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00:00On corrige l'épreuve maths de MinPont 2025, filière MP et MPI.
00:04Question 1 à 5, je te laisse lire l'énoncé et on attaque avec la question 1.
00:08Montrer que P0, le polynôme réciproque de P, vérifie que pour tout x d'un rétoile,
00:12P0 de x est égal à x puissance n, P de 1 sur x,
00:16et en déduire que P0 est égal à n, produit pour J variant de 1 à n, de 1 moins alpha j, x.
00:22Soit x dans R étoile, on a que P0 de x, d'après la définition donnée dans l'énoncé,
00:25c'est la somme pour k variant de 0 à n de A indice n moins k avec puissance k.
00:29Et donc je fais un changement de variant en me posant n moins k égale k'.
00:32Et donc k ici va se transformer en n moins k',
00:35et les bandes vont s'inverser, mais on peut les remettre dans le bon sens.
00:38Et je change les k' par k et j'obtiens bien ceci.
00:41Donc la somme pour k variant de 0 à n de A à k, x puissance n moins k.
00:45Je factorise par x puissance n ici, et je remarque que j'ai un x puissance moins k,
00:49ce qui me fait un 1 sur x puissance k,
00:51et ça c'est bien le polynôme P0 appliqué en 1 sur x.
00:55Et donc j'ai bien x puissance n, voire P de 1 sur x.
00:58Check pour cette première question.
00:59Et donc on va décomposer en produit P0 de x.
01:02On utilise l'égalité qu'on vient donc de montrer qui est vraie pour toute x dans R étoile.
01:06Et on sait que P est à racine réelle sin d.
01:08Donc je vais utiliser la décomposition de P pour changer cette expression.
01:12Et donc j'utilise la décomposition de P avec les alpha j.
01:14D'après l'énoncé, les racines sont les alpha j pour j variant de 1 à n.
01:18Et j'ai remplacé le x par 1 sur x.
01:19Donc j'ai bien ceci.
01:21Ici j'ai le coefficient dominant et j'ai le x puissance n là.
01:23Et donc je fais rentrer les x vu que j'ai n facteurs.
01:27Donc je mets un x à chacun des facteurs et je fais rentrer le x dans la parenthèse
01:31qui me fait bien un 1 ici, moins, du coup x fois alpha j.
01:35Donc on réécrit ça en version polynôme et on a bien ce qui nous demande de trouver pour tous les x dans R étoile.
01:39Et de plus on a que P0 de 0 est égal à a n,
01:42ce qui correspond bien à cette formule là quand on remplace x par 0
01:45parce qu'on a un produit que de 1 fois a n.
01:47Donc la formule est bien valide pour tout x réel.
01:50Check !
01:51Question 2 montrait que le PGCD de P et P0 est égal à 1
01:54si et seulement si P ne possède pas de racine stable.
01:56Donc on précise que P et P0 ne sont pas tous les deux le polynôme nul
01:59puisque P est de degré n qui est supérieur ou égal à 1.
02:02Et on va raisonner par équivalence à partir du PGCD de P et P0 différent de 1.
02:06Et ça, ça équivaut à dire qu'il existe j tel que alpha j, une racine de P est aussi racine de P0.
02:11Oui, parce que si leur PGCD est différent de 1,
02:13ça veut dire qu'ils ont au moins une racine en commun étant donné que P est scindé.
02:19Et ça, ça équivaut à dire qu'il existe j tel que alpha j et 1 sur alpha j sont racine de P0.
02:23Oui, parce que s'il existe un j tel que alpha j est racine de P0,
02:27vu que alpha j est racine de P,
02:29d'après la décomposition qu'on a ici, on a que 1 sur alpha j est aussi racine de P0.
02:34Il apparaît dans un de ces produits et si on résout l'équation,
02:37on voit que les racines sont les 1 sur alpha j.
02:40Donc pour ce j particulier là, on a ces deux choses qui sont racines de P0.
02:43Et donc en particulier, alpha j est différent de 0.
02:45Mais ça, ça équivaut à dire qu'il existe j tel que alpha j et 1 sur alpha j sont racine de P.
02:50Oui, parce que dans cette écriture, si alpha j est racine de P0,
02:53ça veut dire que 1 sur alpha j est racine de P,
02:55étant donné que ce terme là n'est pas nul.
02:58Et ça, c'est équivalent d'après l'énoncé à dire que P possède une racine stable.
03:02C'est dit ici.
03:03Il faut qu'on soit différent de 0 et qu'on annule,
03:05et l'inverse aussi annule le polynôme.
03:07Donc j'ai que le PGCD de ces deux polynômes est différent de 1
03:10si et seulement si P possède une racine stable.
03:12Donc on est d'accord que le PGCD de P et P0 est égal à 1
03:16si et seulement si P ne possède aucune racine stable.
03:19Check.
03:20Question 3.
03:21Justifier qu'il existe lambda dans moins 1 tel que P est égal lambda P0.
