ATELIER
Cours téléchargeable ici : https://drive.google.com/file/d/1RdZdoR4Em5SK8pI6TkIb_pIfa221pF3p/view?usp=drive_link
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
TD Forge disponible ici : https://dai.ly/k4FQBS3vOEXP6wCX0Ho
Que la Forge soit avec toi !..
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00:00D'autres vidéos sont disponibles.
00:08Catalogue de vidéos, classement par onglet.
00:11Lien accessible à l'endroit habituel.
00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, atelier MAN numéro 37, les limites de suite numérique.
00:40Et on commence sans plus attendre par voir l'utilité de cet outil que tu vas devoir utiliser pendant l'intégralité de ta scolarité au lycée, et même après.
00:48C'est parti.
00:50Les limites permettent de déterminer si la suite est convergente, sa limite sera définie, et finie, ou divergente, sa limite sera non définie, et infinie.
00:58Cette information permet d'apporter une prévision, en quelle année un seul sera dépassé, ou une solution, qu'elle devra être la capacité maximale de stockage, à un problème soulevé dans l'exercice.
01:10Bref, ce n'est pas le moment de faire une impasse sur un chapitre de mathématiques, il va falloir le travailler avec sérieux.
01:17Surtout que c'est assez simple, compte tenu que la seule limite que tu vas devoir déterminer est celle de la suite quand son rang, noté N, temps vers plus l'infini.
01:25Tu te doutes bien qu'il va y avoir des formules à apprendre par cœur, formules que j'ai classées en paragraphe pour les rendre plus accessibles.
01:33Le premier concerne la limite des suites arithmétiques, et tu vas voir que c'est plutôt simple.
01:39Soit K1 réel.
01:40Par exemple, la limite de K fois N, quand N temps vers plus l'infini, est moins l'infini si K est strictement négatif, plus l'infini si K est strictement positif.
01:50Par exemple, la limite de moins 3N, quand N temps vers plus l'infini, est moins l'infini.
01:56Et celle de 6N, quand N temps vers plus l'infini, est plus l'infini.
02:01Aussi simple que ça.
02:03Next.
02:03Paragraphe suivant, la limite des suites géométriques, que tu vas retrouver dans quasiment tous les exercices que tu vas devoir traiter.
02:11C'est parti.
02:13Soit Q en réel.
02:14La limite de Q puissance N, quand N temps vers plus l'infini, ne sera pas définie si Q est strictement inférieur à moins 1, sera nulle si Q est strictement compris entre moins 1 et 0, sera aussi nulle si Q est strictement compris entre 0 et 1, et sera égale à plus l'infini si Q est strictement supérieur à 1.
02:32Par exemple, la limite de 0,99 puissance N, quand N temps vers plus l'infini, est égale à 0, car 0,99 strictement inférieur à 1.
02:43Et la limite de 1,01 puissance N, quand N temps vers plus l'infini, est égale à plus l'infini, car 1,01 strictement supérieur à 1.
02:53Et c'est tout.
02:54Sauf qu'à particulier, il sera rare que des exercices contenant des suites géométriques à raison négative te soient proposés, sauf si on cherche à titiller ton intelligence, ou mettre à l'épreuve ta débrouillardise.
03:06Next.
03:07Paragraphe suivant, quitte des suites homographiques.
03:10Elles sont rares en exercice, mais peuvent apparaître dans un devoir surveillé.
03:15Surprise.
03:17C'est parti.
03:18Voici la définition mathématique d'une suite homographique.
03:22Pour tout réel A, B, C, D, alpha, I, bêta, et pour tout entier naturel A, N, U, N sera égale à A fois N plus B, sur C fois N plus D, aussi égale à alpha, plus bêta sur C fois N plus D.
03:36La limite va être simple.
03:39Quel que soit cas réel, la limite de, K sur N, quand N tend vers plus l'infini, sera zéro.
03:46Très utile quand tu factoriseras par le monôme de plus haut degré, que je vais te montrer ultérieurement.
03:51Paragraphe suivant, les limites des suites puissances, que tu peux retrouver dans des problèmes.
03:56C'est parti.
03:58Soit K1 réel.
04:00La limite de N puissance K, quand N tend vers plus l'infini, sera nulle si qu'à strictement négatif, égale à plus l'infini si qu'à strictement positif.
