on va avoir l'identité.
09:05Je ne l'ai pas encore montré, mais on va y arriver.
09:07Et ensuite, il doit aussi y avoir, à toute transformation,
09:10une transformation inverse qui permet de redonner l'élément neutre,
09:14c'est-à-dire l'identité.
09:15Et on verra qu'effectivement, si j'applique U,
09:17puis ensuite, j'applique moins U, U puis moins U,
09:21R seconde est alors R.
09:23Je suis revenu au point de départ.
09:25Si je fais U et moins U, j'arrive au point de départ.
09:28Et quand j'ai réuni tout ça, j'ai fait ce qu'on appelle un groupe.
09:31J'ai construit un groupe.
09:33Ça, on va le voir juste après.
09:34Prochaine étape, là, c'est la partie un peu calculatoire.
09:37On va utiliser cette transformation.
09:39On va faire une composition de cette transformation.
09:43Et puis ensuite, on essaiera de voir ce qui se passe
09:45si on fait la transformation directe,
09:47et comparer les deux.
09:49Il faut que les deux soient équivalents.
09:50Et puis, on va voir ce qui se passe.
09:52Et puis, on va voir ce qui se passe.