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00:00Et on attaque la démo d'une formule ultra badass, l'équivalent de la factorielle, la formule dite de Stirling.
00:06Et je te laisse lire l'énoncé de l'exercice.
00:09Et j'attaque avec la question 1.
00:11On a défini un comme étant n puissance n fois exponentielle moins n racine de n sur n factorial pour tout n dans n étoile.
00:17Et question 1. On introduit les suites Vn et Wn définies par Vn est égal.
00:21Ln de Un et Wn est égal Vn plus 1 moins Vn.
00:25Montrez que les suites sont bien définies.
00:26Le seul problème c'est Un avec ln de Un et on voit que Un est strictement positif pour tout n dans n étoile.
00:33Et donc Vn et Wn sont bien définis.
00:35Check.
00:35Question 2. Montrez que pour tout n dans n étoile, Wn est égal n plus 1 demi facteur de ln de 1 plus 1 sur n moins 1.
00:42Soit donc n un entier naturel.
00:43On n'a que Wn par définition c'est Vn plus 1 moins Vn.
00:47Et ça c'est ln de Un plus 1 moins ln de Un.
00:50Ce qui vaut cette différence quand on remplace les expressions.
00:53Et donc maintenant je vais utiliser les propriétés des logarithmes.
00:55Quand j'ai le logarithme d'un produit quotient, tout ce qui est en produit ça devient des sommes des ln de chacun des trucs.
01:01Moins le ln qui est au dénominateur.
01:03Pareil ici en mettant le moins devant la parenthèse.
01:06Donc j'ai n plus 1 ln de n plus 1 qui correspond à ce facteur là.
01:09Moins n plus 1 ln de E qui correspond à E puissance moins parenthèse n plus 1.
01:13Plus 1 demi de ln de n plus 1 qui correspond à la racine de n plus 1.
01:17Puisque racine de n plus 1 c'est n plus 1 puissance 1 demi.
01:20Donc ln de racine de n plus 1 c'est 1 demi ln de n plus 1 moins ln de n plus 1 factoriel qui est ici.
01:27Et je fais la même chose ici avec cette expression.
01:29Je te laisse comparer pour voir qu'on a bien tous les termes.
01:32Ici je regarde tous les ln de n plus 1 que j'ai.
01:34Donc ici j'en ai n plus 1.
01:36Ici j'en ai 1 demi.
01:38Et ici comme j'ai du ln de n plus 1 factoriel.
01:42Je le sépare en ln de n plus 1 plus ln de n factoriel.
01:47Que j'anticipe la simplification qu'il y aura avec ça.
01:49Et donc j'ai un moins ln de n plus 1.
01:51Donc j'ai 1 demi moins ln de n plus 1 ce qui me fait moins 1 demi.
01:55Plus n plus 1 ce qui me fait bien n plus 1 demi ln plus 1.
01:59J'ai moins n plus 1 parce que ln de E ça fait 1.
02:02Moins le ln de n factoriel qui est resté ici.
02:04Et je distribue le signe moins pour le reste de cette expression là.
02:07Et je me retrouve bien avec moins ln de n plus n.
02:10Donc ln de vaut 1 toujours.
02:12Moins 1 demi ln de n plus ln de n factoriel en ayant changé les signe.
02:17Je remarque que j'ai moins n ln de n moins 1 demi ln de n.
02:20Donc si je factorise ça par n plus 1 demi.
02:24J'ai n plus 1 demi facteur de moins ln de n.
02:26Et donc je peux tout rassembler ça ici.
02:28n plus 1 demi facteur de ln de n plus 1.
02:31Moins ln de n ce qui se rassemble en ln de n plus 1 sur n.
02:33Les ln de n factoriel se simplifient.
02:36Les n aussi.
02:37Il me reste juste un moins 1 ici qui apparaît là.
02:39Et finalement en faisant n plus 1 sur n en séparant les fractions.
02:42J'ai bien n plus 1 demi ln de 1 plus 1 sur n.
02:45Moins 1.
02:46Check.
02:46Question 3.
02:47Montrer que pour tout x dans 0 plus l'infini 0 inclut.
