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00:00Correction de l'épreuve math 1-min 2025, filière PC et PSI.
00:04Regarde bien l'énoncé, on attaque avec la question 1, on a P, un polynôme à coefficient dans C de degré petit p,
00:11et on a AP différent de 0 vu qu'il est de degré p.
00:14Montrez que P est réciproque, si et seulement si pour tout entier K compris entre 0 et P,
00:18on a l'égalité A indice K est égale à A indice P moins K.
00:22Rappelons tout d'abord d'après l'énoncé qu'un polynôme réciproque vérifie ceci.
00:25Et donc je réécris l'expression de cette façon là,
00:27donc j'ai ceci, XP fois la somme des AK, X puissance moins K,
00:31puisque les ayants sur X puissance K deviennent des X puissance moins K.
00:34Ce qui me fait en faisant rentrer le X puissance P ceci,
00:37et je fais le changement de variable K' est égale P moins K.
00:40Et juste après je re-remplace K' par K, ce qui me donne cette somme.
00:44Donc faites bien attention aux indices, ici le P moins K est devenu un K',
00:48le K est bien devenu un P moins K',
00:51et donc les bornes vont bien de 0 à P, ça c'est inversé mais on remet dans le bon sens.
00:55Et après je remplace les K' par des K et j'obtiens bien ceci.
00:58Mais comme tout ceci c'est égal à P de X, j'ai cette égalité là.
01:01Et ça c'est tout simplement deux polynômes de degré P qui sont égaux,
01:05et par unicité de la décomposition dans la base canonique,
01:07j'ai que les coefficients sont égaux.
01:09Qui répond bien à la première question, check.
01:11Question 2, soit P, un polynôme écrit sous sa forme factorisée comme un fichier,
01:15on veut écrire sous forme factorisée X puissance P, P de 1 sur X,
01:18et montrer que si P est réciproque, alors,
01:20pour tout entier I entre 1 et D,
01:23lambda I est non nulle et 1 sur lambda I est racine de P avec la multiplicité MI.
01:27Je commence par écrire sous forme factorisée cette expression,
01:29et donc j'ai X puissance P fois l'expression factorisée de P en remplaçant X par 1 sur X,
01:34qui me donne ceci.
01:35Et là je note que comme cette expression ça correspond à la factorisation de P de 1 sur X,
01:41qui vient bien sûr à la base de celle de P,
01:43j'ai que la somme des MI pour I variant de 1 jusqu'à D est égale justement à P,
01:48puisque la somme des degrés de tous ces facteurs-là,
01:50ça fait le degré de P, qui est bien égal à petit P.
01:53Donc des facteurs dans ce produit, j'en ai exactement petit P.
01:56Et à chacun je leur distribue un X, vu que j'ai un X puissance P ici,
02:00ce qui me fait bien ceci.
02:01Donc notez que j'ai bien multiplié ceci par X,
02:04et donc j'obtiens bien 1 moins X lambda I puissance MI.
02:09Premier point, précisons que d'après la factorisation et les relations coefficients racines,
02:12on a que AP, le coefficient dominant,
02:14multiplié par moins lambda I puissance MI,
02:17est égal au dernier coefficient A0.
02:20Or AP est non nul, et donc A0 est non nul,
02:22puisque A0 est égal à AP d'après la question précédente.
02:25Mais là j'ai un produit de truc qui donne quelque chose de non nul,
02:28donc aucun des lambda I ne peut être égal à 0.
02:30Et vu que P est réciproque et qu'il est donc égal à ceci,
02:33il est donc aussi égal à cette factorisation-là,
02:35qui est une factorisation en polynôme de degré 1,
02:38qui indique donc les racines de chacun de ces polynômes,
02:40qui sont bien les 1 sur lambda I.
02:42Et la décomposition me dit très exactement
02:44que 1 sur lambda I est racine de P avec multiplicité MI.
02:49Check !
02:50Question 3, on a Q, un polynôme qui est antiréciproque,
02:52montré que si Q est antiréciproque,
02:541 est racine de Q,
02:55et il existe un polynôme P constant réciproque,
02:57tel que Q est égal à X moins 1 fois P.
03:00Tout d'abord, en remplaçant X par 1 dans la relation d'antiréciprocité,
03:04j'ai que Q de 1 est égal à moins Q 1 sur 1 est égal à moins Q de 1.
03:07Oui, on confond les polynômes et les fonctions polynomiales,
03:10ce qui est faisable quand on a des polynômes à coefficient
03:12dans un corps de caractéristique nulle,
03:14donc ici C.
03:15Et donc j'ai que Q de 1 est égal à son opposé,
03:17ce qui signifie que Q de 1 est égal à 0.
03:19Donc on n'a bien que 1 est racine du polynôme Q.
03:22Deuxième partie de la question,
03:23si P est égal à 1,
03:24alors on a que Q se factorise de cette façon,
03:26vu que 1 est racine.
03:28Et donc on a bien que le polynôme P est constant.
03:30Si P est supérieur ou égal à 2,
03:31on écrit Q comme X moins 1 fois P,
03:34vu que 1 est racine,
03:35je sais que je peux factoriser Q de cette façon.
03:37Et donc je vais évaluer cette expression
03:39en remplaçant Q par X moins 1 fois P.
03:42Ce qui me donne ceci,
03:43donc Q de 1 sur X,
03:45j'ai bien 1 sur X moins 1,
03:46donc il y avait un grand X moins 1,
03:48P de grand X,
03:49donc P de 1 sur X.