03:25Donc comme dit dans l'intro,
03:27on a supposé que toutes les racines de P sont stables et de multiplicité 1.
03:30On a que P est stable.
03:32Donc toutes les racines de P0 sont racines de P.
03:35Puisqu'encore une fois, d'après la décomposition de la question 1,
03:37on a que les racines de P0,
03:39ce sont très exactement les inverses des racines de P.
03:42On a donc que P0 divise P,
03:44or P est de degré N et P0 aussi.
03:47Cela signifie qu'ils sont associés.
03:49Autrement dit, P est égal lambda P0 pour un certain lambda dans R,
03:53et même dans R étoile, puisqu'il est différent de 0 nécessairement.
03:55Et en appliquant cette égalité en 0,
03:57j'obtiens que A0 est égal à lambda AN,
03:59puisque le coefficient constant de P c'est A0,
04:01et le coefficient constant de P0 c'est AN,
04:03d'après la définition du polynôme réciproque.
04:06Sauf que P0 est égal à 1 sur lambda P,
04:08lambda est non nul,
04:09et le coefficient dominant de P c'est AN,
04:11et le coefficient dominant de P0 c'est A0.
04:14Et donc j'obtiens cette autre relation,
04:16autrement dit,
04:17ceci est comme AN est différent de 0,
04:19ceci équivaut à lambda carré est égal à 1,
04:21autrement dit lambda est égal à moins 1 ou 1.
04:23Check pour ça.
04:24Question 4, on a introduit diverses polynômes,
04:26et on demande montrer que H est égal à N fois P,
04:29moins lambda fois P'0,
04:31puis que H0 est égal à lambda,
04:33parenthèse Np, moins Xp'.
04:35Et bien on commence par exprimer H de X,
04:37donc c'est égal à X fois P',
04:39et sous forme de somme ça nous donne ceci,
04:41par définition du polynôme dérivé.
04:43Et ensuite j'exprime Np moins lambda P'0.
04:46Np c'est ceci,
04:47donc ici j'ai mis P et donc là j'ai N,
04:49moins lambda P',
04:50donc j'ai P' et j'ai 0.
04:52Et donc je vais appliquer la réciprocité à P'
04:55après avoir fait le changement de variable
04:56pour partir de 0 et avoir un X puissance K ici.
04:59Et donc j'applique la réciprocité,
05:01donc c'est le degré N moins 1 moins K
05:04qui remplace le K.
05:06Et donc je me retrouve bien avec ces indices-là,
05:08et les bandes sont les mêmes de 0 à N moins 1.
05:10Ce qui après simplification me fait N moins K ici
05:12et A N moins K,
05:14et le début est toujours pareil.
05:15Et ensuite je fais rentrer le lambda,
05:17et lambda multiplié par A N moins K.
05:19D'après cette relation,
05:21ça fait tout simplement AK,
05:22puisque le coefficient A N moins K,
05:24c'est celui qui est devant X puissance K,
05:25et donc lambda A N moins K,
05:27c'est le coefficient qui est ici
05:28et devant X puissance K, AK.
05:30De plus, dans cette différence,
05:31je me rends compte que j'ai la somme
05:33de N à K X puissance K,
05:35ce qui est ceci,
05:35sauf qu'ici elle va de 0 à N moins 1 et de 0 à N,
05:37donc de 0 à N moins 1 ici,
05:39ça se simplifie avec ça.
05:40Et donc il me reste le terme en N.
05:42Et ici j'ai le moins qui rentre,
05:44j'ai un plus K à K X puissance K,
05:46qui apparaît ici,
05:48et la somme part de 1,
05:49puisque quand K vaut 0,
05:51K à K,
05:52c'est tout simplement 0,
05:53et ça c'est la même expression qu'ici,
05:55donc je peux le rentrer dans la somme,
05:56et j'ai ça.
05:57Ce qui est bien H de X, check !
05:59Deuxième partie de la question,
06:00on va maintenant montrer cette égalité-là.
06:02Alors d'une part je vais écrire H0,
06:04donc c'est H de X 0,
06:05et H de X ça vaut ceci,
06:07ça partait de 1 tout à l'heure,
06:08mais là je le fais partir de 0,
06:09parce que quand K est égal à 0,
06:10ceci vaut 0.
06:11Et donc en appliquant la formule,
06:13les coefficients qui sont devant le X puissance K
06:15prennent des indices N moins K
06:16d'après la définition,
06:18pour rappel celle-ci.
06:19Et donc j'obtiens bien que H0 vaut ceci.
06:21D'autre part je calcule la quantité
06:23lambda Np moins lambda Xp prime,
06:25et ça vaut Np0,
06:26puisque pour rappel lambda P c'est égal à P0,
06:30puisque P vaut lambda P0,
06:31et lambda c'est 1 ou moins 1,
06:33donc si je multiplie cette égalité par lambda,
06:34j'ai que lambda P vaut lambda carré P0,
06:36et lambda carré vaut 1.
