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ÉducationTranscription
00:00 Nous allons procéder à la correction de l'entraînement supplémentaire sur les fonctions dérivées
00:05 en première STI du D, donc j'ai rajouté un S à fonction dérivée.
00:10 L'exercice 1 va être corrigé en vidéo que je vais vous diffuser,
00:16 ce qui correspond à l'exercice 5 pour les premières générales.
00:18 C'est exactement le même exercice que j'ai donné aux premières SPEMAT.
00:22 Voici la correction de l'exercice 1 en vidéo.
00:27 Je reviendrai pour l'exercice 2 juste après.
00:30 Exercice 5, donc c'est son correction constante 0,
00:37 racine carré 2, on prend f(x)=4, donc f'(x)=, je vais pas réécrire à chaque fois,
00:43 donc f(x)=4, dérivée d'une fonction constante 0.
00:46 Ça c'est un nombre, une constante, dérivée d'une fonction constante 0.
00:50 Racine carré de 2, attention, c'est pas racine carré de 2,
00:53 c'est un nombre, donc racine carré de 2, c'est une constante, dérivée d'une fonction constante 0.
00:58 2*x, fonction affine, son coefficient directeur c'est 2, la dérivée c'est 2.
01:03 3*x, c'est une fonction affine, son coefficient directeur c'est 3, dérivée 3.
01:07 x c'est pareil que 1*x, donc c'est une fonction affine, son coefficient directeur c'est 1, donc la dérivée c'est 1.
01:13 -x c'est -1*x, donc la dérivée c'est 1.
01:17 -7,3*x, coefficient directeur vaut -7,3, donc la dérivée c'est -7,3.
01:22 Un peu plus dur, x/5, la fonction f, c'est pareil que 1/5*x, x divisé par 5, c'est 1/5*x, 1*x, x/5,
01:34 donc 1/5*x, c'est une fonction affine, coefficient directeur 1, donc la dérivée c'est 1/5.
01:41 On poursuit, fonction puissance, x^2, on fait tomber le 2, x^1, donc en haut ça donne 2x,
01:49 x^3, la dérive c'est 3x^2, si je fais tomber le 3 il m'en reste 2, x^4 on fait tomber le 4, en haut il en reste 3,
01:56 x^-5 on fait tomber le -5, et là attention, à chaque fois, si j'ai 2 il m'en reste 1, 3 il m'en reste 2,
02:03 4 il m'en reste 3, donc attention c'est -5, et on enlève un -1, attention quand il y a les puissances négatives,
02:09 ce qui donne -5, x^-6, attention à lui.
02:13 Racine^2 de x c'est du par cœur, c'est 1/2 fois racine^2 de x, 1/x c'est la fonction inverse,
02:20 la dérivée de la fonction inverse c'est a-connect par cœur, c'est -1/x^2, et là on passe à un nombre fois une fonction,
02:27 là j'ai 3 fois x^2, donc la dérivée ça va être 3 fois la dérivée de x^2 de x, ce qui donne 6x,
02:36 pareil là j'ai -10 fois x^4, donc la dérivée ça va être -10 fois la dérivée de x^4, on fait tomber le 4,
02:43 en haut il en reste 3, donc 4x^3, ce qui donne -40x^3, 7/x, un peu plus dur, 7/x, et on constate c'est 7 fois 1/x,
02:55 donc là attention à ne pas se tromper de case, je vais bien l'écrire en dessous pour ne pas qu'on se trompe,
03:00 7/x c'est 7 fois 1/x, donc la dérivée ici, j'ai un nombre fois une fonction, donc la dérivée ça va être 7 fois la dérivée de 1/x,
03:10 -1/x^2, ce qui donne -7/x^2.
03:14 On passe aux fonctions somme, quand on additionne, donc là gf(x)=x+3, la dérivée de x c'est 1,
03:23 la dérivée d'une constante 0, donc on retrouve 1, c'est bien ça, x^4 est la dérivée de 2x, -4x-4x, la dérivée c'est -4,
03:32 et la dérivée d'une constante -5 c'est 0, donc c'est -0, ce qui donne 2x-4.
