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Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
Le cours est accessible ici : https://dai.ly/k56dtmDVSLUmofCX0Hm
Que la Forge soit avec toi...
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00:14Que la forge soit avec toi.
00:30Mais respect à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:35Aujourd'hui, forge NAN numéro 37, les limites de suite numérique.
00:40Et on commence sans plus attendre par l'exercice numéro 1, dans lequel tu vas devoir déterminer des limites simples de suite, juste en appliquant les formules vues dans l'atelier.
00:49C'est parti.
00:51Je t'ai mis un échantillon représentatif de ce que tu peux retrouver en exercice ou en devoir surveiller.
00:55Et comme il faudra de l'espace pour rédiger, je fais place nette et n'affiche que la limite traitée.
01:02Petit a, limite de 6n puissance 8, plus 3n, quand n tend vers plus l'infini.
01:08Par définition, la limite de 6n puissance 8, quand n tend vers plus l'infini, est plus l'infini, tout comme celle de 3n, donc par somme.
01:17La limite de la suite est plus l'infini.
01:20Next.
01:20Petit b, limite de 2n puissance 6, plus 3n puissance 4, moins 5, quand n tend vers plus l'infini.
01:28Par définition, la limite de 2n puissance 6, quand n tend vers plus l'infini, est plus l'infini, tout comme celle de 3n puissance 4, et celle de moins 5 et bien entendu moins 5.
01:40Donc par somme, la limite de la suite est plus l'infini.
01:44Next.
01:44Petit c, limite de 6n puissance 8, plus 3n, facteur de, 2n puissance 6, plus 3n puissance 4, moins 5, quand n tend vers plus l'infini.
01:56C'est ni plus ni moins que la multiplication des deux suites précédentes.
01:59D'après la question petit a, la limite de, 6n puissance 8, plus 3n, est plus l'infini, tout comme celle de, 2n puissance 6, plus 3n puissance 4, moins 5, question petit b, donc par produit, la limite de la suite est plus l'infini.
02:17Next.
02:18Petit d, limite de moins 1 au cube fois racine carré de n, quand n tend vers plus l'infini.
02:23Par définition, la limite de moins 1 au cube, quand n tend vers plus l'infini, est celle de moins 1 fois n au cube, soit moins l'infini.
02:32Toujours par définition, la limite de racine carré de n, quand n tend vers plus l'infini, qui serait écrite en limite de n puissance 1 demi, est plus l'infini.
02:42Donc par produit, la limite de la suite est moins l'infini.
02:46Next.
02:46Petit e, limite de, 5, plus 2 sur n, moins 8 sur n au carré, plus 1 sur n au cube, quand n tend vers plus l'infini, est celle de 2 sur n, qui peut se réécrire en 2 fois n puissance moins 1, est 0, celle de moins 8 sur n au carré, qui peut se réécrire en moins 8 n puissance moins 2, est 0, et celle de 1 sur n au cube, qui peut se réécrire en n puissance moins 3, est 0.
03:16Donc par somme, la limite de la suite est 5.
03:20Next.
03:21Petit f, limite de 3 racine carré de n, plus 5 sur racine carré de n, moins 6, quand n tend vers plus l'infini.
03:28Par définition, la limite de 3 racine carré de n, qui serait écrite en 3 n puissance 1 demi, quand n tend vers plus l'infini, est plus l'infini, celle de 5 sur racine carré de n, qui peut se réécrire en 5 fois n puissance moins 1 demi, est 0, et celle de moins 6 et moins 6.
03:47Donc par somme, la limite de la suite est plus l'infini.
03:51Next.
03:51Petit g, limite de, 8 moins 1 sur racine carré de n, divisé par, 4 plus 3 sur n, quand n tend vers plus l'infini.
04:00Par définition, la limite de 8 moins 1 sur racine carré de n, quand n tend vers plus l'infini, pouvant se réécrire en 8 moins n puissance moins 1 demi, est 8, et celle de 4 plus 3 sur n, se réécrivant en 4 plus 3 n puissance moins 1, est 4.
04:16Donc par quotient, la limite de la suite est 2.
04:21Next.
04:22Petit h, limite de, moins 3 n au carré, moins 2 n, plus 1, au carré, quand n tend vers plus l'infini.
04:30Par définition, la limite de moins 3 n au carré, quand n tend vers plus l'infini, est moins infini, celle de moins 2 n aussi, et celle de 1 et 1.
04:39Donc par somme et produit, la limite de la suite est plus l'infini.
04:42Je rappelle que mettre un terme au carré, c'est le multiplier par lui-même.
04:48Next.
04:49Petit i, limite de racine carré de, 4 plus 1 sur n, quand n tend vers plus l'infini.
04:55Par définition, la limite de 4 plus 1 sur n, quand n tend vers plus l'infini, pouvant se réécrire en 4 plus n puissance moins 1, est 4.
05:04Donc par calcul, la limite de la suite est racine carré de 4, soit 2.
05:09Comme tu as pu le constater, dans les suites, la limite se fera toujours quand n tend vers plus l'infini, et en appliquant les définitions vues dans le cours, tout se passe bien.
05:19Exercice numéro 2, toujours des limites de suite, mais je corse les règles du jeu en introduisant les formes indéterminées.
05:26C'est parti.
05:286 limites, avec forcément ces formes indéterminées que tu dois connaître par cœur de chez par cœur, mais que je vais quand même rappeler au cas où.
05:35Les voici.
05:36L'infini moins l'infini, 0 fois l'infini, 0 sur 0, et l'infini sur l'infini.
05:43Très important, tu ne dois pas écrire sur ta copie que la limite est indéterminée, puis factoriser la suite pour corriger ce problème, ce n'est pas professionnel.