04:10Par exemple, la limite de N au carré, quand N tend vers plus l'infini, est égale à plus l'infini.
04:15Par contre, la limite de 1 sur N au cube, quand N tend vers plus l'infini, aussi égale à la limite de N puissance moins 3, quand N tend vers plus l'infini, sera nulle.
04:27Next.
04:28Paragraphe suivant, d'une très grande importance, concerne les formes indéterminées, c'est-à-dire les limites qui ne peuvent pas être déterminées sans ambiguïté.
04:37C'est parti.
04:37Elles sont au nombre de 4.
04:41L'infini moins l'infini.
04:430 fois l'infini.
04:450 sur 0.
04:47L'infini sur l'infini.
04:49À apprendre par cœur.
04:51Tu dois les reconnaître avec certitude et s'intergiverser.
04:55Pour lever l'indétermination, la seule technique simple à utiliser est la factorisation par le monôme de plus haut degré.
05:01Non, ce n'est pas une incantation mystique que tu vas devoir faire sur ta feuille, mais une simple factorisation.
05:07Je vais te montrer avec un exemple.
05:10Soit la suite UN, égale à N au carré, moins 2N, plus 3.
05:15Par définition, la limite de N au carré, quand N tend vers plus l'infini, est plus l'infini, et celle de moins 2N plus 3, quand N tend vers plus l'infini, est moins l'infini.
05:26Par somme, la limite de la suite est une forme indéterminée, l'infini moins l'infini.
05:31Donc, pour lever cette indétermination, tu vas factoriser l'expression de la suite par N au carré, le monôme de plus haut degré, ce qui va donner N au carré, facteur de 1, moins 2 sur N, plus 3 sur N au carré.
05:43Par définition, la limite de N au carré, quand N tend vers plus l'infini, est plus l'infini, celle de, 1 moins 2 sur N, quand N tend vers plus l'infini, est 1, et celle de, 3 sur N au carré, quand N tend vers plus l'infini, est 0.
05:58Par somme et produit, la limite de U N, quand N tend vers plus l'infini, est donc plus l'infini.
06:06Trop simple, n'est-il pas ?
06:08Encore faut-il maîtriser avec perfection la factorisation, et tu trouveras de quoi t'entraîner dans le catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
06:16Next.
06:17Paragraphe suivant, le théorème des gendarmes, bien pratique quand tu peux encadrer une suite pour déterminer sa limite.
06:23C'est parti !
06:26Appelé aussi, théorème de la limite par encadrement, il permet de déterminer la limite d'une suite encadrée par deux autres suites de même limite.
06:34Graphiquement, tu auras ça.
06:36La suite U N, en rouge, encadrée par la suite V N, en dessous d'elle, et la suite W N, au-dessus d'elle.
06:44Algébriquement, comment ça se présente ?
06:47Soit U N, V N, et W N, trois suites définies sur l'ensemble des entiers naturels, avec V N inférieur ou égal à U N, inférieur ou égal à W N.
06:58Si la limite de V N, quand N tend vers plus l'infini, est le réel noté grand L, et que la limite de W N, quand N tend vers plus l'infini, est encore le réel grand L, alors la limite de U N, quand N tend vers plus l'infini, sera aussi grand L.
07:12Je vais te donner trois limites particulières, que tu dois apprendre par cœur, et qui vont te permettre de pouvoir encadrer les suites vues au lycée pour déterminer leurs limites.
07:22Quelle que soit N entier naturel, la limite de cosinus de N, quand N tend vers plus l'infini, sera comprise entre moins 1 et 1, tout comme la limite de sinus de N, quand N tend vers plus l'infini, et celle de, moins 1, puissance N, quand N tend vers plus l'infini.
07:38Un petit exemple te permettra de comprendre quand et comment appliquer ce théorème.
07:43Soit la suite U N, égale à 2, plus, moins 1, puissance N, sur N.
07:48Par définition, tu sais que la limite de, moins 1 puissance N, quand N tend vers plus l'infini, est comprise entre moins 1 et 1.
07:56En divisant chaque terme de l'inéquation par N, puis en ajoutant 2, tu peux écrire que 2 plus moins 1 sur N, inférieur ou égal à 2 plus, moins 1 puissance N, sur N, inférieur ou égal à 2 plus 1 sur N.
08:09Tu réduis pour obtenir 2, moins 1 sur N, inférieur ou égal à U N, inférieur ou égal à 2, plus 1 sur N.