03:37 Ensuite x^4 est la dérivée de 2x, + la dérivée de x c'est 1, + la dérivée d'une constante c'est 0, donc il reste finalement 2x+1.
03:47 Ici j'ai 5*3x-2, donc j'ai bien un nombre fois une fonction, donc la dérivée ça va être 5*(x^3-2)=0,
04:00 donc 5*3, finalement la dérivée c'était juste 15.
04:03 Et au pire si vous aviez un petit doute en voyant ça, si on effectue la somme de distributivité, ça donnerait 15x-10,
04:11 et la dérivée de 15x-10 c'est 15-0, ce qui donne bien 15.
04:15 Ensuite 4√2x, ça c'est 4*√2x, donc la dérivée ça va être 4*(1/2√2x),
04:27 ce qui donne 4/2√2x, 4 c'est 2*2, donc on simplifie les 2, donc il reste 2/√2x.
04:38 Ensuite le suivant, il n'y a pas besoin de se prendre la tête, √2x/3, ça c'est pareil que 1/3*√2x,
04:46 1/3*√2x c'est √2x/3, donc la dérivée ça va être 1/3*√2x, 1/2√2x, et attention à ne pas se tromper,
04:57 1*1 ça vaut 1, 3*2=6, donc 1/6√2x.
05:03 On poursuit, π, il ne faut pas avoir peur, π c'est quoi ? C'est un nombril, donc la dérivée ça va être π*(x^5)
05:14 on fait tomber le 5 en euros 4, donc 5x^4, et -0.6, -0.6 c'est une constante, donc -0,
05:20 donc finalement la dérivée c'est 5πx^4.
05:24 f(x)=0, 0 c'est une fonction constante, donc sa dérivée c'est 0.
05:29 Et le dernier, alors, si vous me dites c'est de la forme u/v, c'est vrai, on peut dire que c'est ça,
05:35 mais là il y avait plus simple, x-4/2, on décompose la fraction en deux, c'est pareil que x/2-4/2,
05:43 et x/2 c'est pareil que 1/2*x, 1/2*x c'est x/2, -4/2=2, donc finalement la dérivée 1/2*x,
05:53 c'est donc la dérivée, x/2=1/2, et -2 c'est une constante, donc finalement la dérivée c'était juste 1/2.
06:00 Voilà pour l'exercice numéro 5.
06:04 Hoppala, je reprends la main, on va corriger ensemble maintenant l'exercice 2.
06:10 Alors on vous dit, sans se soucier d'une même dérivation, dérivez toutes les fonctions suivantes,
06:15 donc f(x)=cos(x), donc la dérivée f'(x), on sait que la dérivée de cos(x) c'est -sin(x).
06:24 Je rappelle, moyen mémotechnique un peu vulgaire pour s'en souvenir,
06:30 un -3 lettre qui commence par CO, on pense au mot "con",
06:34 donc quand je dérive un cos(x) il y a un -1 qui apparaît, donc ça donne -sin(x).
06:39 Ensuite f(x)=sin(x), la dérivée f'(x), alors sinus ça ressemble à sympa un peu,
06:46 donc la dérivée de sinus c'est la fonction cos(x).
06:50 Ensuite f'(x), donc on constate qu'on a une somme,
06:55 donc la dérivée de cos(x), cos(x) la dérivée c'est -sin(x),
06:59 plus la dérivée de x², on fait tomber le 2 et on reste en haut,
07:04 donc 2x^1 ce qui fait 2x,
07:06 plus la dérivée de x, attention x ce qui multiplie 2x c'est 1*x,
07:11 donc ce qui multiplie 2x c'est +1,
07:14 et la dérivée d'une fonction constante +0,
07:18 donc finalement ça donnerait -sin(x)+2x+1.
07:23 Ensuite ici f'(x), la dérivée de sin(x) c'est cos(x),
07:31 +3x², donc la dérivée ça va être 3 fois,
07:36 et la dérivée de x² c'est 2x,
07:39 -x, attention -x c'est -1*x, donc la dérivée de -x c'est -1,
07:44 la dérivée de x c'est une constante 0,
07:47 donc finalement la dérivée c'était cos(x),
07:51 3*2 attention +6x, -1.