05:52La procédure à suivre est, en premier lieu, faire la limite oralement, et silencieusement, et si tu constates qu'elle est indéterminée, tu écris la factorisation de la suite, puis tu fais la limite partie par partie.
06:03Je vais te montrer.
06:06Petite a, limite de n au carré moins 2n, quand n tend vers plus l'infini.
06:11Oralement, et silencieusement, tu poses que n au carré tend vers plus l'infini, et moins 2n vers moins l'infini.
06:18Par somme, l'infini moins l'infini, c'est indéterminé.
06:21Donc factorisation par le monôme de plus haut degré, soit n au carré, ce qui donne ceci.
06:27Un égale à n au carré, facteur de, 1 moins 2 sur n.
06:31Par définition, la limite de, 2 sur n, est égale à 0, donc la limite de, 1 moins 2 sur n, sera égale à 1.
06:40Comme la limite de n au carré est égale à plus l'infini, par produit, la limite de la suite est plus l'infini.
06:46Next.
06:47Petit b, limite de moins 3n puissance 4, plus 5n au carré, plus 6n, moins 1, quand n tend vers plus l'infini.
06:55Oralement, et silencieusement, tu poses que moins 3n puissance 4 tend vers moins l'infini, et 5n au carré vers plus l'infini.
07:03Par somme sur les deux premiers termes, l'infini moins l'infini, c'est indéterminé.
07:08Donc factorisation par le monôme de plus haut degré, soit n puissance 4, ce qui donne ceci.
07:13Un égale à n puissance 4, facteur de, moins 3, plus 5 sur n au carré, plus 6 sur n au cube, moins 1 sur n puissance 4.
07:23Par définition, quel que soit p et q, deux entiers naturels, la limite de, p sur n puissance q, quand n tend vers plus l'infini, est égale à 0,
07:32donc la limite de, moins 3, plus 5 sur n au carré, plus 6 sur n au cube, moins 1 sur n puissance 4, sera égale à moins 3.
07:41Comme la limite de n puissance 4 est égale à plus l'infini, par produit, la limite de la suite est moins l'infini.
07:47Next.
07:49Petit c, limite de, 6n au carré, plus 3n, plus 5, sur, moins 2n au carré, plus 5n, moins 1, quand n tend vers plus l'infini.
07:58Oralement, et silencieusement, tu poses qu'au dénominateur, moins 2n au carré tend vers moins infini, et 5n vers plus l'infini.
08:07Par somme sur les deux premiers termes, l'infini moins infini, c'est indéterminé.
08:11Donc factorisation par le monôme de plus haut degré, soit n au carré, au numérateur et au dénominateur, ce qui donne ceci.
08:19Un égale à n au carré, facteur de, 6, plus 3 sur n, plus 5 sur n au carré, divisé par n au carré, facteur de, moins 2, plus 5 sur n, moins 1 sur n au carré.
08:31Ce qui se simplifie en, 6, plus 3 sur n, plus 5 sur n au carré, divisé par, moins 2, plus 5 sur n, moins 1 sur n au carré.
08:40Par définition, quel que soit p et q, deux entiers naturels, la limite de, p sur n puissance q, quand n tend vers plus l'infini, est égale à 0, donc la limite du numérateur sera 6, celle du dénominateur sera moins 2.
08:55Par quotient, la limite de la suite est moins 3.
08:59Next.
08:59Petit d, limite de, neuf n puissance 7, moins 5 n puissance 4, plus n, divisé par, n au carré, plus 1, quand n tend vers plus l'infini.
09:11Oralement, et silencieusement, tu poses qu'au numérateur, neuf n puissance 7, tend vers plus l'infini, et moins 5 n puissance 4, vers moins l'infini.
09:20Par somme sur les deux premiers termes, l'infini moins infini, c'est indéterminé.
09:24Donc factorisation par le monôme de plus haut degré, soit n puissance 7 au numérateur, et n au carré au dénominateur, ce qui donne ceci.
09:33Un égale à n puissance 7, facteur de, neuf, moins 5 sur n au cube, plus 1 sur n puissance 6, divisé par n au carré, facteur de, un, plus 1 sur n au carré.
09:44Ce qui se simplifie en n puissance 5, facteur de, neuf, moins 5 sur n au cube, plus 1 sur n puissance 6, divisé par, un, plus 1 sur n au carré.
09:54Par définition, quel que soit p et q, deux entiers naturels, la limite de, p sur n puissance q, quand n tend vers plus l'infini, est égale à 0, donc la limite du numérateur sera 9, celle du dénominateur sera 1.
10:09Sachant que la limite de n puissance 5 est plus l'infini, par produit, la limite de la suite est plus l'infini.
10:15Next.
10:16Petit e, limite de n, moins racine carrée de n, quand n tend vers plus l'infini.
10:23Oralement, et silencieusement, tu poses que la limite de n est plus l'infini, et celle de moins racine carrée de n est moins l'infini.
10:30Par somme, l'infini moins infini, c'est indéterminé.
10:33Donc factorisation par, racine carrée de n, ce sera plus simple qu'avec le monôme de plus haut degré, ce qui donne ceci.
10:42Un égale à racine carrée de n, facteur de, racine carrée de n, moins 1.
10:47Je te rappelle en passant que n, c'est racine carrée de n, fois racine carrée de n, ce qui se simplifie en, racine carrée de n, au carré.
10:55Par définition, la limite de racine carrée de n est plus l'infini, et par croissance comparée, celle de, racine carrée de n, moins 1, est aussi plus l'infini.
11:06Par produit, la limite de la suite est plus l'infini.
11:10Next.
11:12Petit f, limite de moins 2n au carré, plus n fois racine carrée de n, quand n tend vers plus l'infini.
11:18Oralement, et silencieusement, tu poses que la limite de moins 2n au carré est moins infini, et celle de n fois racine carrée de n est plus l'infini.
11:27Par somme, l'infini moins infini, c'est indéterminé.
