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00:00 Bien, nous allons corriger l'exercice 6 sur les matrices.
00:03 Alors, on regarde la consigne, on considère les matrices suivantes G et H.
00:09 Bon, il n'y a pas de système d'équation, on considère les matrices suivantes.
00:12 Montrez que les matrices G et H sont inverses l'une de l'autre.
00:16 Donc pour montrer qu'elles sont inverses l'une de l'autre,
00:19 il faut montrer que le produit matriciel G fois H
00:22 doit être égal à la matrice identité.
00:25 Et ici, vu que ce sont des matrices 3 lignes 3 colonnes, ça doit être égal à la matrice identité d'ordre 3.
00:31 Donc on sait ce que c'est que la matrice identité d'ordre 3, c'est 1 0 0 0 1 0 0 0 1.
00:38 La matrice identité, l'élément neutre de la multiplication des matrices.
00:43 Et on doit aussi montrer que c'est égal au produit H fois G.
00:48 Alors on y va, donc on va calculer le produit matriciel G fois H.
00:52 Comme d'habitude, je vais mettre ce qu'on met sur la copie et ce qu'on met au brouillon.
00:57 Sur la copie, on écrit la matrice G 1 2 - 2 - 2 - 3 4 - 2 - 2 3
01:07 fois la matrice H 1 2 - 2 2 1 0 2 2 - 1.
01:17 Et on écrit en dessous le résultat.
01:20 Donc ça c'est sur votre copie, là c'est au brouillon, on fait le calcul.
01:25 Donc G H, on va poser G un peu en bas, donc je réécris 1 2 - 2 - 2 - 3 4 - 2 - 2 3.
01:34 Et en haut, on écrit la matrice H 1 2 - 2 2 1 0 2 2 - 1.
01:49 Et on y va, donc pour calculer ça, comme d'habitude, dans votre tête ou sur votre brouillon,
01:57 vous pouvez tracer les lignes et on trace les colonnes.
02:01 Et à chaque point d'intersection, on effectue une espèce de produit scalaire.
02:06 Donc si on le fait, on y va, ici on fait 1 x 1 = 1
02:11 + - 2 x 2 = - 4, donc 1 - 4 ça donne - 3
02:16 + - 2 x - 2 = 4
02:19 Donc - 3 + 4, ici on a 1.
02:22 Bon, je vais essayer d'aller un peu plus vite pour les autres.
02:24 2 x 2 = - 6, donc 2 - 6 = - 4, - 4 + 4 = 0
02:30 - 2 + 8 = 6, 6 - 6 = 0
02:38 Et on calcule tout, donc ici si vous faites le produit 1 x 2 = - 2 0 - 2 x 0 = 0
02:44 2 x 2 = 4, - 3 = 1
02:49 Et - 1 x 0 = 0, donc il reste 1.
02:52 Et si vous faites tout, on trouve 1 0 0 0 1 0 0 0 1.
02:56 Donc sur votre copie, on écrit que c'est égal à 1 0 0 0 1 0 0 0 1
03:01 Et pour montrer qu'on a bien compris qu'elles sont inverses,
03:04 on écrit bien que c'est égal à la matrice identité d'ordre 3.
03:09 Et bien sûr, je vous laisse faire le deuxième cas.
03:13 On calcule H x G, bon, je vous laisse faire ça au brouillon,
03:17 on montre que c'est aussi égal à 1 0 0 0 1 0 0 0 1,
03:21 et ce qui est égal à la matrice identité.
03:25 Donc, ce que l'on va écrire sur la copie,
03:29 on va écrire que H x G = G x H = matrice identité d'ordre 3,
03:36 donc H et G sont inverses l'une de l'autre.
03:43 Et pourquoi ça peut être utile de savoir cela ?
03:50 Donc ça peut être très utile, là je vous donne ce qu'il y aura sûrement au DST,
03:54 c'est si vous avez un système matriciel, vous savez, d'équation G x la matrice grand X,
03:58 ou c'est X Y Z = Y,
04:01 ou égal, oui, égal une matrice B, ou Y, peu importe,
04:05 et on vous demande de trouver la matrice X, inconnue.