07:57 Fonction suivante, on a 4*cos(x),
08:00 donc la dérivée f'(x) c'est 4 fois une fonction,
08:03 donc la dérivée ça va être 4 fois,
08:06 la dérivée de cos(x) c'est -sin(x),
08:10 donc ici on met une parenthèse,
08:12 parce qu'on n'aime pas un fond, un - qui se touche,
08:14 donc 4*la dérivée de cos(x) c'est -sin(x),
08:17 +5*x, donc la dérivée de 5x c'est 5,
08:20 et la dérivée d'une constante c'est 0,
08:22 donc finalement ça donnait -4,
08:24 -sin(x) c'était donc -4sin(x), +5.
08:28 Et pour la fonction ici f'(x),
08:33 on a -2*sin(x),
08:35 donc la dérivée ça va être -2 fois,
08:37 la dérivée de sin(x) c'est cos(x),
08:40 pareil -x c'est -1*x,
08:43 donc la dérivée va être -1,
08:45 +3,6, 3,6 c'est une constante, c'est 0,
08:48 donc finalement f'(x) c'est donc -2cos(x),
08:52 -1.
08:54 Et voilà pour l'exercice 2.
08:57 Pour l'exercice suivant,
08:59 je vais repasser la main à une vidéo
09:02 qui vous donnera la correction.
09:04 Allez, on poursuit, dérivez les fonctions suivantes.
09:11 Donc attention, vu qu'on veut la dériver,
09:13 il faut bien écrire f'(x) =,
09:15 alors on a -1/2 qui est un nombre,
09:18 donc ça va être, la dérivée,
09:20 donc ça va être -1/2*
09:22 la dérivée de x² c'est 2x,
09:25 -6*x la dérivée c'est donc -6,
09:29 et +1+0,
09:31 ce qui donne donc -1*2,
09:33 donc il reste -2/2,
09:35 qu'est-ce que je raconte ?
09:37 -1*2x,
09:41 donc il reste -2x/2,
09:43 -6,
09:44 et -2/2 ça c'est nul,
09:46 donc il reste -x, -6.
09:48 Et 1/2*2, oui, tout simplement,
09:50 j'aurais pu dire qu'un 1/2*2 ça vaut 1,
09:52 ça.
09:53 1/2*2 ça vaut 1,
09:55 donc on retrouve bien -x, -6.
09:57 Ensuite, g'(x),
09:59 vu qu'on veut la dériver,
10:00 attention, là c'est la fonction g,
10:02 là c'est g' la dérivée,
10:05 donc c'est 2/3*
10:07 la dérivée de x³,
10:09 on fait tomber le 3,
10:11 et en haut il en reste 2,
10:12 donc 3x²,
10:13 -8*x², donc la dérivée,
10:15 -8*la dérivée de x²,
10:17 donc 2x,
10:19 +14y,
10:20 donc la dérivée c'est +14,
10:22 et la dérivée d'une constante, 0.
10:24 Hop, donc si on simplifie,
10:25 g'(x),
10:27 donc 2/3*3,
10:29 2*3,
10:30 donc ça donne 6/3x²,
10:32 -16x+14,
10:35 et ce qui donne,
10:36 6/3,
10:38 ça donne 2,
10:39 donc c'était 2x²-16x+14.
10:44 On poursuit,
10:46 h'(x),
10:51 donc c'est donc égal à
10:54 1/3*la dérivée de x³,
10:57 donc 3x²,
10:59 -5*x,
11:01 donc -5,
11:02 la dérivée 5x,
11:03 et donc -5,
11:04 +0,
11:05 hop,
11:06 1/3*3,
11:08 ça donne 3/3,
11:09 1*3=3,
11:10 3/3=1,
11:11 donc finalement il reste juste x²-5,
11:13 1/3*3, ça vaut 1.