02:50ln de 1 plus x est inférieur ou égal à x moins x carré sur 2 plus x cube sur 3.
02:54Ici plusieurs méthodes.
02:55On peut y arriver déjà avec la convexité, concavité et donc les tangentes.
02:59Je te laisse essayer de mettre la preuve en commentaire.
03:01Donc il faudra modifier un petit peu l'inégalité pour y arriver.
03:03Et nous on va faire la méthode classique pour montrer des inégalités de ce type.
03:07On va faire l'étude de fonctions.
03:09On définit donc h la fonction partant de 0 plus l'infini dans r qui a x associé ln de 1 plus x moins x plus x carré sur 2 moins x cube sur 3.
03:17J'ai fait passer tout ce qui était à droite du côté gauche de l'inégalité.
03:19Et j'ai d'après le cours que h est dérivable sur 0 plus l'infini en tant qu'addition composition de fonctions qui sont définies sur 0 plus l'infini et dérivable.
03:28Soit donc x dans r+, on a que h prime de x est égal à 1 sur 1 plus x moins 1 plus x moins x carré.
03:35Pour rappel la dérivée de ln de u c'est u prime sur u.
03:37Et u prime ici quand u vaut 1 plus x c'est 1.
03:40Donc j'ai bien 1 sur 1 plus x.
03:42Et donc j'ai la dérivée de ce polynôme là qui vaut ceci.
03:44Je mets tout au même dénominateur donc je multiplie tout ça par 1 plus x.
03:48Je distribue et je simplifie et j'obtiens bien ceci.
03:51On en déduit facilement le signe de h prime.
03:54Le dénominateur est strictement positif puisqu'on est sur 0 plus l'infini.
03:58Et le numérateur est strictement négatif quand on est différent de 0 et s'annule simplement 0.
04:02J'ai donc ce tableau de variation pour h et h est donc strictement décroissant.
04:06Avec ces valeurs aux extrémités de l'intervalle donc sa limite en plus l'infini c'est moins l'infini.
04:11Je te laisse le démontrer en commentaire.
04:13Mais surtout on a que la valeur en 0 de h est maximum de h sur 0 plus l'infini.
04:18Ce qui nous dit que pour tout x dans R+, h de x est inférieur ou égal à h de 0 par définition d'un maximum qui vaut 0.
04:25Et donc je remplace h de x par son expression qui me donne ceci inférieur à 0.
04:28Je passe tout ça du côté droit et j'obtiens bien l'inégalité voulue.
04:32Check !
04:33Question 4.
04:34Rendez dur que pour tout n dans 1 étoile, wn est inférieur ou égal à 1 sur 4n carré.
04:38Soit n dans 1 étoile.
04:39Alors ici ce n'est pas la rédaction propre, je vais d'abord écrire l'inégalité que je vais démontrer et la transformer le plus possible en inégalité que je sais être vraie.
04:46Et au propre je réécrirai tout dans le bon sens pour finalement aboutir à cette conclusion là.
04:50J'ai donc ln de 1 plus 1 sur n est inférieur ou égal à, après avoir fait passer le 1 de l'autre côté de l'inégalité et divisé par n plus 1 demi,
04:59à ceci et je mets tout au même dénominateur et j'obtiens cette expression.
05:02Donc si je montre que ln de 1 plus 1 sur n est inférieur à ceci, j'ai gagné.
05:06Or d'après la question précédente on a cette inégalité, je peux donc l'appliquer en x est égal à 1 sur n,
05:11puisque n est dans 1 étoile et donc 1 sur n est bien positif.
05:14Et j'obtiens donc ceci, et après avoir tout mis sur la même fraction j'obtiens ceci.
05:19Et donc si je montre que le membre de gauche est inférieur à ceci, j'aurai ln de 1 plus n inférieur à ceci,
05:24qui lui-même est inférieur à ceci, et donc j'aurai bien ln de 1 plus 1 sur n inférieur à ceci.
05:29Je remodifierai et ça donnera ce que je veux.
05:31Mais cette inégalité-là équivaut à celle-ci, je multiplie par n carré de chaque côté,
05:36qui est strictement positif et donc l'inégalité ne change pas.