08:18D'après le théorème des gendarmes, et sachant que la limite de 1 sur N, quand N tend vers plus l'infini, est nulle, la limite de la borne gauche est 2, tout comme la limite de la borne droite, donc la limite de U N, quand N tend vers plus l'infini, est 2.
08:33Next.
08:34Paragraphe suivant, la minoration d'une suite, qu'est-ce que c'est ?
08:39Comme tu t'en doutes, c'est une définition à connaître par cœur.
08:43C'est parti.
08:44Une suite est minorée si elle est supérieure ou égale à une valeur, notée petit m.
08:49L'écriture mathématique est la suivante.
08:52U N supérieure ou égale à petit m est équivalent à U N minorée.
08:57Dans le cas général, un minorant est la valeur minimale que la suite ne peut pas franchir.
09:02Attention.
09:03Le minorant petit m n'est pas forcément la limite, notée grand L, de la suite.
09:09Quel que soit N entier, grand L réel et petit L réel, grand L supérieur ou égale à petit m.
09:15Next.
09:17Paragraphe suivant, la majoration d'une suite, qu'est-ce que c'est ?
09:21Comme tu t'en doutes, c'est non seulement l'opposé de la minoration, mais aussi une autre définition à connaître par cœur.
09:26C'est parti.
09:29Une suite est majorée si elle est inférieure ou égale à une valeur, notée grand M.
09:34L'écriture mathématique est la suivante.
09:37U N inférieure ou égale à grand M est équivalent à U N majorée.
09:41Dans le cas général, un majorant est la valeur maximale que la suite ne peut pas franchir.
09:46Attention.
09:48Le majorant grand M n'est pas forcément la limite, notée grand L, de la suite.
09:53Quel que soit N entier, grand L réel et grand N réel, grand L inférieur ou égale à grand M.
09:59Next.
10:00Paragraphe suivant, le bornage, qu'est-ce que c'est ?
10:04Comme tu t'en doutes, c'est non seulement lié à la minoration et la majoration, mais encore une définition à connaître par cœur.
10:11C'est parti.
10:13Une suite est bornée si elle est minorée et majorée.
10:16L'écriture mathématique est la suivante.
10:19N inférieure ou égale à U N, inférieure ou égale à grand N, est équivalent à U N bornée.
10:26Next.
10:26Paragraphe suivant, la convergence d'une suite, qu'est-ce donc ?
10:31Comme tu t'en doutes, c'est non seulement lié à la minoration et la majoration, mais aussi une nouvelle définition à connaître par cœur.
10:39C'est parti.
10:40La suite sera convergente si elle est décroissante et minorée, donc supérieure à petit M, ou croissante et majorée, donc inférieure à grand M.
10:49Et c'est tout.
10:50Next.
10:51Paragraphe suivant, le théorème du point fixe, abordé furtivement dans le précédent atelier.
10:58Rien de bien compliqué, comme tu vas le constater.
11:01C'est parti.
11:03Appelé aussi, théorème du point invariant, il est utilisé dans le cas de détermination d'une limite de suite avec sa forme de récurrence.
11:09En ayant un plus un, en fonction de un, comment algébriquement déterminer la limite, notez grand L.
11:17Parce que graphiquement, c'est simple.
11:20Tu as la fonction, en vert, tu traces la droite d'équation y égale à x, en rouge, le point de croisement entre la courbe et la droite et le point fixe, dont l'abscisse donnera la valeur de la limite grand L.
11:31Certes, la précision de cette limite dépendra de la précision de l'axe horizontal, mais c'est déjà pas mal.
11:38Seulement, en mathématiques, les approximations ne sont pas appréciées, il faut toujours viser juste.
11:44Et je vais te montrer comment faire.
11:46Soit la suite UN, définie par UN plus 1, égale à UN plus 2, sur 3 UN, et U0 égale à 2.
11:54On admet que quel que soit un entier naturel, UN strictement positif et converge vers une limite réelle, noté grand L.
12:01Pour déterminer la limite de cette suite, on pose que si la limite de UN, quand N tend vers plus l'infini, est égale à grand L,
12:09alors la limite de UN, quand N tend vers plus l'infini, est aussi égale à grand L.
12:14Logique, si la suite tend vers une limite, tous ces rangs vont tendre vers cette limite.