11:31Donc factorisation par, n fois racine carrée de n, ce sera plus simple qu'avec le monôme de plus haut degré, ce qui donne ceci.
11:39Un égale à, n fois racine carrée de n, facteur de, moins 2 racine carrée de n, plus 1.
11:44Je te rappelle en passant que n au carré, c'est n fois racine carrée de n, fois racine carrée de n.
11:51Par définition, la limite de racine carrée de n est plus l'infini, et par croissance comparée, celle de, moins 2 racine carrée de n, plus 1, est moins l'infini.
12:02Par produit, la limite de la suite est moins l'infini.
12:05Tu as vu, avec les définitions et de l'anticipation, tu pourras craquer n'importe quelle limite de suite, même les plus coriaces.
12:12Exercice numéro 3, dans lequel tu vas devoir déterminer la limite d'une suite un peu particulière, avec une procédure que je te conseille d'apprendre dans le cas où tu tombes sur le même type de suite.
12:24C'est parti.
12:25Seulement 3 questions, mais qui vont demander pas mal de CPU pour être résolues.
12:30Et comme chacune va avoir besoin d'espace pour la rédaction, je fais le vide et n'affiche que celle traitée.
12:35Petit 1, calculez la limite de racine carrée de n plus 1, quand n tend vers plus l'infini.
12:42Par définition, la limite de n plus 1, quand n tend vers plus l'infini, sera plus l'infini, tout comme celle de racine carrée de n.
12:51Donc par croissance comparée, la limite de racine carrée de n plus 1, quand n tend vers plus l'infini, sera plus l'infini.
12:59Next.
12:59Petit 2, montrez que pour tout entier naturel n non nul, racine carrée de n plus 1, moins racine carrée de n, égale à 1 sur, racine carrée de n plus 1, plus racine carrée de n.
13:12Reprenons racine carrée de n plus 1, moins racine carrée de n.
13:17Je rappelle que tu ne changes rien au calcul si tu multiplies et divises en même temps par le même terme, ce que je fais ici en rouge.
13:23Ce terme est particulier, il est appelé conjugué, car le signe entre les deux racines est opposé à celui du terme en noir.
13:31Au numérateur, il y a une identité remarquable, a moins b, facteur de, a plus b, avec a égale à racine carrée de n plus 1, et b égale à racine carrée de n.
13:41Le développement va donner a carré moins b carré, le carré et la racine carrée vont se neutraliser et disparaître de l'écriture, et après réduction, tu auras bien racine carrée de n plus 1, moins racine carrée de n, égale à 1 sur, racine carrée de n plus 1, plus racine carrée de n.
13:59Next.
13:59Petit 3, en déduire la limite de racine carrée de n plus 1, moins racine carrée de n, quand n tend vers plus l'infini.
14:08Il suffit de remplacer l'expression par sa nouvelle écriture déterminée dans la question précédente.
14:13Par définition, la limite de racine carrée de n plus 1, quand n tend vers plus l'infini, et plus l'infini, tout comme celle de racine carrée de n, donc par sauf, la limite de racine carrée de n plus 1, plus racine carrée de n, sera égale à plus l'infini.
14:30Par quotient, la limite de 1 sur, racine carrée de, n plus 1, plus racine carrée de n, sera égale à 0, donc la limite de racine carrée de, n plus 1, moins racine carrée de n, quand n tend vers plus l'infini, sera nulle.
14:46Exercice numéro 4, dans lequel tu vas devoir déterminer des limites de suite, mais sans aucune aide.
14:52Tu ne dois compter que sur tes compétences et connaissances.
14:56C'est parti !
14:57Calculez les limites suivantes, si elles existent.
15:01Petit a, limite de n au cube, plus 3 sinus de n, quand n tend vers plus l'infini.
15:07Par définition, sinus de n est compris entre moins 1, et 1, donc par produit, 3 sinus de n seront compris entre moins 3, et 3.
15:16Ajout de n au cube dans chaque terme de l'inéquation, pour encadrer la suite par, n au cube moins 3, à gauche, et, n au cube plus 3, à droite.
15:24Toujours par définition, la limite de, n au cube moins 3, quand n tend vers plus l'infini, et plus l'infini.
15:32Sachant que tu ne peux pas être supérieur à plus l'infini sans y être égal, ça implique que par le théorème de comparaison, la limite de la suite sera plus l'infini.
15:40Next.
15:43Petit b, limite de racine carrée de, n plus 4, quand n tend vers plus l'infini.
15:48Par définition, la limite de, n plus 4, est plus l'infini, comme celle de racine carrée de n.
15:54Par composition, la limite de la suite sera plus l'infini.
15:59Next.
16:01Petit c, limite de racine carrée de, 6n plus 5, quand n tend vers plus l'infini.
16:07Par définition, la limite de, 6n plus 5, est plus l'infini, comme celle de racine carrée de n.
16:14Par composition, la limite de la suite sera plus l'infini.
16:18Et c'est tout.
16:19Tu appliques les définitions du cours, et tout se passera bien.
16:22Exercice numéro 5, dans lequel tu vas devoir faire la même chose, mais bien entendu, avec quelques difficultés supplémentaires.
16:31C'est parti.
16:334 limites quelque peu ésotériques, que tu vas devoir déterminer avec vitesse et justesse, et bien sûr avec méthode et minutie.
16:40Petit a, limite de 1 plus, 5 quarts, puissance n, quand n tend vers plus l'infini.
16:465 quarts est strictement supérieure à 1, donc par définition, la limite de, 5 quarts, puissance n, sera plus l'infini.
16:55Par somme, la limite de la suite sera aussi plus l'infini.
16:59Next.
17:01Petit b, limite de, 1 tiers, puissance n, moins racine carrée de, n plus 2, quand n tend vers plus l'infini.