05:39Et donc je me retrouve avec un 6n ici par simplification.
05:42Et après je multiplie par 2n plus 1 et 6n, l'inégalité qui toujours ne change pas,
05:46et me donne ceci, et après développement j'obtiens ceci.
05:49Et on a cette simplification ainsi que celle-ci.
05:52Et en passant à droite les termes restants, j'obtiens que l'inégalité équivalente est que
05:5611n moins 2 est supérieur ou égal à 0 quand n est dans n étoile.
05:59Ce qui est bien évidemment vrai, ici on a une expression affine en fonction de n
06:03qui s'annule en 2 onzième qui est entre 0 et 1.
06:06Donc en 0 effectivement c'est strictement négatif, mais à partir de 1 ça devient positif.
06:11Et donc ceci est bien positif pour toute n dans n étoile.
06:13Et donc j'écris les inégalités dans ce sens-là.
06:17Et j'obtiens finalement que cette quantité-là est inférieure à cette quantité-là.
06:20Mais comme d'après la question précédente, ln de 1 plus 1 sur n est inférieur à ceci,
06:24on a bien que pour toute n dans 1 étoile, ln de 1 plus 1 sur n est inférieur à ça.
06:29Ce qui équivaut bien à dire que wn est inférieur ou égal à 1 sur n carré.
06:34Check.
06:34Question 5.
06:35Montrez que pour toute n supérieur ou égal à 2, 1 sur n carré est inférieur ou égal à 1 sur n moins 1 sur n.
06:41Soit n un antinaturel supérieur ou égal à 2, j'écris l'inégalité et je transforme cette expression-là
06:46en mettant au même dénominateur et j'obtiens bien ceci.
06:49Et donc je la transforme pour obtenir un truc que je sais être vrai,
06:51je réécris tout dans le bon sens comme d'habitude, toi-même tu connais.
06:54Donc ici je simplifie par n en multipliant par n de chaque côté et je multiplie par n moins 1.
06:59Puis je remultiplie par n et j'obtiens bien ceci.
07:01Qui est bien vrai. Check.
07:03Question 6.
07:03On introduit la suite grand WN qui est la somme pour k-variant de 1 à n des WK.
07:08Pour n dans n étoile, on veut montrer que wn est inférieur ou égal à 1 demi
07:12en déduire que wn converge, en déduire que vn converge,
07:16en déduire que un converge vers un réel strictement positif.
07:19soit donc n un entier naturel non nul.
07:21On n'a que WN, c'est la somme pour k-variant de 1 à n des WK.
07:25Et d'après la question 4, chacun des WK est inférieur à 1 sur 4K carré.
07:30Pour tout cas dans n étoile.
07:31Et donc je fais la somme de ces trucs-là.
07:33La somme est bien dans le même ordre, puisque chacun d'eux est supérieur à chacun d'eux.
07:38Et donc la somme des petits est bien inférieure à la somme des grands.
07:41Mais d'après la question 5, j'ai que ceci, quand k est plus grand que 2,
07:45est majoré par cette expression-là.
07:47Donc je prends à part le terme en k égale 1,
07:50et tout ce qui est en k égale 2, je le majore par la somme pour k-variant de 2 à n de 1 quart fois ceci.
07:56Et donc je n'oublie pas mon terme quand k est égal à 1.
07:59Et je calcule donc cette expression.
08:01Donc je factorise par 1 quart par linéarité du symbole sigma.
08:04Et j'ai bien ceci dans la somme.
08:06Et donc j'écris explicitement les sommes.
08:07Je peux faire un changement de variable, mais je l'écris explicitement pour qu'on le voit plus facilement.
08:10Donc ici, k démarre à 2, donc j'ai 1 sur 2 moins 1, donc 1.
08:15Quand k vaut 3, 3 moins 1, 2.
08:17Et donc j'ai jusqu'à n, donc jusqu'à 1 sur n, moins 1.
08:20Moins la somme quand on varie de 2 jusqu'à n de 1 sur k,
08:24donc moins 1 demi, moins 1 tiers, etc., moins 1 sur n.
08:28J'ai donc tous ces trucs-là qui se simplifient.