12:20Au voisinage de l'infini, UN plus 1, et UN sont remplacés par grand L, ce qui va donner grand L égale à grand L plus 2, sur 3 grand L.
12:30Changement de page, recopiage de l'expression, tu mets tout sur le même dénominateur, puis tu le vires, tu fais tout passer du même côté,
12:37et tu auras 3 grand L au carré, moins grand L, moins 2, égale à 0.
12:42C'est une équation du second degré, donc utilisation du discriminant pour la résoudre.
12:48A égale à 3, B égale à moins 1, C égale à moins 2, delta est égale à B au carré moins 4 AC, calcul, et delta est égale à 25.
12:57Delta positif, donc deux solutions réelles et distinctes.
13:01La première, notée grand L1, est égale à moins B moins racine carré de delta, sur 2A, remplacement par les valeurs numériques, et grand L1 est égale à moins 2 tiers.
13:12La seconde, notée grand L2, est égale à moins B plus racine carré de delta, sur 2A, remplacement par les valeurs numériques, et grand L2 est égale à 1.
13:21Sachant que pour tout N entier naturel, UN est strictement positive, seule grand L2 est solution de l'équation, donc, la limite de UN, quand N tend vers plus l'infini, est égale à 1.
13:34Graphiquement, voilà ce que tu auras.
13:36La fonction en rouge, la droite d'équation, Y égale à X, en bleu, et le point fixe sera là, dont l'abscisse est égale à 1, ce qui a bien été déterminé algébriquement.
13:46Paragraphe suivant, et ce sera le dernier de l'atelier, qui portera sur le théorème par comparaison, que j'appelle aussi théorème du « flic en bagnole » qui pousse la voiture du suspect qui s'enfuit contre la falaise ou vers le précipice.
14:01Tu vas comprendre.
14:03C'est parti.
14:05Soit U, et V, de suite.
14:07Pour tout N entier naturel, si UN inférieur ou égal à VN, et limite de UN, quand N tend vers plus l'infini, est égale à plus l'infini, alors la limite de VN, quand N tend vers plus l'infini, sera aussi égale à plus l'infini.
14:22De plus, si UN inférieur ou égal à VN, et limite de VN, quand N tend vers plus l'infini, est égale à moins l'infini, alors la limite de UN, quand N tend vers plus l'infini, sera aussi égale à moins l'infini.
14:34La logique est simple, il est impossible pour un objet mathématique d'avoir sa limite supérieure à plus l'infini, donc toute limite de suite supérieure à plus l'infini sera égale à plus l'infini.
14:46De même, il est impossible pour un objet mathématique d'avoir sa limite inférieure à moins l'infini, donc toute limite de suite inférieure à moins l'infini sera égale à moins l'infini.
14:56Un petit exemple pour illustrer le propos.
14:58Soit la suite un, égale à 2n+, moins 1 puissance n, sur n.
15:03Par définition, tu sais que la limite de, moins 1, puissance n, quand n tend vers plus l'infini, est comprise entre moins 1 et 1.
15:12En divisant par n, puis en ajoutant 2n et en réduisant, tu peux écrire que 2n, moins 1 sur n, inférieur ou égal à un, inférieur ou égal à 2n, plus 1 sur n.
15:23Par définition, la limite de 1 sur n, quand n tend vers plus l'infini, est égale à 0, donc la limite de 2n moins 1 sur n, quand n tend vers plus l'infini, et plus l'infini.
15:35Seulement, un est supérieur ou égal à 2n moins 1 sur n, donc par comparaison, la limite de un, quand n tend vers plus l'infini, est plus l'infini.
15:46Je te conseille de faire moult exercices pour maîtriser à la perfection chacune des notions vues dans cet atelier, et de pouvoir sans manière te dépatouiller dans tous les exercices qu'on peut te proposer en devoir surveiller.
15:56Au boulot donc !
15:58L'atelier est désormais terminé.
16:01Tu as des questions ?
16:02Tu veux un complément d'informations ?
16:05Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
16:08Le cours complet en PDF, librement téléchargeable, est disponible dans la description de cette vidéo.
16:14Le tutoriel de travaux dirigé intitulé FORGEMANHTAG 037, limite de suite numérique, est accessible, le lien est en description.
16:22Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
16:27A tout de suite.
16:29Tchuss !
16:29Tchuss !