11:15 Et la dérivée,
11:17 g'(x),
11:19 tac,
11:20 donc -4/3, c'est un nombre,
11:22 donc c'est donc -4/3*la dérivée de x²-3x²,
11:27 -5/2*la dérivée de x²,
11:31 c'est 2x,
11:32 +x,
11:34 x c'est 1 fois,
11:35 ils ont que la dérivée de x, c'est 1,
11:36 -0,
11:38 ce qui donne g'(x),
11:41 -4*3=-12,
11:43 -12/3, ça donne donc -4x²,
11:46 -5*2=10,
11:48 10/2, il reste 5x,
11:50 +1.
11:51 Donc voici g',
11:53 voici h',
11:55 voici g',
11:57 et voici f'.
12:02 Allez, exercice 7.
12:09 Soit j'ai la fonction définie sur R
12:11 par g(x)=5x²+1,
12:14 entre deux parenthèses, il y a un x,
12:16 3x-2.
12:18 Première question, calculez g(-1),
12:20 donc on y va,
12:21 donc g(-1), il faut y aller doucement,
12:23 puisqu'il y a un - comme d'habitude,
12:25 donc ça donne parenthèse 5x²,
12:27 c'est donc 5 fois,
12:29 je remplace le x par -1,
12:30 donc c'est tout le -1 qui est au carré,
12:33 +1,
12:35 2 fois,
12:37 3 fois -1,
12:39 -2,
12:41 ce qui donne donc 5 fois -1²,
12:46 ce qui vaut 1+1,
12:48 facteur de 3 fois -1,
12:50 donc -3, -2,
12:52 ce qui donne 5 fois 1,
12:54 5+1=6,
12:56 donc 6, entre deux parenthèses, il y a un x,
12:58 6 fois -5,
13:00 et ce qui donne donc -30.
13:02 Donc g(-1) vaut -30.
13:05 Donc je vais l'écrire ici.
13:07 OK.
13:11 Ensuite, question B,
13:13 on vous dit "Déterminez pour tout réel x une expression de g'(x)",
13:17 donc il faut dériver la fonction g,
13:20 et là, il ne faut pas aller trop vite,
13:22 il faut reconnaître de la forme,
13:23 ce n'est pas si évident que ça.
13:25 Là, ça c'est une fonction que je peux appeler u,
13:29 entre deux parenthèses, il y a un x,
13:31 et ça c'est une fonction que j'appelle v.
13:33 Donc en fait, la fonction g est de la forme une fonction u,
13:37 multipliée par une fonction v.
13:39 Donc attention, lorsqu'on dérive ça,
13:41 ce n'est pas si évident,
13:42 la dérive de u fois v, ce n'est pas u' fois v',
13:44 et là, ce n'est pas aussi simple que ça.
13:46 Donc on va appliquer la propriété du coup.
13:49 Donc la fonction g est de la forme u fois v,
13:52 hop, donc on y va,
13:55 donc g est de la forme u fois v,
14:01 donc c'est bien la fonction g qui est là,
14:03 qui est de la forme u fois v,
14:05 avec u qui vaut la fonction de 5x au carré plus 1,
14:11 et v qui est égale à 3x moins 2.
14:14 Donc u' la dérive est de 5x carré plus 1,
14:19 donc c'est 5 fois la dérive de x carré 2x plus 1, 0,
14:24 et v' 3 fois x, c'est 3, moins 0,
14:28 donc u' 5 fois 2, c'est 10x,
14:33 et v' c'est 3.
14:35 Donc g est de la forme u fois v,
14:37 donc pour tourer à x,
14:40 g'(x), là c'est la dérivée,
14:43 et on applique le cours,
14:44 c'est donc u'(x),
14:46 u' fois v(x) plus u'(x).
14:52 Mon dérive u fois v plus u fois v'.
14:54 Bien sûr quand j'écris u,
14:56 en vrai c'est u(x) égale à 5x carré plus 1,
14:59 et v c'est 2x égale à 3x moins 2.
15:01 Donc là g'(x) c'est u'(x) fois v(x)
15:05 plus u(x) fois v'(x).
15:08 Ok.