08:30Et dans la parenthèse, il ne me reste bien que 1 moins 1 sur n.
08:33Et donc j'ai le facteur 1 quart devant, et le 1 quart qui était derrière, qu'on n'oublie pas.
08:36Et donc j'ai 1 quart, facteur de ça, plus 1 quart.
08:39Mais ceci, c'est bien évidemment plus petit que 1, puisque c'est 1 moins un truc strictement positif.
08:45Et donc tout ça est plus petit que 1 quart plus 1 quart qui vaut 1 demi.
08:48Check !
08:49Question suivante à déduire que Wn converge.
08:52Et vu qu'on vient de montrer que Wn est majoré, on va en fait montrer qu'elle est croissante.
08:56Et vu que c'est une somme, il suffirait de montrer que les Wk sont tous positifs.
08:59Montrons donc que pour tout n de 1 étoile, Wn est supérieur ou égal à 0.
09:03Ce qui veut dire ceci en écrivant l'expression de Wn, et ce qui donne cette inégalité-là en passant le 1 de l'autre côté,
09:09en divisant par n plus 1 demi, et en arrangeant la fraction.
09:13Et si on utilise la même stratégie que tout à l'heure, on s'en sortira en démontrant que pour tout x positif,
09:17on a ceci, plus grand que ceci, qui est égal à ça.
09:22Je te laisse faire l'étude de la fonction adéquate en commentaire,
09:25et moi je passe à la suite, comme je sais que tu vas gérer ça et que tu es un BG,
09:28je ne me fais pas de soucis.
09:30Check pour ça.
09:31Soit donc n dans n étoile, Wn plus 1 moins Wn, c'est la différence de ces deux sommes,
09:36donc ici on va jusqu'à n plus 1 et ici on va jusqu'à n,
09:39et ça nous laisse simplement le terme Wn plus 1 dont on vient de montrer qu'il est supérieur ou égal à 0.
09:44Ce qui signifie que la suite Wn est croissante.
09:47Mais on a montré avant que Wn est majoré par un demi,
09:50et on vient de montrer que Wn est croissante,
09:53donc d'après le théorème de convergence monotone, Wn converge.
09:57On déduit maintenant que Vn converge.
09:59J'ai que Vn, c'est la somme pour k variant de 1 à n moins 1 des Wk moins V1.
10:03Oui, parce que pour rappel, d'après cette relation, j'ai que Wn c'est égal à Vn plus 1 moins Vn,
10:09et si je fais la somme de cette expression pour k variant de 1 à n moins 1,
10:12j'aurai donc la somme de ceci, et j'aurai donc un télescopage des simplifications.
10:18Il me restera simplement Vn moins V1, et donc j'aurai bien cette somme plus V1, pardon, c'était un plus.
10:24Mais là je reconnais mon expression Wn moins 1,
10:27et donc j'ai que ceci c'est Wn moins 1 plus V1,
10:29et d'après ce qu'on a fait juste avant, ça converge.
10:32Donc Vn converge, check.
10:33Et enfin, on va déduire que Un converge vers un réel strictement positif.
10:37On a que Vn est égal à ln de Un,
10:39et donc exponentiel de Vn est égal à Un,
10:41et comme on vient de montrer que Vn converge par continuité de l'exponentiel,
10:45on a que Un converge,
10:46et vu que ça va converger par continuité de l'exponentiel vers l'exponentiel de la limite de Vn,
10:51on a bien que cette limite est strictement positive,
10:53puisque c'est l'exponentiel d'un réel.
10:56Check pour cette question.
10:57Partie suivante, détermination de la limite,
10:59et donc comme ceci c'est Un,
11:00on vient bien de montrer que ceci converge vers ceci.
11:03Autrement dit, on vient bien de montrer que la factoriale de n est équivalent à 1 sur c,
11:07n puissance n fois exponentiel moins n fois racine de n,
11:10puisque le quotient de ça par ça tend bien vers 1,
11:13d'après ce qu'on a ici.
11:15Ça, ça tend vers c,
11:17et donc du coup ça divisé par c, ça tend bien vers 1.