04:09 Donc ce que l'on fait, vous vous souvenez,
04:11 on va multiplier à gauche et à droite, on a la matrice G,
04:14 on va multiplier par son inverse à gauche,
04:17 donc ça fait G - 1 G X = G - 1 Y,
04:24 on sait que G - 1 x G, l'inverse soit la matrice G, ça donne la matrice identité,
04:29 donc il reste l'identité x X, donc il reste X à gauche,
04:32 et à droite il reste l'inverse de G x Y,
04:35 sauf qu'on a montré, d'après la question que j'ai su,
04:37 que G et H sont inverses l'une de l'autre,
04:39 donc en fait l'inverse de G, c'est la matrice H,
04:43 car elles sont inverses l'une de l'autre,
04:45 donc en fait, au contrôle, on dirait que G - 1, c'est la matrice H x Y,
04:50 et voilà, on aura juste à faire matrice H x Y,
04:53 car on a montré que G et H sont inverses l'une de l'autre,
04:56 donc l'inverse de G, c'est la matrice H,
04:59 voilà à quoi ça peut être utile de savoir que G et H sont inversibles lors du DST.
05:04 Et on passe à la question 2,
05:08 on va changer de page,
05:14 voilà, on aura plus d'espace pour faire la correction,
05:21 alors on considère les matrices A, I3,
05:24 bon, ça on vous le donne pour vous rassurer, mais ça c'est la matrice identité,
05:27 et la matrice J, donc ça c'est une matrice qui est ici,
05:31 alors question 2, c'est vraiment pour vous mettre en confiance,
05:34 que vaut la matrice identité x la matrice identité ?
05:39 Alors, soit vous posez au brouillon
05:42 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x 1 0 0 0 1 0 0 0 1,
05:49 et si vous faites ça, vous trouvez la matrice, celle-là,
05:53 donc on retrouve en fait si on pose ça, la matrice identité.
05:57 Mais pourquoi c'est évident ?
05:59 On n'a pas besoin de faire le calcul en fait, on le sait déjà,
06:02 pensez que la matrice identité c'est l'élément neutre de la multiplication,
06:05 c'est comme si vous demandiez dans les nombres réels de faire 1 x 1,
06:09 1 c'est l'élément neutre de la multiplication, on multiplie par 1,
06:12 on sait très bien que ça vaut 1.
06:14 Donc ici en fait on a l'élément neutre de la multiplication x l'élément neutre de la multiplication,
06:19 x1 x 1, donc on sait que ça va donner la matrice identité d'ordre de 3.
06:23 L'identité x identité, c'est identité.
06:25 Si vous êtes stressé au DST, vous posez ça,
06:28 et vous allez vite vous rendre compte que c'est la matrice identité.
06:32 Ensuite, question B, que vaut la matrice identité d'ordre 3 x la matrice J ?
06:38 Donc on peut bien lire, le produit existe, J possède 3 lignes, 3 colonnes,
06:43 donc il y a 3 colonnes, et la matrice identité a 3 lignes, 3 colonnes,
06:47 donc le nombre de colonnes de I égale au nombre de lignes de J,
06:50 donc ça existe bien, et J fois I également.
06:52 Donc ça vaut quoi la matrice identité x la matrice J ?
06:58 Donc pareil, au contrôle, je sais que vous vous stressez, mais là il faut aller vite.
07:02 Soit vous reposez I x en haut la matrice J,
07:11 vous faites le calcul, mais là sans faire calcul on le sait,
07:14 c'est comme si dans les nombrels vous demandiez que ça vaut 1 x 3,
07:17 vous savez que ça vaut 3, 1 x X, ça vaut X,
07:20 là on a la matrice identité, c'est le 1, c'est l'élément neutre des matrices pour la multiplication,
07:25 donc l'identité x une matrice J, donc on sait très bien que ça va donner la matrice J par définition,
07:30 1 x X, ça fait X, et pareil, J x la matrice identité,
07:35 c'est comme si vous demandiez un nombrel X, ça c'est dans les nombrels, x on le multiplie par 1,
07:39 on sait que ça vaut X, donc J x la matrice identité, ça va donner J.