03:50Je distribue le moins dans la parenthèse,
03:52et j'obtiens X puissance P facteur de 1
03:54moins 1 sur X,
03:56P de 1 sur X.
03:57Et ici je découpe le X puissance P
03:58en X fois X puissance P moins 1.
04:01Je rappelle que P est supérieur ou égal à 2,
04:03ce qui me donne X puissance P moins 1 fois X moins 1,
04:05puisque j'ai distribué le X ici,
04:06X moins 1.
04:07Donc j'ai bien X moins 1 fois P de 1 sur X,
04:09ce qui est égal à ceci en réordonnant.
04:11Or Q est un polynôme anti-réciproque,
04:13donc toute cette expression-là
04:15qui vaut moins X puissance P fois Q de 1 sur X
04:17est en fait égale à Q de X,
04:19qui lui se factorisait pour rappel
04:21en X moins 1 fois P ici.
04:23Et donc en simplifiant par X moins 1,
04:24j'obtiens que P est égal à X puissance P moins 1
04:26fois P de 1 sur X,
04:27ce qui signifie bien que P est réciproque,
04:29puisque P est de degré P moins 1,
04:31puisqu'il est dans la factorisation de Q
04:33qui lui est de degré petit p.
04:35Et donc check pour ça aussi.
04:36Question 4,
04:37on a R qui vérifie la propriété affichée.
04:39Démontrer que le produit des racines de R
04:40compté avec multiplicité
04:41ne peut prendre que les valeurs 1 ou moins 1.
04:43On pourra remarquer que l'égalité
04:45A est égal à 1 sur 1
04:45n'a lieu que pour A égal à 1 ou moins 1.
04:47Et bien tout d'abord,
04:48notons que cette application
04:49est une bijection
04:50sur l'ensemble des racines de grand R.
04:52Elle est bien définie parce que A est non nul.
04:54Et pourquoi c'est une bijection ?
04:55Parce que sa composée avec elle-même
04:57fait l'identité.
04:58Donc son inverse selon la composition,
05:00c'est elle-même.
05:01Et donc vu qu'on a une bijection,
05:02le produit pris sur toutes les racines
05:04vaut le produit de tous les 1 sur A
05:06pris sur toutes les racines.
05:08Ce qui vaut 1 sur le produit
05:09pris sur toutes les racines,
05:10à chaque fois on les prend avec multiplicité.
05:12Donc elles sont répétées autant de fois
05:13qu'elles apparaissent
05:14dans la décomposition du polynôme grand R.
05:16Et donc d'après l'indication,
05:18j'ai que nécessairement,
05:18ce produit vaut plus ou moins 1.
05:20Puisque l'égalité A est égal à 1 sur A
05:22n'a lieu que lorsque A vaut 1 ou moins 1.
05:25Ça équivaut à dire que A carré est égal à 1.
05:27Check pour ceci.
05:28Question 5.
05:29Quand déduire que R est réciproque
05:30ou anti-réciproque ?
05:32Bien tout d'abord,
05:33j'ai créé la décomposition de Rx et de XP Rx.
05:35Pour XP Rx, je prends celle que j'ai faite avant.
05:37Et pour Rx, je prends la décomposition
05:39de l'énoncé qui était donnée à P.
05:41C'est X puissance P R de 1 sur X, pardon.
05:44Et donc dans son expression,
05:45je vais factoriser par lambda I puissance MI.
05:47Donc à l'intérieur, j'ai un lambda I puissance MI qui sort ici.
05:50Et je sépare les produits.
05:52J'ai un produit d'un produit.
05:54Ce qui me fait ce produit-là fois AP fois ce produit restant.
05:57Ici, j'ai un moins 1 puissance D
05:59puisque j'ai inversé l'ordre.
06:00Vu que là, on avait 1 sur lambda I moins X.
06:03Et qu'on se retrouve ici avec X moins 1 sur lambda I.
06:05Donc je factorise ceci par moins 1.
06:07Donc j'ai un moins 1 puissance MI qui sort.
06:10Et donc je sépare les produits des moins 1 puissance MI.
06:13Donc j'ai un produit de 1 à D de moins 1 puissance MI.
06:17Ce qui me fait moins 1 puissance la somme des MI.
06:18Ce qui me fait moins 1 puissance P, pardon.
06:21Mais d'après la biéjection que j'ai mis en évidence tout à l'heure,
06:23ici, je reconnais tout simplement avec le coefficient AP
06:26l'expression de mon polynôme P.
06:28Donc ça, c'est tout simplement AP fois le produit des racines
06:31avec les mêmes multiplicités de 1 à D.
06:33Et je balance devant le moins 1 puissance P
06:35fois le produit des racines puissance MI.
06:37Ce qui me fait tout ceci fois le polynôme Rx que j'ai reconnu.
06:41Et d'après la question précédente,
06:42ceci c'est plus ou moins 1.
06:43Et ceci c'est plus ou moins 1.
06:45Et donc j'ai bien plus ou moins Rx.
06:47Et j'ai bien la relation que Rx est égal plus ou moins
06:49x puissance P R de 1 sur X.
06:51Ce qui signifie bien que si R vérifie cette propriété,
06:54il est bien réciproque ou antiréciproque.
06:57Check final.
06:58Voilà pour les notes.
06:58Et encore une fois, n'hésite pas si jamais tu as des questions.
07:01Tu as le droit bien sûr de les poser en commentaire
07:03et de partager avec nous si ça s'est bien passé pour toi cette épreuve.
07:06Bisous !