Quadratische Funktion: Allgemeinform, Scheitelpunktform und Nullstellenform bestimmen
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LernenTranskript
00:00Eine quadratische Funktion kann man in der Allgemeinform, in der Scheitelpunktform und in der Nullstellenform angeben.
00:08In diesem Video schauen wir uns an, wie man zu einem gegebenen Funktionsgrafen diese drei Formen bestimmt.
00:17Wir haben hier den Graphen einer quadratischen Funktion.
00:22Drei Punkte sind auffällig.
00:24Das sind die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse und der Schnittpunkt mit der y-Achse.
00:31Das heißt, wir haben die beiden Nullstellen, wobei die erste Nullstelle die Koordinaten
00:36–5 zu 0 und die zweite die Koordinaten –1 zu 0 hat.
00:43Weiter haben wir noch einen Punkt, den nennen wir P, der die Koordinaten 0 zu 2,5 hat.
00:50Weil die beiden Nullstellen bekannt sind, ist es naheliegend, zuerst die Nullstellenform zu bestimmen.
00:58Das Ziel ist es, die Parameter x1, x2 und a herauszufinden.
01:05–5 entspricht der einen Nullstelle, also zum Beispiel x1, und –1 entspricht der anderen Nullstelle, also x2.
01:14Um a herauszufinden, können wir P in die Gleichung einsetzen, also ist die x-Koordinate 0, gerade x, und die y-Koordinate 2,5 ist f von x.
01:28Schreiben wir die Gleichung nun neu mit den eingesetzten Werten.
01:32Die erste Klammer gibt ausgerechnet 5, und die zweite gibt 1, also gibt das auf der rechten Seite der Gleichung, 5a.
01:41Dann dividieren wir die Gleichung durch 5, und erhalten für a, den Wert 0,5.
01:48Nun können wir die Nullstellenform aufschreiben.
01:50f von x ist nun a, also 0,5, mal Klammer x, minus die erste Nullstelle, also –5, gibt insgesamt x, plus 5, mal das gleiche mit der anderen Nullstelle, also mal Klammer x, plus 1.
02:08Um die Allgemeinform zu erhalten, multiplizieren wir als erstes die beiden Klammern miteinander.
02:13x, plus 5, mal x, plus 1, gibt x², plus 6x, plus 5.
02:22Dann multiplizieren wir jeden Summanden mit 0,5, das gibt 0,5x², plus 3x, plus 2,5.
02:31Dies ist bereits die Allgemeinform.
02:34Als letztes bestimmen wir noch die Scheitelpunktform.
02:37Diese können wir entweder mit quadratischem Ergänzen der Allgemeinform, oder aus der Nullstellenform herleiten.
02:46Wir machen hier die Variante aus der Nullstellenform.
02:51Der Funktionsgraf ist achsensymmetrisch bezüglich des Scheitelpunktes, also liegt der Scheitelpunkt, horizontal gesehen, genau zwischen den beiden Nullstellen.
03:01Also ist die x-Koordinate der Mittelwert der beiden Nullstellen.
03:04Wir setzen die beiden Nullstellen, minus 5 und minus 1, ein, und erhalten für xs, den Wert minus 3.
03:14Für die y-Koordinate setzen wir einfach den x-Wert, in die Funktionsgleichung ein, also nehmen wir die Nullstellenform, und setzen bei x, den Wert minus 3, ein.
03:26Ausgerechnet gibt das für ys, den Wert minus 2.
03:31Jetzt können wir die Scheitelpunktform aufstellen.
03:34Der Faktor a ist der gleiche, wie bei den beiden anderen Formen, also 0,5.
03:41Dann haben wir die Klammer x, minus die x-Koordinate, im Quadrat, also x, minus minus 3, beziehungsweise x, plus 3, im Quadrat.
03:53Zum Schluss noch plus die y-Koordinate, also minus 2.
03:57Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.