Atelier MAN#020 - Fonctions de Référence...
Cours téléchargeable ici : https://drive.google.com/file/d/11Mvs5ouGDx7T4fsWTf427TPYqyr-ufxs/view?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
TD Forge disponible ici : https://dai.ly/k4Q2RvFipb1htaBovpG
Que la Forge soit avec toi !..
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Transcript
00:00Mes respects à tout le monde, bienvenue dans la forge du Quantum.
00:24Aujourd'hui, atelier MAN numéro 20, les fonctions de référence.
00:29Et on commence sans plus attendre par un avant-propos indispensable.
00:33Ce chapitre fait partie d'une trilogie indissociable dans laquelle on trouve, en premier, ces fonctions
00:39de référence, en second les fonctions composées, puis en dernier, les fonctions homographiques.
00:44Seulement, depuis la réforme de 2019, les fonctions composées et homographiques ont
00:50disparu du programme.
00:52Pourtant, elles sont essentielles dans les études de fonctions vues en première et
00:56terminale, comme les calculs différentiels, les limites, etc.
01:00Le chapitre fonctions de référence est devenu un piètre catalogue de fonctions affines,
01:06carrées, racines carrées, cubiques, inverses, et les valeurs absolues.
01:10Les fonctions trigonométriques, cosinus, sinus, tangente, ne font plus partie du package,
01:17mais elles seront abordées sur cette chaîne, c'est certain.
01:20Les détails techniques à savoir sur chaque fonction sont les suivants.
01:24Son domaine de définition, ses variations, ainsi que son signe sur ce domaine.
01:29Les exercices proposés ne sont que des comparaisons d'images et d'antécédents, déjà faits
01:35dans les notions de fonctions, ou des déterminations de domaines de définition, et basta.
01:40Un peu léger pour aborder les maths en première, n'est-il pas ?
01:43Sans les fonctions composées et homographiques, ce chapitre fonctions de référence devient
01:49inutile, voire incongru dans le programme de mathématiques.
01:53Tu te doutes bien que je vais te proposer la trilogie complète.
01:56Elle sera bien moins longue que celle du Seigneur des Anneaux, mais tout aussi passionnante.
02:01En première et terminale, tu seras en possession des outils pour, en premier, déterminer un
02:07tableau complet de variations, puis dessiner une représentation graphique fiable, le tout
02:12sans utiliser le calcul différentiel.
02:14Ça te permettra de sortir des sentiers battus, et d'avoir un petit côté rebelle en trouvant
02:19la solution, mais sans faire ce que l'on attend de toi.
02:22Bref, un mouton au blouson noir parmi les moutons sang.
02:26Trêve de blabla, on débute cet atelier avec les prérequis.
02:30Il y a deux fonctions de référence qui sont difficiles à appréhender pour les jeunes
02:35cerveaux qui s'y penchent dessus.
02:36La première est la racine carrée.
02:39f2x, égale à racine carrée de u2x, est définie si et seulement si la fonction u2x est supérieure
02:47ou égale à zéro.
02:48La seconde est la valeur absolue.
02:50La valeur absolue de u2x sera égale à moins u2x si u2x est négatif, u2x si u2x est positif.
02:58C'est bon pour toi.
03:01Je te conseille de faire quelques exercices pour appréhender ces deux notions.
03:05Et comme tu sais que beaucoup, ce n'est pas assez, il va falloir en faire bien plus.
03:10C'est à présent que je vais te montrer ce piètre catalogue de fonctions énoncées
03:15dans l'avant-propos.
03:16Et je vais commencer par la fonction la plus simple, y égale à x.
03:20Cette fonction est la base de toutes les fonctions affines et linéaires.
03:23Sa représentation graphique est la suivante, merci GeoGebra.
03:29Tableau de variation.
03:30La fonction étant définie sur l'ensemble des réels, moins l'infini et plus l'infini.
03:36Fonction croissante, donc flèche dans ce sens, et c'est terminé.
03:40Tableau de signe.
03:43Fonction toujours définie sur R, donc moins l'infini et plus l'infini.
03:48Comme elle s'annule en 0, la barre verticale avec le 0 dessus.
03:51Avant 0, elle est négative car en dessous de l'axe des abscisses.
03:56Après 0, positive car au-dessus de cet axe.
04:00Et c'est tout.
04:02Next.
04:03Fonction carré.
04:05Sa courbe est parabolique.
04:07Sa représentation graphique est la suivante.
04:11Tableau de variation.
04:13La fonction étant définie sur l'ensemble des réels, moins l'infini et plus l'infini.
04:19Un minimum en 0, une fonction décroissante sur l'intervalle des réels négatifs, s'annule en 0, puis croissante sur l'intervalle des réels positifs.
04:28Tableau de signe.
04:30Fonction toujours définie sur R, donc moins l'infini et plus l'infini.
04:35Comme elle s'annule en 0, la barre verticale avec le 0 dessus.
04:39Avant 0, elle est positive car au-dessus de l'axe des abscisses.
04:44Après 0, positive aussi car toujours au-dessus de cet axe des abscisses.
04:49Rien de plus.
04:51Next.
04:53Fonction racine carré.
04:55Sa représentation graphique est la suivante.
04:58Tableau de variation.
05:00La fonction étant définie sur l'ensemble des réels positifs ou nuls, 0 et plus l'infini.
05:06Un minimum en 0, une fonction croissante sur l'intervalle.
05:11Tableau de signe.