15:09 On remplace, donc g'(x), c'est parti,
15:12 u' c'est donc 10x fois toute la fonction v,
15:17 donc fois parenthèse 3x moins 2,
15:21 plus toute la fonction u,
15:23 5x au carré plus 1,
15:25 fois la dérivée de v de 3.
15:29 On démarre par les deux multiplications,
15:32 et comme là il y a un plus,
15:33 il n'y a aucun souci sur les signes,
15:35 donc on y va, donc g'(x) ça donne 10x fois 3,
15:38 10 fois 3, 30,
15:39 x fois x, x au carré,
15:41 moins 10x fois 2, moins 20x,
15:44 là vu que j'ai un plus, aucun souci,
15:46 donc 5x au carré fois 3,
15:48 plus 15x au carré,
15:50 et 1 fois 3, plus 3.
15:52 Donc ça donne g'(x),
15:54 la dérivée pour 3x,
15:55 30x^2 plus 15x^2,
15:57 45x^2,
15:59 moins 20x, plus 3.
16:02 Hop, ça c'est g'(x).
16:05 Touc !
16:06 Et donc, ce qui est pratique avec les fonctions dérivées,
16:09 c'est que là on vous demande en déduire la valeur de g'(-1),
16:12 c'est qu'on ne refait pas le truc avec le taux de variation.
16:15 On a la fonction dérivée,
16:16 donc g'(-1),
16:19 c'est donc 45 fois, attention,
16:22 -1 au carré,
16:25 moins 20x -1,
16:29 plus 3,
16:32 ce qui donne 45 fois -1^2 -1x -1x -1,
16:38 ça je l'ai terminé.
16:40 Ensuite -20x -1x -1x,
16:45 donc ça donne +20,
16:46 -1x -1x +20 +3,
16:48 et donc 45 + 20 = 65,
16:51 65 + 3 = 68,
16:53 donc g'(-1) vaut 68.
16:56 Et enfin, en bout de bande,
16:57 détermine l'équation réduite de la tangente SF
16:59 au point d'abcisse -1,
17:00 donc ça c'est du coup,
17:01 on remplace la valeur de a par -1,
17:03 donc l'équation de la tangente,
17:05 donc j'ai un peu effacé,
17:07 j'ai plus trop de place.
17:09 Vous pouvez accélérer la vidéo
17:12 en le temps que j'efface, bien évidemment.
17:14 Donc au cas où ça va aller vite,
17:16 allez dans 5, 4, 3, 2, 1,
17:18 allez c'est bon, question D.
17:20 Donc l'équation de la tangente au point de -1,
17:22 c'est g'(-1) * x -
17:26 attention c'est ici qu'il peut y avoir une erreur,
17:28 -1 + g(-1),
17:31 donc yg'(-1) vaut 68,
17:35 on a trouvé 68 * x + 1,
17:38 -1 c'est +1,
17:40 + g(-1) qui vaut -30.
17:46 Ok, + ou -30,
17:49 donc on trouve que y c'est donc 68 * x + 68 - 30,
17:56 et donc l'équation de la tangente acg au point de -1
17:59 est y = 68 * x + 38,
18:02 et voilà, on a terminé cet exercice.
18:06 Poursuivons, exercice 8,
18:10 soit f la fonction définie par f(x) = x + 3 / 2x - 4,
18:13 quel est le domaine de dérivation de f ?
18:16 On rappelle que diviser par 0 n'existe pas,
18:22 donc il faut que,
18:30 qu'est-ce qu'il faut ?
18:31 Il faut que 2x - 4 ne soit pas égal à 0,
18:38 donc il faut que 2x + 4 à gauche + 4 à droite
18:42 ne soit pas égal à 4,
18:44 donc on divise par 2 à gauche à droite,
18:47 x n'a pas le droit d'être égal à 2.
18:49 Donc finalement, le domaine de dérivation,
18:51 donc le domaine de dérivabilité,
18:54 est comme x est différent de 2,
19:03 donc soit vous utilisez tous les nombres réels privés de 2,
19:06 si certains ont vu cette notation,
19:08 ou une deuxième façon est,
19:10 c'est pareil que dire que ça est égal à tous les nombres privés de 2,
19:13 donc de - l'infini jusqu'à 2,
19:15 et là c'est important,
19:16 exclue que x est différent de 2,
19:19 union 2 exclue jusqu'à + l'infini,
19:23 et l'infini toujours vert, on ne peut pas l'arrêter.
