Quadratische Gleichung in beliebiger Form durch quadratisches Ergänzen lösen

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Quadratische Gleichung in beliebiger Form durch quadratisches Ergänzen lösen Quadratische Gleichungen in einer beliebigen Form müssen zuerste in die allgemeine Form gebracht werden, damit sie mit quadratischem Ergänzen gelöst werden können. Wie das funktioniert, schauen wir uns anhand eines Beispiels an.  Willkommen auf dem Kanal von EducaNova. Hier findet ihr viele Lernvideos zu Themen aus der Mathematik und der Physik auf der Sekundarstufe 2.  Folgt uns auf YouTube: https://www.youtube.com/@educanova?sub_confirmation=1 Folgt uns auf Instagram: https://www.instagram.com/educanova.ch/ Folgt uns auf TikTok: https://www.tiktok.com/@educanova.ch

Transcript

00:00Quadratische Gleichungen in einer beliebigen Form können mithilfe von quadratischem Ergänzen gelöst werden.

00:07In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man dabei vorgeht.

00:15Wir haben hier eine Aufgabenstellung mit einer quadratischen Gleichung.

00:20Als erstes müssen wir die Gleichung in die Normalform bringen.

00:25Dazu rechnen wir als erstes die beiden Klammern aus.

00:28Die erste Klammer gibt ausgerechnet 4x Quadrat minus 20x plus 25.

00:36Die minus 80 übernehmen wir unverändert.

00:40Und die Klammer auf der rechten Seite gibt ausgerechnet x Quadrat minus 12x plus 36.

00:49Dann bringen wir die Gleichung in die Allgemeinform, indem wir die rechte Seite subtrahieren.

00:544x Quadrat minus x Quadrat gibt 3x Quadrat minus 20x plus 12x gibt minus 8x und 25 minus 80 minus 36 gibt minus 91.

01:10Jetzt dividieren wir die Gleichung durch 3, damit sie in der Normalform vorliegt, also der Koeffizient von x Quadrat, 1 ist.

01:21Dann addieren wir die Konstante 91 Drittel, damit wir auf der linken Seite der Gleichung kein konstantes Glied mehr haben.

01:29Entsprechend gibt es auf der rechten Seite 91 Drittel.

01:35Für die quadratische Ergänzung übernehmen wir als erstes die linke Seite unverändert.

01:41Dann müssen wir den Koeffizienten des linearen Gliedes, in dem Fall 8 Drittel, halbieren, das sind 4 Drittel, und ins Quadrat setzen.

01:49Diese Ergänzung addieren wir.

01:53Auf der rechten Seite wird diese Ergänzung ebenfalls gemacht, damit die Gleichung weiterhin erfüllt ist.

02:01Auf der linken Seite haben wir eine zweite binomische Formel, also gibt das x minus 4 Drittel im Quadrat.

02:09Und auf der rechten Seite ergibt die Klammer ausgerechnet 16 Neuntel.

02:13Damit wir die Brüche auf der rechten Seite addieren können, müssen wir sie gleichnamig machen, also 91 Drittel auf Neuntel erweitern.

02:24Addiert gibt das 289 Neuntel.

02:28Jetzt ziehen wir die Wurzel.

02:31Auf der linken Seite gibt das einfach die Basis, also x minus 4 Drittel.

02:35Achtet darauf, dass ihr auf einer Seite der Gleichung ein Plus Minus hinschreibt, also gibt das auf der rechten Seite, Plus Minus 17 Drittel.

02:46Wir addieren 4 Drittel, um nach x aufzulösen.

02:51Also gibt das x gleich 4 Drittel, Plus Minus 17 Drittel.

02:55Wenn wir beim Plus Minus Zeichen, Plus einsetzen, gibt das für die erste Lösung, 4 Drittel, Plus 17 Drittel, also 21 Drittel, oder gekürzt, 7.

03:08Und wenn wir Minus einsetzen, gibt das für die zweite Lösung, 4 Drittel, Minus 17 Drittel, also Minus 13 Drittel, oder, als Dezimalzahl, Minus 4,3 periodisch.

03:20Es spielt keine Rolle, welcher dieser Werte x1 und welcher x2 ist.

03:27Für die Lösungsmenge werden die Werte aufsteigend sortiert, und wir erhalten für die Lösungsmenge die Werte Minus 4,3 periodisch und 7.

03:37Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

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