07:44 Question C, que vaut J au carré ?
07:49 Donc attention, J au carré, je rappelle ici, ça c'est pas une matrice diagonale,
07:53 donc J au carré, on ne met pas tous les coefficients au carré,
07:57 il faut calculer, il faut y aller, donc J au carré, attention, on fait J x J,
08:02 donc c'est égal à la matrice 0 0 0 1 0 0 0 1 0 x elle-même, 0 0 0 1 0 0 0 1 0,
08:14 et on écrit comme ça, sur la copie, et au brouillon, on le fait au brouillon,
08:20 donc ça c'est au brouillon, je vous insiste, ce qui est en vert c'est au brouillon,
08:24 là ce qui est en bleu c'est la réponse, donc moi au brouillon,
08:28 0 0 0 1 0 0 0 1 0 x 0 0 0 1 0 0 0 1 0, allez go, on trace les lignes,
08:40 au brouillon, les colonnes, et on effectue les produits,
08:49 on y va 0 x 1 x 0, donc là ça fait 0 0 0 0 0 0 1 x 0 0 0 x 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0,
09:04 oh 1 x 1 0 x 0 0, là il y a 1, 0 0 0 0 0 0, ok, donc ça donne cette matrice là,
09:11 donc c'est 0 0 0 0 0 0 1 0 0, donc là on a J^2, et la question d'après, on vous demande J^3,
09:21 donc on va essayer d'être astucieux, J^3, on sait que c'est J x J x J,
09:27 on ne va pas faire de produit, J x J, on sait que ça donne J^2,
09:31 donc c'est J^2 x J, et J^2 on l'a calculé au-dessus,
09:35 donc c'est la matrice 0 0 0 0 0 0 1 0 0 x la matrice 0 0 J 1 0 0 0 1 0,
09:43 donc J^3 =, donc pareil on pose au brouillon,
09:49 donc ça c'est au brouillon, 0 0 0 0 0, ça va être vite à calculer, il n'y a que des 0 quasiment,
09:55 donc c'est ça qui est pratique, 0 0,
10:00 hop au brouillon tac tac tac tac tac tac point d'intersection allez ça donne quoi c'est parti 0
10:09 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 et 0 bon finalement c'est quoi cette matrice j'occupe 0 0 0 0 0 0 et bien en
10:27 fait ça c'est la matrice nulle donc c'est un grand taux 3 c'est la matrice nulle d'ordre 3 c'est la
10:33 matrice avec des 0 donc j'occupe en fait c'est la matrice nulle c'est le 0 pour les matrices voilà
10:38 et question 4 question d on vous demande de développer et réduire cette expression là donc
10:48 on va essayer d'y aller doucement faut pas avoir peur c'est des développements avec des matrices
10:53 donc on va être prudent donc on vous demande c'est l'identité - 3 fois la matrice j le tout
10:59 multiplié par l'identité la matrice identité + 3 fois la matrice j + 9 fois la matrice j carré
11:13 et faudra bien sûr utiliser le résultat de la question d'avant donc on développe donc on va
11:20 démarrer par la matrice identité donc on y va donc la matrice identité fois la matrice identité
11:25 donc ça donne la matrice identité au carré donc matrice identité fois la matrice identité matrice
11:33 et qu'est ce que ça donne on l'a déjà vu question à un fois ça fait un la matrice identité fois la
11:39 matrice identité ça donne là elle même comme c'est qu'on le monde est en carré on voit un
11:44 donc une entité fois une entité donc ça donne la matrice identité ensuite on fait quoi l'identité
11:50 fois 3 j donc ça donne plus 3 attention fois la matrice identité fois la matrice j en multiplié
11:59 à gauche donc c'est 3 fois l'identité fois j et ensuite on fait quoi hop on développe ici donc
12:06 c'est plus l'identité fois 9 fois la matrice j carré donc c'est plus 9 fois la matrice identité
12:12 fois j au carré on va simplifier tout ça après rassurer ensuite attention là on a -3 j donc on y