06:38Donc j'ai ici Np0 qui se traduit par cette somme,
06:40donc P0 j'ai inversé ici dans le AK,
06:43et j'ai fait rentrer le N dans la somme.
06:44Et d'autre part j'ai moins lambda Xp prime,
06:46donc moins lambda H,
06:48je le réécris comme ça en partant de 0,
06:50sauf que pour rappel lambda AK c'est AN moins K,
06:54toujours d'après cette égalité entre P et son polynôme réciproque.
06:57Et donc en rassemblant tout dans la même somme,
06:59j'ai bien ceci,
07:00qui est égal donc à ceci,
07:01et donc j'ai bien l'égalité entre les deux membres.
07:04Check.
07:05Question 5.
07:06Vérifier que P' est scindé sur R,
07:07puis montrer que PGCD2H et H0 égale 1,
07:10et en déduire que P' n'avait pas de racine stable.
07:13Et bien tout d'abord notons que P est scindé à racine simple.
07:15Cela signifie que les N racines sont toutes distinctes.
07:18De cette façon.
07:20Et on va donc appliquer le théorème de Rohl,
07:21ou le théorème des accroissements finis,
07:23sur chaque intervalle lambda J, lambda J plus 1.
07:26C'est un polynôme, c'est dérivable, continue.
07:28En particulier c'est dérivable sur l'ouvert.
07:30Et donc d'après Rohl,
07:32j'ai que la dérivée de P s'annule sur l'ouvert lambda 1, lambda 2,
07:36sur l'ouvert lambda 2, lambda 3, etc.
07:38Lambda N moins 1, lambda N.
07:40Ce qui me fait bien N moins 1 valeur distincte,
07:42puisqu'elles sont dans des intervalles disjoints.
07:44Et en particulier on en a bien N moins 1,
07:46ce qui signifie que P' est scindé sur R.
07:50Check !
07:51Deuxième partie de la question,
07:52montrer que H et H0 ont un PGCD qui est égal à 1.
07:55On vient de montrer que P' est scindé,
07:57vu que H est égal à X fois P' par définition.
08:00H aussi est scindé.
08:02Et donc le seul moyen pour que le PGCD de H et H0 soient différents de 1,
08:05c'est qu'ils aient une racine en commun.
08:07puisque n'importe quel polynôme qui va diviser H et qui est de degré au moins 1
08:11sera lui aussi scindé, puisque H est scindé.
08:14Ce qui nous fera bien une racine en commun entre H et H0.
08:16Donc on suppose que leur PGCD est différent de 1,
08:19et donc cela signifie qu'ils ont une racine en commun.
08:21On va montrer tout d'abord que cette racine ne peut pas être 0,
08:24puisque 0 est racine de H.
08:26Si cette racine était 0, comme on note qu'ici on a H, X fois P',
08:30et bien en évaluant 0, j'aurais que ceci fait 0,
08:33et donc ça serait la racine commune avec H0 qui ferait 0,
08:36et donc j'aurais que P aussi s'annule en 0.
08:39Sauf qu'on a supposé que toutes les racines de P sont stables.
08:43Et une racine stable, ça signifie en particulier qu'on est différent de 0.
08:46Donc cette racine n'est pas 0,
08:48et donc cette racine de H est en particulier une racine de P',
08:51puisque P' est scindé, donc ici on a un facteur qui vaut 0,
08:55et donc ce n'est pas X, puisque ce n'est pas 0,
08:58donc c'est une racine de P'.
08:59Mais vu que c'est aussi une racine de H0,
09:01ça veut dire qu'ici on a 0 en évaluant cette racine,
09:04ici on a 0 en évaluant cette racine,
09:07et donc c'est une racine aussi de P.
09:09Sauf qu'on a supposé que les racines de P, en plus d'être stables,
09:12sont de multiplicité 1.
09:14Cela signifie que les racines de P ne peuvent pas annuler P',
09:17sinon ça voudrait dire qu'on serait de multiplicité au moins 2.
09:20Donc on a bien que le PGCD de H et H0 est égal à 1, check !
09:23Et fin de la question, on déduire que P' n'admet pas de racine stable.
09:27D'après la question 2, pour rappel, on a que H et H0 ont un PGCD qui vaut 1,
09:30si et seulement si H n'en possède pas de racine stable.
09:33Mais comme H est égal à X fois P',
09:35ces racines stables potentielles sont nécessairement celles de P',
09:38mais comme on vient de dire que H n'en possède pas,
09:41nécessairement P' n'en possède pas,
09:42parce que si P' en possédait, H en posséderait.
09:45On a donc bien montré que P' n'admet pas de racine stable.
09:48Ce qui conclut la première partie, check !
09:51N'hésite pas à poser tes questions en commentaire si jamais quelque chose n'est pas clair.
09:54Et on se dit à la prochaine pour la suite de la correction.
09:56Bisous !