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Soutien scolaire gratuit donné par les professeurs de mathématiques du lycée Pierre Bourdan de Guéret.
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ÉducationTranscription
00:00 Bonjour, dans un repère OIG, on considère les points A de coordonnées -3, 3, B de coordonnées
00:19 1, 4 et C de coordonnées 2, 1.
00:23 L'objectif de cet exercice est de déterminer les coordonnées du point D, définie par
00:29 l'égalité vectorielle, vecteur AD = 2 fois le vecteur AB - 3 fois le vecteur AC.
00:36 Vous pouvez dans un premier temps tracer un repère, placer les points A, B et C et construire
00:44 le point D grâce à l'égalité vectorielle.
00:47 Puisque le vecteur AD est égal à 2AB - 3AC, nous partons du point A, nous construisons
00:56 2 fois le vecteur AB.
00:59 Ce vecteur a la même direction et le même sens que le vecteur AB et est 2 fois plus
01:05 long.
01:06 Nous obtenons un point intermédiaire, appelons-le E par exemple.
01:13 Nous avons donc ici sur la figure AE = 2AB.
01:20 Puis, à partir du point E, nous construisons -3 fois le vecteur AC.
01:29 Ce vecteur -3AC a la même direction que le vecteur AC mais va dans le sens contraire
01:38 et est 3 fois plus long.
01:40 Après construction de -3AC à partir du point E, nous obtenons à l'extrémité le
01:51 point D.
01:52 Nous rappelons en effet que pour construire une somme de vecteurs, ici la somme du vecteur
02:00 2AB et du vecteur -3AC, il suffit de les construire bout à bout.
02:07 Maintenant, nous obtenons sur la figure le point D aux coordonnées -10, 11.
02:16 La figure n'est pas une démonstration, nous allons maintenant procéder au calcul des
02:24 coordonnées du point D à l'aide de 4 propriétés de votre cours.
02:30 Commençons par déterminer les coordonnées des vecteurs AB, AC, puis 2AB et -3AC.
02:41 Première propriété de votre cours que l'on utilise.
02:44 Lorsque le point A a pour coordonnées xA, yA et le point B a pour coordonnées xB, yB,
02:53 le vecteur AB a pour coordonnées xB-xA et yB-yA.
03:00 Ici, le vecteur AB a donc pour coordonnées 1--3, xB-xA et 4-3, yB-yA, ce qui nous donne
03:16 le vecteur AB de coordonnées 4 et 1.
03:19 De la même façon, le vecteur AC a pour coordonnées 2--3, xC-xA et 1-3, pour yC-yA, ce qui nous
03:33 donne AC de coordonnées 5 et -2.
03:36 Deuxième propriété de votre cours.
03:39 Si U est un vecteur de coordonnées xY, le vecteur K*U, lorsque K est un réel, a pour
03:49 coordonnées K*X et K*Y.
03:51 Ainsi, le vecteur 2AB a pour coordonnées 2*4 et 2*1, c'est-à-dire 2 fois les coordonnées
04:01 du vecteur AB.
04:02 Cela nous donne 2AB de coordonnées 8 et 2.
04:06 Et de la même façon, -3 fois le vecteur AC a pour coordonnées -3*5 et -3*-2, c'est-à-dire
04:15 -3 fois les coordonnées du vecteur AC.
04:19 -3AC a donc pour coordonnées -15 et 6.
04:24 Troisième propriété de votre cours.
04:28 Lorsqu'un vecteur U a pour coordonnées x et y et qu'un vecteur V a pour coordonnées
04:34 x'Y', alors le vecteur somme U+V a pour coordonnées x+x' et y+y'
04:45 c'est-à-dire que les coordonnées du vecteur somme sont la somme des coordonnées des vecteurs
04:51 U et V.
04:53 Ainsi, le vecteur 2AB-3AC étant la somme du vecteur 2AB et du vecteur -3AC, il aura
05:02 pour coordonnées la somme de 8 et de -15 et la somme de 2 et de 6, soit -7 et 8.
05:14 Exprimons maintenant les coordonnées du vecteur AD à l'aide des coordonnées du point A et
05:20 des coordonnées du point D que nous allons appeler xD, yD.
05:25 A l'aide de la formule que l'on a déjà utilisée pour calculer les coordonnées des
05:31 vecteurs AB et AC, on obtient le vecteur AD de coordonnées xD+3 et yD-3.
05:40 Dernière propriété de votre cours, deux vecteurs U de coordonnées xY et V de coordonnées
05:51 x'y' sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales, c'est-à-dire
05:59 si et seulement si x=x' et y=y'.
06:03 Nous allons appliquer cela au vecteur AD qui est égal au vecteur 2AB-3AC.
06:12 Cette égalité vectorielle nous permet donc d'écrire le système xD+3, l'abscisse
06:21 du vecteur AD, est égal à -7, l'abscisse du vecteur 2AB-3AC, et yD-3, l'ordonnée
06:30 du vecteur AD, est égale à 8, l'ordonnée du vecteur 2AB-3AC.
06:36 Ce système équivaut à xD=-7-3 et yD=8+3, c'est-à-dire xD=-10 et yD=11.
06:51 D a pour coordonnées -10, 11. Nous avons ainsi retrouvé par calcul les coordonnées
07:00 du point D que nous avions lues sur notre graphique.
07:03 Bon courage !
07:05 [Musique]