12:21 va on fait ici donc -3 j fois la matrice identité donc c'est -3 j fois la matrice identité d'or 3
12:28 ensuite -3 j fois 3 j donc -3 fois 3 -9 et la matrice j fois j ça donne j carré donc -9 fois
12:39 j carré et enfin -3 j fois 9 j carré donc -3 fois 9 -27 et j fois j carré j au cube et on va essayer
12:52 de simplifier tout ça donc l'identité ça est là c'est ça identité fois identité c'est identité
12:57 au carré ce qui donne l'identité donc ça donne l'identité bon on peut l'écrire sur une copie
13:01 identité au carré et ça donne l'identité ok plus là on peut simplifier quelque chose 3 fois l'identité
13:08 fois j on l'a vu au dessus si on a une la matrice identité fois la matrice j l'identité fois la
13:14 matrice j ça fait la matrice j un fois x et x donc là en fait il reste trois fois la matrice j
13:19 l'identité fois j c'est j plus on a l'identité fois j au carré pareil l'identité c'est le
13:29 moyen de la multiplication donc l'identité fois j carré j carré donc il reste plus 9 j au carré
13:34 ensuite -3 j fois l'identité j fois l'identité c'est la matrice j qui reste donc il reste -3 j
13:42 fois la matrice j ensuite -9 j carré et -27 j au cube et on va voir qu'on va encore pouvoir
13:52 simplifier tout ça donc ça nous donne la matrice identité on a trois fois la matrice j -3 fois la
14:00 matrice j ça s'annule il reste 9 j carré -9 j carré ça s'annule il reste -27 j au cube sauf
14:08 que tout ça ça peut pas encore se simplifier d'après la question d'avant donc on a la matrice
14:13 identité et j au cube qu'est ce que ça donne on l'a vu au dessus donc c'est -27 fois c'est quoi
14:21 la matrice j au cube j au cube on l'a vu ici aux questions d'avant c'est la matrice nulle c'est
14:32 celle où il ya que des zéros donc c'est la matrice nulle c'est 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 donc en fait il
14:39 reste quoi l'identité - et on va faire 27 fois 0 0 0 partout c'est que des zéros donc en fait
14:45 c'est l'identité - 27 fois la matrice nulle la matrice nulle celle où il ya que des zéros donc
14:51 c'est comme si on faisait -27 fois 0 donc il reste en fait la matrice nulle 0 donc finalement
14:58 l'identité - la matrice nulle la matrice nulle c'est la matrice où il ya que des zéros donc il
15:02 reste juste la matrice identité voilà j au cube c'est la matrice nulle donc si vous faites -27
15:10 fois tout ça 27 fois 0 0 0 0 0 donc il reste - juste 0 partout donc - la matrice nulle et
15:15 l'identité - la matrice nulle c'est la matrice identité donc finalement on a montré que tout
15:20 ça c'était égal à la matrice identité alors question de contrôle pour approfondir si on dit
15:28 que tout ça c'est la matrice 1 donc là qu'est ce qu'on aurait au contrôle là on a à fois tout
15:35 ce que j'encadre en bleu hop ça peut encadrer à fois tout ce que j'encadre en bleu qui serait égal
15:41 à l'identité donc qu'est ce qu'on prouverait si au contrôle identité - 3g c'était 1 donc là on
15:46 aurait à fois quelque chose qui égale à l'identité donc là on aurait prouvé que a est inversible et
15:52 l'inverse de a ce serait la matrice identité + 3g + 9g au carré voilà à quoi ça peut servir cette
16:00 égalité ça fois ça ça donne une identité si ça j'appelle ça la matrice à là j'aurais la matrice
16:04 inverse de a et on a fini la correction de cet exercice
16:08 [BIP]