19:26 Voilà, donc le domaine de dérivalité,
19:28 c'est pour tous les x différents de 2,
19:30 donc ça va de - l'infini à 2,
19:31 union 2 + l'infini avec 2, non compris.
19:34 Et donc on vous demande question B,
19:37 pour trouver l'x du domaine de dérivation,
19:39 donc pour tous les x différents de 2,
19:40 déterminez l'expression de f'(x),
19:42 donc on reconnaît pour dériver f,
19:44 la fonction f elle est là,
19:45 f c'est de la forme une fonction u,
19:48 divisée par une fonction v,
19:50 donc on écrit que f est là, c'est pareil,
19:52 c'est bien la fonction f, c'est f qui est là,
19:55 donc f est de la forme,
19:58 une fonction u divisée par une fonction v,
20:03 avec u(x) qui est égal à x + 3,
20:07 et v(x) = 2x - 4.
20:11 u', donc,
20:13 la dérive de u,
20:15 la dérive de x c'est 1 + 3 c'est 0,
20:17 donc 1 + 0, la dérive de x c'est 1,
20:19 et v', la dérive de 2x c'est 2,
20:21 moins la dérive d'une constante 4, c'est 0,
20:23 donc v' c'est 4, ainsi,
20:25 et là attention, f'(x),
20:28 donc ça démarre presque comme le produit,
20:30 c'est la dérivée de u fois la dérivée de v,
20:33 et comme c'est un quotient,
20:34 attention ici là c'est -,
20:36 la fonction u fois la dérivée de v,
20:40 et il ne faut pas oublier sur le dénominateur au carré,
20:43 donc attention ce sera tout le dénominateur qui est au carré,
20:46 il ne faudra pas oublier les parenthèses.
20:48 Donc on démarre,
20:51 u' c'est 1,
20:53 donc ça donne 1 fois v(2x - 4),
20:58 attention,
21:00 - u(x + 3) * v' * 2,
21:07 divisé par le v au carré,
21:09 donc v c'est 2x - 4,
21:11 donc c'est 2x - 4,
21:12 attention, le tout est au carré.
21:15 Et là on va y aller doucement,
21:18 f'(x),
21:19 donc quand il y a un moins,
21:20 il faut faire attention,
21:21 on démarre bien évidemment par les deux multiplications,
21:23 les deux produits,
21:25 mais là il faudra faire attention,
21:26 vu qu'il y a un moins,
21:27 il faudra laisser de grandes parenthèses à droite.
21:30 Donc au début aucun souci,
21:31 1 * 2x,
21:32 2x,
21:33 1 * - 4,
21:34 - 4,
21:35 attention au moins,
21:37 grande parenthèse,
21:39 et dans la grande parenthèse on effectue le produit
21:42 x * 2,
21:43 2x,
21:44 x * 3,
21:45 + 6,
21:46 sur 2x - 4,
21:49 le tout au carré,
21:51 ce qui donne donc 2x - 4,
21:53 et là j'ai un moins devant une simple parenthèse,
21:56 donc lorsque je soustrais tout ce qu'il y a dedans,
21:58 le 2x lorsqu'on le soustrait devient - 2x,
22:00 et le + 6 lorsqu'on le soustrait ça donne - 6,
22:04 divisé par 2x - 4,
22:07 le tout au carré,
22:09 et donc on trouve que f'(x),
22:11 la dérivée est égale 2x - 2x, 0,
22:14 donc il reste - 4 - 6,
22:16 donc il reste - 10,
22:18 sur 2x + 4,
22:20 le tout au carré,
22:22 et bien sûr avec x différent de 2.
22:24 Et voilà la dérivée de cette fonction.