17:071 tiers est strictement inférieur à 1, donc par définition, la limite de, 1 tiers, puissance n, sera nulle.
17:16Par croissance comparée, la limite de, moins racine carrée de, n plus 2, sera moins l'infini, donc par somme, la limite de la suite sera moins l'infini.
17:26Next.
17:27Petit c, limite de, moins un quart, puissance n, facteur de, 2 n plus 1, sur 3 n moins 4, quand n tend vers plus l'infini.
17:35Moins un quart, est strictement compris entre, moins un et zéro, donc par définition, la limite de, moins un quart, puissance n, sera nulle.
17:46Réécriture de la fraction par factorisation de ces numérateurs et dénominateurs par n, le monôme de plus haut degré, pour obtenir, 2 plus 1 sur n, divisé par, 3 moins 4 sur n.
17:56Quel que soit p et q, deux entiers naturels, la limite de p sur n puissance q, quand n tend vers plus l'infini, sera nulle, donc par quotient, la limite de la fraction sera 2 tiers.
18:09Par produit, la limite de la suite sera 0.
18:12Next.
18:14Petit d, limite de, pi sur 4, puissance n, fois, moins 2, puissance n moins 3, quand n tend vers plus l'infini.
18:22Pi est strictement compris entre 0 et 4, donc pi sur 4 sera strictement compris entre 0 et 1, ce qui entraîne que la limite de, pi sur 4, puissance n, quand n tend vers plus l'infini, sera nulle.
18:36Moins 2 est strictement inférieur à moins 1, ce qui entraîne par définition que la limite de, moins 2, puissance n moins 3, ne sera pas définie.
18:44En effet, si n est impaire, n moins 3, sera paire, et la limite de, moins 2, puissance n moins 3, sera plus l'infini.
18:53Mais si n est paire, n moins, 3 sera impaire, et la limite de, moins 2, puissance n moins 3, sera moins l'infini.
19:02De ce fait, la limite de cette suite ne pourra pas être définie.
19:06Exercice numéro 6, dans lequel je te propose de déterminer la limite d'une somme de suite géométrique.
19:11J'espère que tu n'as pas oublié sa formule, tu vas en avoir besoin ici.
19:17Sinon, va jeter un petit coup d'œil dans l'atelier MAN numéro 36, le lien est dans la description.
19:23Catalogue de vidéos, onglet Mandelbrot.
19:26C'est parti !
19:27Calculer la limite de ce monstre numérique quand n tend vers plus l'infini.
19:32Des fractions négatives, des puissances, tout ce que tu aimes.
19:36Youpi !
19:37Comme énoncé dans l'introduction de l'exercice, c'est la somme d'une suite géométrique, dont il va falloir déterminer sa forme explicite.
19:45Simple, un est égal à 1 fois, moins 1 demi, puissance n, avec u0 égale à 1, et q égale à moins 1 demi.
19:52La somme, que je vais noter sn, sera égale à u1, plus u2, etc., plus un, soit d'après la formule explicite d'une somme de suite géométrique, u1, facteur de, un moins q puissance n, sur, un moins q.
20:06Remplacement de u1 et q par leur valeur numérique, réduction, et sn sera égale à moins 1 tiers, facteur de, un moins, moins 1 demi, puissance n.
20:17La limite de, moins 1 demi, puissance n, quand n tend vers plus l'infini, est nulle car moins 1 demi est strictement compris entre moins 1 et 0, ce qui entraîne par calcul, somme et produit, que la limite de sn est égale à moins 1 tiers.
20:30Et c'est tout. Exercice numéro 7, un problème de bassin qui va te donner un peu des sueurs froides quand tu vas voir l'énoncé.
20:39C'est parti.
20:40Et comme tu peux le constater, cet énoncé est long, très long, car il contient beaucoup d'informations indispensables pour la résolution des questions.
20:49Je te propose de le lire partie par partie, en schématisant la situation pour la rendre plus claire.
20:54Un volume constant de 2200 m3 d'eau est réparti entre deux bassins, noté grand A et grand B, que je schématise ainsi.
21:03Le bassin grand A refroidit une machine.
21:06Pour des raisons d'équilibre thermique, on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompe.
21:11On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante.
21:15Au départ, le bassin grand A contient 800 m3 d'eau, et le bassin grand B contient 1400 m3 d'eau.
21:21Tous les jours, 15% du volume d'eau présent dans le bassin grand B au début de la journée est transféré vers le bassin grand A, schématisé par cette flèche bleue.
21:30Tous les jours, 10% du volume d'eau présent dans le bassin grand A au début de la journée est transféré vers le bassin grand B, schématisé par cette autre flèche bleue.
21:38Pour tout entier naturel N, on note A N le volume d'eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin grand A à la fin du énième jour de fonctionnement,
21:47B N le volume d'eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin grand B à la fin du énième jour de fonctionnement.
21:54On a donc A0 égale à 800, et B0 égale à 1400.
21:57Question 1, par quelle relation, entre A N et B N, traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ?
22:06L'énoncé indique que l'un volume de 2200 m3 est réparti entre deux bassins, donc quel que soit un entier naturel, A N plus B N sera égal à 2200.
22:16Next.
22:16Question 2, justifiez que, pour tout entier naturel A N, A N plus 1, est égal à 3 quarts de A N, plus 330.
22:25D'après le schéma, le volume d'eau dans le réservoir grand A le jour d'après sera celui du énième jour,
22:31moins les 10% envoyés dans le réservoir grand B, auquel tu dois rajouter les 15% provenant de ce réservoir grand B le énième jour,
22:37ce qui se traduit par A N plus 1, égale à A N, moins 0,10 fois A N, plus 0,15 fois B N,
22:45et ce qui se réduit en 0,90 A N plus 0,15 B N.