05:13Fonction toujours définie sur 0, plus l'infini, s'annulant en 0, la barre verticale avec le 0 dessus.
05:20Toujours positive sur cet intervalle car au-dessus de l'axe des abscisses.
05:25Pas plus compliqué.
05:27Next.
05:28Fonction cube.
05:30Sa représentation graphique est la suivante.
05:33Tableau de variation.
05:35La fonction étant définie sur l'ensemble des réels, moins l'infini et plus l'infini.
05:41Fonction croissante sur l'intervalle.
05:44Tableau de signe.
05:46Moins l'infini, plus l'infini, fonction s'annulant en 0, la barre verticale avec le 0 dessus.
05:52Négative à gauche de 0 car en-dessous de l'axe des abscisses, positive à droite car au-dessus.
05:58Simple.
06:00Next.
06:01Fonction inverse.
06:03Sa courbe sera hyperbolique.
06:06Sa représentation graphique est la suivante.
06:09Tableau de variation.
06:12La fonction étant définie sur l'ensemble des réels non nuls, moins l'infini et plus l'infini, puis une double barre en 0.
06:19Fonction décroissante sur l'intervalle complet, donc flèche vers le bas à droite et à gauche de cette double barre.
06:26Tableau de signe.
06:28Moins l'infini et plus l'infini, fonction non définie en 0, donc double barre.
06:33Négative à gauche de 0 car en-dessous des abscisses, positive à droite car au-dessus.
06:39C'est tout.
06:40Next.
06:42Dernière fonction, valeur absolue.
06:45Pour plus d'informations, voir l'atelier MAN numéro 3, lien en description.
06:50Sa représentation graphique est la suivante.
06:54Tableau de variation.
06:56La fonction étant définie sur l'ensemble des réels, moins l'infini et plus l'infini.
07:01Un minimum en 0, donc fonction décroissante sur l'intervalle des réels négatifs, s'annule en 0, puis croissante sur l'intervalle des réels positifs.
07:11Tableau de signe.
07:13Moins l'infini et plus l'infini, fonction qui s'annule en 0, la barre vertica avec le 0 dessus.
07:19Positive à gauche de 0 car au-dessus des abscisses, positive à droite car aussi au-dessus.
07:25Logique.
07:26Allez, on passe au paragraphe suivant intitulé Symmétrie.
07:30Je veux que tu remarques une caractéristique mathématique concernant trois fonctions, la racine carré, Y égale à X, et la carré.
07:39J'affiche leur représentation graphique sur ton écran.
07:42La racine carré est en vert, Y égale à X en rouge, la carré en bleu.
07:48Sur l'intervalle 0, 1, encadré en vert fluo, X au carré sera inférieur ou égal à X, inférieur ou égal à racine carré de X.
07:57Graphiquement, la courbe bleue est en dessous de la rouge, elle-même en dessous de la verte.
08:03Et tu as bien sûr remarqué que la courbe bleue est la symétrie de la verte par la droite rouge, symétrie axiale.
08:09Sur l'intervalle 1, plus l'infini, c'est l'inverse au niveau inéquation.
08:15Racine carré de X inférieur ou égal à X, inférieur ou égal à X au carré.
08:20Graphiquement, la courbe verte est en dessous de la rouge, elle-même en dessous de la bleue.
08:26Quant à la symétrie axiale, elle est conservée.
08:29On va tirer quelques conclusions de tout ce qui a été dit et écrit.
08:34Outre les représentations graphiques à mémoriser et savoir tracer, il faut simplement retenir ces informations.
08:40Si la fonction est une puissance de X, avec la puissance en entier naturelle, le domaine de définition sera l'ensemble des réels.
08:48Si la fonction est la racine carrée d'une autre fonction, notée U, le domaine de définition sera celui sur lequel la fonction U est positive ou nulle.
08:57Mais si la fonction est la racine carrée de la valeur absolue de cette fonction U, le domaine de définition de F sera celui de U.
09:05Si la fonction est l'inverse d'une autre fonction, à nouveau notée U, le domaine de définition sera celui sur lequel la fonction U est non nulle.
09:13Dans le cas où la fonction F est l'inverse de la valeur absolue de cette fonction U, le domaine de définition sera aussi celui sur lequel la fonction U est non nulle.
09:22Dernier point, si la fonction est l'inverse de la racine carrée d'une autre fonction, toujours notée U, le domaine de définition sera celui sur lequel la fonction U sera strictement positive.
09:33Car la division par zéro est impossible.
09:36Dans le cas où la fonction F est l'inverse de la racine carrée de la valeur absolue de U, l'ensemble de définition sera celui sur lequel la fonction U n'est pas nulle.
09:46Tout ce que je viens de te raconter n'est qu'une introduction aux fonctions composées, que tu auras le plaisir de découvrir sous peu, et l'obligation de les travailler sérieusement dans le cas où tu veux continuer en science ultérieurement.
09:58L'atelier est désormais terminé.
10:00Tu as des questions ?
10:02Tu veux un complément d'information ?
10:05Rejoins-moi dans l'espace commentaire.
10:07Le cours complet en PDF, librement téléchargeable, est disponible dans la description de cette vidéo.
10:14Le tutoriel de travaux dirigé intitulé ForgeMAN Hashtag 020, fonction de référence, est accessible, le lien est en description.
10:23Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
10:27A tout de suite.
10:29Tchuss !
10:35Sous-titrage FR Pays-Bas