22:27 Et on passe à l'exercice 9,
22:31 donc je marque ça avant,
22:33 ça c'était pas le vôtre,
22:34 je vais reprendre la main,
22:36 pour le dernier exercice,
22:38 vous avez l'exercice numéro 6.
22:41 Donc on dit soit h,
22:43 la fonction définie sur R,
22:44 c'est à dire mon infini + infini,
22:45 par h(x) = cos(x) + 3,
22:48 je rappelle qu'entre deux parenthèses
22:50 il y a toujours une multiplication,
22:51 multipliée par x² + sin(x).
22:54 Déterminer pour tout vel x,
22:55 une expression de h'(x),
22:57 c'est à dire on doit dériver la fonction h.
22:59 Donc on reconnaît que h est de la forme
23:02 une fonction u,
23:03 multipliée,
23:05 vu qu'il y a un fondre de parenthèses,
23:06 par une fonction v.
23:07 Donc on peut écrire que la fonction h
23:09 est de la forme u*v,
23:15 avec, alors u(x)
23:19 c'est donc la fonction cos(x) + 3,
23:24 et v(x) = x² + sin(x).
23:30 Donc u'(x),
23:36 alors u'(x) cos(x),
23:38 donc on dérive la dérive cos(x),
23:40 c'est donc -sin(x) + 3,
23:44 la dérive d'une constante 0,
23:45 donc u' = -sin(x),
23:47 et v'(x) = x² + sin(x),
23:54 la dérive de sin(x) c'est cos(x).
23:56 Donc d'après le cours,
24:00 ça signifie que h',
24:01 la fonction h'(x),
24:05 on sait d'après le cours
24:06 que c'est u'(x) * v(x),
24:09 u'*v + u*v'(x),
24:14 ce qui donne donc h'(x) = u'*v + u*v'(x),
24:18 donc on remplace u',
24:20 c'est donc -sin(x) *,
24:24 attention, parenthèse la fonction v,
24:26 donc pas de v, entre parenthèses,
24:29 et on écrit que c'est x² + sin(x),
24:34 donc u'*v + u,
24:38 donc parenthèse c'est tout le u,
24:40 cos(x) + 3, tout le u,
24:43 multiplié par v',
24:46 donc attention, parenthèse,
24:47 c'est 2x + cos(x),
24:51 il faut bien mettre les parenthèses,
24:52 c'est u'*v + tout le u,
24:55 multiplié par tout le v'.
24:58 Donc ce qui donne ici,
24:59 vu qu'on a un foie,
25:00 on va effectuer la simple distributivité,
25:03 donc -sin(x) * x²,
25:05 donc ça donne -sin(x) * x²,
25:10 ensuite on a -sin(x) * sin(x),
25:14 donc -foie négative fois positive négative,
25:17 et sin(x) * sin(x),
25:18 donc ça donne -sin(x),
25:20 donc tout ça au carré,
25:24 +, et là on regarde,
25:27 on a une double distributivité,
25:29 donc ça donne cos(x) * 2x,
25:31 donc cos(x) * 2x,
25:34 ensuite on a cos(x) * cos(x),
25:37 donc +cos(x),
25:40 le tout au carré,
25:42 ensuite on passe au +3,
25:44 donc 3 * 2x + 6x,
25:46 et enfin 3 * 3cos(x),
25:49 donc +3 * cos(x) * cos(x),
25:52 on va un peu simplifier l'écriture,
25:54 mais on a effectué l'essentiel,
25:56 ici on a déjà tout,
25:58 donc ça donne le premier -sin(x) * x²,
26:02 donc ça, ça s'écrit -x² * sin(x),
26:05 le x ne change pas d'endroit,
26:07 -sin(x) * x²,
26:12 + cos(x) * 2x,
26:14 c'est pareil que 2x * cos(x),
26:17 je simplifie juste l'écriture,
26:18 mais si au contrôle vous écrivez ça,
26:20 vous avez tous les points,
26:22 +cos(x) * x² + 6x + 3cos(x),
26:31 et c'est bon, on s'arrête là, parfait.