22:50Sachant que A N plus B N est égal à 2200, B N sera égal à 2200 moins A N,
22:56qu'il faut injecter dans l'expression de A N plus 1, calcul, réduction,
23:01et A N plus 1, est égal à 0,75 fois A N, plus 330.
23:06CQFD, car 3 quarts sont égales à 0,75.
23:12Next.
23:13Question 3, l'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de N à partir de laquelle A N est supérieur ou égale à 1100.
23:21Complétez les parties manquantes de cet algorithme.
23:25Fastoche, il faut traduire le calcul de A N plus 1, dans cette boucle.
23:29Mais en Python, tu ne peux pas déterminer directement A N plus 1,
23:33il faut calculer le terme suivant, et son rang à part.
23:37Donc, il faudra poser A égale à 0,75 fois A, plus 330 sur la première ligne,
23:43et N égale à N plus 1 sur la seconde.
23:46Et c'est tout.
23:48Next.
23:49Question 4, montrez que, pour tout entier naturel A N,
23:53A N est égal à 1320 moins 520 fois, 3 quarts, puissance N.
23:57Normalement, il faut faire une récurrence, initialisation et hérédité, abordée en terminale.
24:04Seulement, je ne l'ai pas encore traité en atelier donc, je vais bidouiller en passant par une suite auxiliaire géométrique.
24:11On sait que A 0 est égal à 800, et que A N plus 1 est égal à 0,75 A N, plus 330.
24:18De cette forme de récurrence, on peut poser que A N plus 1 est égal à F de A N,
24:25avec la fonction F de X égale à 0,75 X plus 330.
24:30D'après le théorème du point fixe, F de L est égal à L, avec L la limite de la suite, considérée comme convergente.
24:38Ce qui va donner que 0,75 L plus 330 est égal à L, qui se résout en L égale à 1320.
24:45Je pose la suite auxiliaire géométrique V N, égale à A N moins L, donc V N égale à A N moins 1320.
24:54Il faut déterminer la forme explicite de V N, qui sera par définition égale à V 0 fois Q puissance N.
25:00Avec cette suite auxiliaire V N, tu exprimes V N plus 1, égale à A N plus 1, moins 1320.
25:07Tu remplaces A N plus 1, par son expression, tu réduis pour obtenir V N plus 1, égale à 0,75 A N moins 990.
25:17Comme V N égale à A N moins 1320, A N est égal à V N plus 1320, que tu remplaces dans l'expression, réduction, et V N plus 1, est égal à 0,75 V N.
25:29V N est bien géométrique, de raison Q égale à 0,75.
25:35Comme V N toujours égale à A N moins 1320, V 0 égale à A 0 moins 1320, soit 800 moins 1320, donc moins 520.
25:44Tu as V 0 et Q, donc tu peux exprimer la forme explicite de la suite, soit V N égale à moins 520 fois 0,75 puissance N.
25:53Comme V N égale à A N moins 1320, A N est égale à V N plus 1320, remplacement de V N par sa forme explicite, et A N sera égale à 1320 moins 520 fois, 3 quarts, puissance N, car la forme fractionnaire de 0,75 est 3 quarts.
26:11Certes, tout ça pour ça, et quand je te montrerai la récurrence, tu verras que ça ira un chouïa plus vite.
26:17Next.
26:18Question 5. Calculez la limite de A N.
26:21Interprétez le résultat.
26:24Ok.
26:25Tu pars de la forme explicite de A N, et il faut toujours commencer par faire la limite de la puissance.
26:323 quarts est inférieur à 1, donc la limite de, 3 quarts, puissance N, quand N tend vers plus l'infini, sera nul, ce qui entraîne que la limite de moins 520 fois, 3 quarts, puissance N sera aussi nul.
26:44Par somme, la limite de A N sera 1320.
26:48Traduction, au bout d'un grand nombre de jours, le volume d'eau dans le réservoir grand A se stabilisera à 1320 m3.
26:56Avec méthode et minutie, tout a réussi.
26:59Exercice numéro 8, dans lequel tu vas devoir t'amuser avec deux suites qui s'entremêlent.
27:04Pas de panique à avoir, tu vas te rendre compte que c'est une promenade de santé.
27:09C'est parti.
27:11On considère les suites UN et VN, définies par U0 égale à 0, V0 égale à 12, et pour tout entier naturel N, U, N plus 1, égale à, U N plus VN, sur 2, et V, N plus 1, égale à, U N plus 2 VN, sur 3.
27:26Seulement 4 questions, mais comme chacune va demander un peu de rédaction, je fais place nette et je n'affiche que celle qui est traitée.
27:35Question 1, démontrez que la suite WN, définie par WN égale à VN moins UN, est une suite géométrique convergente, et que tous ces termes sont positifs.
27:44Première chose à faire, déterminer WN plus 1, égale à VN plus 1, moins UN plus 1.
27:52Tu remplaces UN plus 1, et VN plus 1, par leurs expressions données dans l'énoncé, tu mets tout sur le même dénominateur, tu réduis, tu ordonnes, et tu auras WN plus 1, égale à WN sur 6, soit un sixième de WN.
28:07La suite est bien géométrique, car de la forme WN plus 1, égale à Q fois WN.
28:13Pour trouver Q, très simple, il suffit de savoir lire l'expression, et ici, il est égal à un sixième.
28:21On a Q, il faut trouver W0 pour déterminer la forme explicite de la suite.
28:26Sachant que WN est égal à VN moins UN, alors W0 sera égal à V0 moins U0, soit 12.
28:33Donc, WN sera égal à 12 fois, un sixième, puissance N.
28:38Pour la convergence, il suffit de calculer la limite.
28:41Sachant que un sixième est strictement compris entre 0 et 1, la limite de 1 sixième, puissance N, quand N tend vers plus l'infini, sera nulle, donc par produit, celle de WN aussi.
