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00:00On répond à une question d'inspect abonné à propos de l'épreuve Math B 2025, donc filière MP, sujet X, ENS.
00:07Sur la première question de la partie 2, je te laisse lire l'énoncé qui est affiché et l'introduction, et on attaque avec la question 7a.
00:14Montrez qu'il existe des nombres réels λ1, etc., λn, tels que pour tout P dans Rn-1 de x, on est l'intégrale de moins 1 à 1 de P de x, F de x, dx,
00:23est égale à la somme pour y variant de 1 à n des λi, P de ri.
00:27Essayons de raisonner pour comprendre ce qui peut nous amener à faire apparaître les P de ri,
00:32où pour rappel, les ri sont les racines du polynôme D.
00:35On voudrait qu'une certaine expression intégrale nous donne pour chacun des polynômes une somme avec certains coefficients bien choisis de ce polynôme appliqué en ri.
00:45Normalement, ce P de ri doit vous faire penser à une partie du cours absolument importante sur les polynômes,
00:49les polynômes de Lagrange où on définit Li de x comme tel, qui correspondent au polynôme de Lagrange associé au ri,
00:56et donc tout polynôme de degré O plus n-1 va s'écrire de cette façon-là, donc une somme de polynômes de degré n-1.
01:04Pour rappel, les Li forment une base de l'espace des polynômes de degré O plus n-1,
01:08et on a que Li vaut 1 en ri et vaut 0 en rj quand j est différent de i.
01:13On peut donc écrire l'intégrale de moins 1 de P de x F de x dx comme ceci,
01:18ce qui peut se réécrire comme ceci par linéarité de l'intégrale, j'ai sorti le facteur P de ri,
01:22et donc j'ai l'intégrale de moins 1, 1 de Li de x F de x dx à l'intérieur de la somme,
01:27ce qui peut se réécrire donc de cette façon-là,
01:29où λi est donné par cette quantité-là et Li est le polynôme de Lagrange associé à ri.
01:35Check !
01:36Pour la question 7b, on veut montrer qu'on a la même décomposition pour P,
01:39qui est un polynôme de degré O plus 2n-1,
01:42et on nous donne une indication avec la division euclidienne par d.
01:45Donc d'après l'énoncé de la division euclidienne pour les polynômes à coefficient dans R,
01:49on a que P de x est écrit de cette façon,
01:51où le degré de R de x est strictement plus petit que celui de d,
01:56or d est de degré n, et P est de degré 2n-1.
02:00Donc pour que cette expression ici soit de degré 2n-1,
02:03nécessairement ceci est de degré 2n-1, puisque ceci est de degré strictement plus petit que n.
02:07Et vu que d est de degré n, nécessairement Q est de degré n-1,
02:11par addition des degrés quand on multiplie les polynômes.
02:13Et donc l'intégrale de P de x F de x de moins 1 s'écrit de cette façon-là en remplaçant,
02:18et j'utilise la linéarité de l'intégrale pour découper de cette façon-là.
02:21Or tout ceci est égal à 0.
02:23Oui, parce que d est dans l'orthogonale de Rn-1 de x par rapport à ce produit scalaire.
02:27Et pour rappel, on a démontré que Q était de degré n-1.
02:29Et donc on n'a que tout ceci, c'est tout simplement l'intégrale de Rx F de x dx entre moins 1 et 1,
02:35ce qui vaut d'après la question précédente ceci, puisque R est de degré au plus n-1.
02:39Or P de Ri est égal à R de Ri, puisque d de Ri s'annule.
02:44Pour rappel, les Ri sont les racines de d.
02:46Et donc on a bien que l'égalité est aussi valide pour les polynômes de degré au plus 2n-1.
02:50Check !
02:51Je te laisse regarder toutes les notes,
02:53et n'hésite pas à poser tes questions en commentaire si jamais tu as des questions.
02:55Bisous !