26:35 Ensuite, soit M,
26:38 la fonction définie par M(x) = 5sin(x),
26:41 donc je rappelle que 5sin(x)
26:43 c'est 5 * sin(x),
26:45 divisé par x + 4,
26:47 quel est le domaine des dérivations de M ?
26:49 Justifier, donc on sait que lorsqu'on a un quotient,
26:52 divisé par 0 n'existe pas,
26:54 donc il faut que le dénominateur
26:56 soit différent de 0,
26:58 il faut que le dénominateur,
27:01 donc le dénominateur c'est x + 4,
27:03 ne soit pas égal à 0,
27:06 donc pour que le dénominateur
27:08 ne soit pas égal à 0,
27:10 on effectue -4 à gauche, -4 à droite,
27:12 donc il faut que x soit différent de -4,
27:15 donc finalement le domaine des dérivations,
27:18 la réponse c'était l'intervalle,
27:20 donc c'est dire que x appartient à l'intervalle,
27:24 donc x est différent de -4,
27:26 - l'infini jusqu'à -4 exclut,
27:29 union -4 exclut jusqu'à + l'infini,
27:32 donc c'est dire que la fonction est définie
27:34 et dérivable pour tous les x différents de -4,
27:36 donc elle est définie et dérivable
27:38 sans - l'infini, -4 exclut,
27:40 union -4 exclut + l'infini,
27:42 et ensuite on vous dit pour tout le réel x
27:44 du domaine de régulation,
27:46 c'est dire pour tous les x différents de -4,
27:48 détermine une expression de M'(x),
27:50 donc on reconnaît que la fonction M
27:52 est de la forme,
27:54 donc la fonction U divisé par une fonction V,
27:57 donc la fonction M est de la forme U/V,
27:59 donc on écrit M est de la forme U/V,
28:06 avec U(x) qui est égal à 5 fois sin(x),
28:12 donc 5 fois sin(x),
28:14 et V(x) qui est égal à x+4,
28:19 donc U'(x) c'est 5 fois sin(x),
28:26 donc la dérivée ça va être 5 fois,
28:29 et la dérivée de sin(x) c'est cos(x),
28:31 donc U' c'est 5 cos(x),
28:40 et V'(x),
28:42 donc la dérivée de x, x c'est 1 fois x,
28:44 donc la dérivée de x c'est 1 + 1+2+2+4 c'est 0,
28:47 donc V'(x) c'est 1,
28:50 et donc d'après le cours,
28:53 on a vu que M'(x),
28:55 on réécrit la propriété,
28:57 attention c'est que c'est U'*V,
28:59 mais là comme c'est inconscient,
29:01 c'est - U*V',
29:04 et il ne faut pas oublier sur le dénominateur au carré,
29:09 on remplace tranquillement sans se pressionner,
29:12 U'(x) c'est donc 5 fois cos(x),
29:16 x*V(x+4),
29:20 donc on met bien des parenthèses,
29:22 x+4,
29:24 moins la fonction U,
29:27 5 sin(x),
29:31 et ici x*V',
29:33 donc ici x*V' c'est x1,
29:35 sur le dénominateur au carré,
29:38 donc attention c'est x-4,
29:40 tout le dénominateur qui est au carré,
29:42 on ne touche jamais au dénominateur ici,
29:44 on verra pourquoi lors du chapitre suivant,
29:47 là on effectue la simple distributivité,
29:49 on a 5 cos(x)*x,
29:51 donc ça donne 5 cos(x)*x,
29:54 donc ça donne 5x cos(x),
29:57 et ensuite on a 5 cos(x)*4,
29:59 donc + 5*4=20,
30:01 donc 20 cos(x),
30:04 et on doit soustraire 5 sin(x)*1,
30:07 donc 5 sin(x)*1,
30:09 donc -5 sin(x),
30:13 divisé par x-4,
30:16 le tout au carré,
30:17 et on s'arrête ici,
30:18 nous avons dérivé la fonction M,
30:21 et voilà pour la correction de cette interrogation,
30:24 pas cette interrogation,
30:25 mais de ce sujet d'entraînement,
30:27 qui ressemblera fortement à l'interrogation.
30:30 *toc toc*