28:54La suite est convergente puisqu'elle tend vers 0.
28:57Enfin, comme 12 est strictement positif, et que tu le multiplies par une puissance d'un nombre strictement positif, ça entraîne que tous les termes de la suite sont strictement positifs.
29:08Next.
29:09Question 2.
29:10Montrez que la suite UN est croissante, puis que la suite VN est décroissante.
29:14Ok.
29:16Calcul de UN plus 1, moins UN, remplacement de UN plus 1, par son expression donnée dans l'énoncé, tu mets tout sur le même dénominateur, calcul, réduction, et tu obtiens VN moins UL, sur 2.
29:29Comme WN est égal justement à, VN moins UN, ça entraîne que UN plus 1, moins UN est égal à WN sur 2.
29:38Pour tout N entier naturel, on a démontré dans la question précédente que WN est strictement positif, donc UN plus 1, moins UN aussi, ce qui justifie bien le fait que la suite UN soit croissante.
29:49Même procédure pour VN, calcul de V, N plus 1, moins VN, remplacement de V, N plus 1, par son expression donnée dans l'énoncé, tu mets tout sur le même dénominateur, calcul, réduction, et tu obtiens, UN moins VN, sur 3.
30:06Comme WN est égal justement à, VN moins UN, ça entraîne que V, N plus 1, moins VN est égal à moins WN sur 3.
30:14Pour tout N entier naturel, on a démontré dans la question précédente que WN est strictement positif, donc V, N plus 1, moins VN sera négatif, ce qui justifie bien le fait que la suite VN soit décroissante.
30:27Next.
30:29Question 3, déduire des deux questions précédentes que les suites UN et VN sont convergentes, et ont la même limite.
30:36Récapitulons ce que nous avons pour faire un état des lieux.
30:38WN est égal à VN moins UN, sa limite, quand N tend vers plus l'infini, est nulle, UN est croissante, et VN décroissante.
30:48Si tu combines les deux premières lignes, tu peux écrire que la limite de, VN moins UN, quand N tend vers plus l'infini, est nulle, ce qui implique que la limite de VN est égale à celle de UN, notez grand L.
31:01Next.
31:02Question 4, on considère la suite TN, définie par TL égale à 2UN plus 3VN.
31:07Montrer qu'elle est constante.
31:10En déduire la limite des suites UN et VN.
31:13Pour montrer que la suite est constante, très simple, il suffit de déterminer son terme de rang suivant, et voir son égalité avec le terme de rang N.
31:21Calcul de TN plus 1, remplacement de UN plus 1, et VN plus 1, par leurs expressions données dans l'énoncé, que je te conseille de mettre entre parenthèses, réduction, et tu obtiens, 2UN plus 3VN, égale à TN, ce qui entraîne que la suite est belle et bien constante.
31:39Pour calculer sa valeur, il suffit d'utiliser l'expression au rang 0, donc T0 égale à 2U0 plus 3V0, ce qui donne 36.
31:48Par conséquent, quel que soit N entier naturel, TN sera égale à 36.
31:53Pour la limite de UN et VN, notez grand L, il suffit de l'injecter dans l'expression de TN.
31:59Au voisinage de l'infini, 2L plus 3L sera égale à 36, donc L sera égale à 36 cinquièmes.
32:08Tu as vu, certes c'était ardu, mais pas tant que ça.
32:12Bien entendu, il faut que tu en fasses d'autres comme celui-ci, donc au boulot.
32:16Exercice numéro 9, dans lequel tu vas devoir faire une lecture graphique et une détermination algébrique, mais comme toujours, rien d'insurmontable.
32:25C'est parti !
32:27Je te propose de t'amuser avec une suite homographique, et n'aie pas peur de l'énoncer.
32:31Il a l'air bien dense, mais ce n'est qu'une illusion d'optique.
32:34Il y a deux parties, la première contenant les questions 1 à 5, la seconde les questions 6 à 10.
32:40On commence par le commencement.
32:43Soit la suite U, définie sur l'ensemble des entiers naturels, par U0 égale à 1, et pour tout entier naturel N, U, N plus 1, égale à 2 plus, 3 sur UN.
32:52L'objectif du problème est d'exprimer UN en fonction de N, puis de trouver la limite de UN.
32:59Il va sûrement falloir de l'espace pour rédiger donc, comme d'habitude, je fais de la place et n'affiche que la question traitée.
33:07Petit 1, on a tracé la courbe de la fonction F définie sur l'intervalle 0 exclu, plus l'infini exclu, par F de X égale à 2 plus, 3 sur X.
33:16Déterminez graphiquement U1, U2 et U3.
33:20Afin de garantir une bonne précision des valeurs définies graphiquement, il serait judicieux d'avoir un graphique un peu plus grand.
33:27Voilà qui est fait, même s'il en devient un peu plus flou.
33:31Première chose à faire, tracer la droite d'équation Y égale à X, en bleu, pour ramener la valeur des images sur l'axe des abscisses afin de déterminer le terme de rang suivant.
33:41L'énoncé indique que U0 est égal à 1.
33:43De ce fait, tu pars d'ici sur l'axe horizontal, déplacement vertical jusqu'à la courbe, rouge, déplacement horizontal jusqu'à la droite, bleu, et enfin, déplacement vertical pour revenir sur les abscisses, lecture de la valeur avec la précision permise par l'axe, et U1 est environ égal à 5.
34:02Pour déterminer U2, même procédure à partir de U1.
34:05Déplacement vertical jusqu'à la courbe, rouge, déplacement horizontal jusqu'à la droite, bleu, et enfin, déplacement vertical pour revenir sur les abscisses, lecture de la valeur avec la précision permise par l'axe, et U2 est environ égal à 2,6.
34:21Pour déterminer U3, même procédure à partir de U2.
34:26Déplacement vertical jusqu'à la courbe, rouge, déplacement horizontal jusqu'à la droite, bleu, et enfin, déplacement vertical pour revenir sur les abscisses, lecture de la valeur avec la précision permise par l'axe, et U3 est environ égal à 3,1.
34:40Attention à bien tracer droit, la moindre erreur de trajectoire est à proscrire donc, méthode et minutie quand tu manies ta règle et ton crayon bien taillé.
34:50Next
34:50Petit 2, déterminé par le calcul U1, U2, et U3
34:55Est-ce cohérent ?
34:57Je réaffiche sur l'écran les valeurs déterminées graphiquement pour comparer.
35:01Comme U1 est égal à 2+, 3 sur U1, U1 sera égal à 2+, 3 sur U0, et comme U0 est égal à 1, U1 sera égal à 5.
35:12Pour U2, même procédure.
35:15Comme U1 est égal à 2+, 3 sur U1, U2 sera égal à 2+, 3 sur U1, et comme U1 est égal à 5, U2 sera égal à 2,6.
35:26Idem pour U3.
35:27Comme U, N plus 1, est égal à 2+, 3 sur U1, U3 sera égal à 2+, 3 sur U2, et comme U2 est égal à 2,6, U3 sera égal à 41,3, soit environ 3,154.
35:42Les valeurs calculées sont quasiment identiques aux valeurs déterminées graphiquement, donc ces résultats sont cohérents.
35:49Next
35:49Petit 3, quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation, et la limite de cette suite U1 ?
35:56Quand tu regardes les valeurs calculées, tu te rends compte que la suite n'est pas monotone, puisqu'entre U0 et U1, elle est croissante, mais qu'entre U1 et U2, elle est décroissante, pour redevenir croissante entre U2 et U3.
36:10Par contre, elle est globalement croissante, puisque ses valeurs restent toujours supérieures à celles de U0, et il semblerait que sa limite, notée grand L, soit 3.
36:19Next
36:20Petit 4, la suite U1 est-elle arithmétique ?
36:24Géométrique ?
36:26Justifiée
36:27Si elle est arithmétique, U1 plus 1, moins U1 sera constant et réel.
36:33Donc calcul de U1 plus 1, moins U1, tu mets tout sur le même dénominateur, et quoi que tu puisses faire, tu ne pourras jamais obtenir une valeur constante et réelle, donc elle n'est pas arithmétique.
36:43Si elle est géométrique, U1 plus 1, sur U1 sera constant et réel.
36:49Donc calcul de U1 plus 1, sur U1, tu mets le numérateur sur le même dénominateur, tu réduis, et quoi que tu puisses faire ici aussi, tu ne pourras jamais obtenir une valeur constante et réelle, donc elle n'est pas géométrique.
37:03Next
37:04Petit 5, démontrer que pour tout entier naturel N, U1 supérieur ou égal à 1.
37:09Le plus simple ici est d'appliquer le raisonnement par l'absurde, en considérant que, U1 supérieur ou égal à 1, est une affirmation vraie.
37:18Le but est de construire U1 plus 1, et de vérifier si l'égalité est toujours vraie.
37:24U1 supérieur ou égal à 1 entraîne que 0, inférieur ou égal à 1 sur U1, inférieur ou égal à 1.
37:30Multiplication par 3 de chaque terme de l'encadrement, puis tu y ajoutes 2, ce qui entraîne que 2, inférieur ou égal à U1, inférieur ou égal à 5.
37:41Or, 2 est supérieur ou égal à 1, ce qui entraîne que U1 plus 1, est bien supérieur ou égal à 1.
37:48La démonstration du raisonnement par l'absurde est en vrai, U1 est bien supérieur ou égal à 1.
37:54Next
37:54On considère la suite Vn, définie pour tout entier naturel n, par Vn égale à, Un moins 3, sur, Un plus 1.
38:04Petit 6, déterminer par le calcul les 4 premiers termes de la suite Vn.
38:08En premier, reprendre les valeurs de Un calculées dans la question petit 2, car il va falloir les utiliser pour déterminer les termes de Vn.
38:16Comme Vn égale à, Un moins 3, sur, Un plus 1, V0 sera égale à, U0 moins 3, sur, U0 plus 1, avec U0 égale à 1, donc V0 égale à moins 1.
38:29Comme Vn égale à, Un moins 3, sur, Un plus 1, V1 sera égale à, U1 moins 3, sur, U1 plus 1, avec U1 égale à 5, donc V1 égale à 1 tiers.
38:40Comme Vn égale à, Un moins 3, sur, Un plus 1, V2 sera égale à, U2 moins 3, sur, U2 plus 1, avec U2 égale à 2,6, donc V2 égale à moins 1 neuvième.
38:53Comme Vn égale à, Un moins 3, sur, Un plus 1, V3 sera égale à, U3 moins 3, sur, U3 plus 1, avec U3 égale à 41 treizième.
39:04Toujours prendre la valeur exacte dans les calculs, donc V3 égale à 1 vingt-septième.
39:10Next.
39:11Petit 7, la suite V semble-t-elle arithmétique.
39:15Géométrique.
39:16Justifiez votre conjecture.
39:19La méthode Boring consisterait à suivre la même procédure que celle de la question petit 4, mais pourquoi perdre un temps précieux alors qu'on peut faire plus fin ?
39:27En reprenant les valeurs calculées, et en divisant le terme suivant par le terme de référence, soit en calculant V1 sur V0, V2 sur V1, et V3 sur V2, la valeur obtenue est la même, moins 1 tiers.
39:40Ceci implique que la suite est géométrique de raison, moins 1 tiers.
39:44La valeur de V0 a été déterminée, donc la forme explicite de la suite Vn sera moins 1 fois, moins 1 tiers, puissance n.
39:52Next.
39:53Petit 8, démontrez la conjecture du petit 7.
39:56La procédure conseillée ici est de faire une récurrence, initialisation et hérédité.
40:02Seulement, comme je ne l'ai pas encore abordé dans les ateliers, je vais te montrer une autre façon de faire, tout aussi rigoureuse.
40:09Tu pars de l'expression de Vn, en fonction de Un, pour déterminer celle de Vn plus 1, en fonction de Un plus 1.
40:18L'énoncé indique que Un plus 1, est égal à 2 plus, 3 sur Un, que tu remplaces dans Vn plus 1.
40:24Tu ramènes numérateur et dénominateur sur la même fraction, réduction, et Vn plus 1, est égal à, moins Un plus 3, sur, 3 Un plus 3, que tu peux factoriser en moins 1 tiers, facteur de, Un moins 3, sur, Un plus 1, soit moins 1 tiers fois Vn.
40:42Donc, la suite Vn est bel et bien géométrique, c'est Qfd.
40:47Et tu auras bien Vn égale à, moins 1 fois, moins 1 tiers, puissance N.
40:52Next.
40:53Petit 9, exprimer Vn en fonction de N.
40:57En déduire l'expression de Un en fonction de N.
41:00Pour l'expression de Vn en fonction de N, je l'ai déterminée dans la question précédente, et je la réaffiche sur l'écran.
41:08Pour avoir celle de Un en fonction de N, il va falloir un peu bidouiller.
41:12En premier, tu as l'expression de Vn en fonction de Un, qu'il va falloir retravailler pour obtenir l'expression de Un en fonction de Vn.
41:20Un produit en croix pour tout ramener sur une ligne, puis tu développes le bloc de gauche, tu mets tous les termes contenant Un à gauche, donc les autres à droite, tu factorises par Un, et tu l'isoles.
41:32Un sera égal à, moins Vn moins 3, sur, Vn moins 1.
41:36En combinant l'expression de Vn en fonction de N avec celle de Un en fonction de Vn, et surtout avec méthode et minutie, Un sera égal à, moins, moins 1 tiers, puissance N, moins 3, sur, moins 1 tiers, puissance N, plus 1.
41:51Next.
41:53Petit 10, en déduire la limite de la suite Un.
41:56Est-ce cohérent ?
41:58Affichage de l'expression de Un en fonction de N, avec le signe moins devant la fraction en rouge pour ne pas oublier lors du calcul de la limite.
42:06Moins 1 tiers est strictement compris entre moins 1 et 0, donc par définition, la limite de, moins 1 tiers, puissance N, quand N tend vers plus l'infini, est nulle.
42:16De ce fait, la limite du numérateur de la suite sera moins 3, celle de son dénominateur sera 1, et sans oublier ce signe moins en rouge devant la fraction.
42:25Par calcul, la limite de Un sera 3.
42:29C'est cohérent puisque cette limite a bien été conjecturée dans la question petit 3.
42:34Cool.
42:34Exercice numéro 10, le tout dernier, dans lequel je te propose un petit QCM comme digestif, le repas mathématique a été quelque peu copieux, voire bien trop riche pour ton cerveau qui carbure aux réseaux sociaux.
42:48C'est parti.
42:49Précisez si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.
42:546 lignes, qui pour certaines vont probablement demander beaucoup d'espace pour la rédaction.
42:59Donc comme d'habitude, je fais place nette et n'affiche que la question traitée.
43:03Petit 1, si une suite est décroissante minorée, alors elle est convergente.
43:08La réponse va être très courte, car par définition, cette affirmation est vraie.
43:14Next.
43:15Petit 2, si une suite est croissante et convergente, alors elle est majorée.
43:20La suite est croissante, elle converge vers une limite notée grand L, elle sera majorée par cette limite grand L donc, affirmation A.
43:28Next.
43:28Petit 3, si une suite est convergente et majorée, alors elle est croissante.
43:34Soit la suite UN, égale à 1 sur N, définie pour tout entier n strictement positif.
43:40Cette suite est décroissante alors qu'elle sera majorée par 1, son terme de rang 1, donc l'affirmation est fausse.
43:46Next.
43:48Petit 4, si une suite est croissante, alors elle est minorée.
43:51Soit la suite UN, égale à 1, avec N entier naturel.
43:56UN est croissante, et comme U0 est égal à 0, ça entraîne que UN est supérieur ou égal à 0, donc c'est vrai.
44:04Et c'est logique, une suite croissante sera toujours minorée par son premier thème, tout comme une suite décroissante sera majorée par son premier terme.
44:12Next.
44:13Petit 5, si une suite est croissante, alors elle n'est pas majorée.
44:16Soit la suite UN, égale à 1 moins, 1 sur N, définie pour tout entier naturel N strictement positif.
44:24Cette suite est croissante, et pourtant majorée par 1, donc l'affirmation fausse.
44:29Next.
44:31Petit 6, si une suite est croissante et convergente, alors elle est bornée.
44:35Je reprends l'exemple de l'affirmation précédente, la suite UN égale à 1 moins, 1 sur N, définie pour tout entier naturel N strictement positif.
44:43Cette suite est croissante, positive ou nu, et inférieure ou égale à 1, donc elle est bien bornée par 0 et 1.
44:51Cette affirmation est donc vraie.
44:54Et c'est enfin à fin.
44:55La forge est désormais terminée.
44:58Des questions ?
44:59Un complément d'informations ?
45:02Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
45:03D'autres exercices en PDF, librement téléchargeables, sont disponibles dans la description de cette vidéo.
45:11A toi de forger maintenant.
45:13Prochaine vidéo sur l'encleum.
45:15Que la forge soit avec toi.
45:18Stay tuned.
45:19Tchuss.
45:20Sous-titres par Jérémy Diaz.
45:42Sous-titres par Jérémy Diaz.