11:20Ce qui nous permet de répondre à la question 1, check.
11:22Question 2, on déduire un équivalent de I2n.
11:25Pour rappel, I2n c'est l'intégrale de Wallis en 2n.
11:27J'ai déjà traité la question de l'intégrale de Wallis et de l'équivalent qu'on va utiliser plus tard.
11:31Check dans la description ou sur mon profil.
11:34On avait montré que cette intégrale, quand la puissance est pair,
11:36ce qui est bien le cas ici, on a 2n,
11:37ça donnait ceci.
11:39Et donc comme j'ai un équivalent de la factorielle,
11:41je vais pouvoir équivalenter cette expression.
11:44Sachant que les équivalents passent au quotient
11:46et sont compatibles avec les puissances fixées,
11:48je vais simplement remplacer ça par un équivalent
11:50en remplaçant la n par des 2n,
11:51et ceci, donc l'équivalent de n factorielle,
11:53que je mettrai au carré.
11:54J'ai donc que I2n est équivalent à cette expression bien moche.
11:58Et donc on simplifie, il y a beaucoup de choses qui dégagent.
12:01Donc là j'ai 1 sur C et 1 sur C carré.
12:03Donc j'ai le 1 sur C qui dégage et le 1 sur C en bas qui dégage.
12:07Et donc il me reste un 1 sur C en bas
12:08qui devient un C au numérateur ici.
12:12Puis j'ai 2n puissance 2n,
12:14donc j'ai 2 puissance 2n qui se simplifie avec ça,
12:17et n puissance 2n,
12:18et n puissance n au carré qui me fait bien n puissance 2n,
12:21donc qui se simplifie avec ça.
12:23Et j'ai exponentielle puissance moins 2n,
12:24exponentielle puissance moins n au carré,
12:26exponentielle moins 2n,
12:28donc j'ai simplification de ça.
12:30J'ai racine de 2n,
12:31ce qui fait racine de 2, racine de n.
12:33Donc j'ai un racine de n qui dégage en bas
12:35et donc il m'en reste un en dessous.
12:37J'ai un 2 ici,
12:38donc j'ai un racine de 2 qui dégage
12:39et il m'en reste un en dessous.
12:40Et ça me fait bien cette expression-là.
12:42Pardon, il n'y avait pas de 2 en bas.
12:44Check pour ça.
12:45Question 3a,
12:46à l'aide de la formule de Wallis,
12:47donner un équivalent de I2n.
12:48La formule de Wallis, c'est cet équivalent
12:50que j'ai démontré dans une précédente vidéo
12:52encore une fois.
12:53Et donc quand on l'applique en 2n,
12:55ça me donne simplement cet équivalent.
12:56Petit b, conclure quant à la formule de Stirling.
12:58Eh bien j'ai I2n qui est équivalent à ceci,
13:01mais qui est aussi équivalent à ceci.
13:03Par transitivité de l'équivalence,
13:04qui est bien une relation d'équivalence,
13:06j'ai que ceci est équivalent à ceci,
13:08puisqu'ils sont tous les deux équivalents à I2n.
13:10Ce qui me dit en arrangeant que C est équivalent à ce truc.
13:13Donc on peut montrer assez facilement
13:14qu'en multipliant à gauche et à droite
13:16des équivalents par des expressions,
13:18si les multiplications sont faites par des trucs différents
13:21de zéro bien sûr.
13:22Et donc je divise par pi ou je multiplie par 1 sur pi.
13:25Je n'en ai plus de ce côté-là.
13:26Et donc j'ai un 1 sur pi avec un racine de pi en haut,
13:29ça me fait un racine de pi en bas.
13:31Puis je multiplie par racine de 2n
13:33et donc ça dégage ici, ça apparaît ici.
13:36Ça se simplifie avec le racine de 4n en bas
13:38et donc ça me laisse un racine de 2 en bas.
13:40Donc j'ai bien 1 sur racine de 2pi
13:42qui est équivalent à C.
13:44Mais dire qu'une constante est équivalent à une autre constante,
13:46c'est exactement dire que ces constantes sont égales
13:49puisque l'équivalent c'est dire que le quotient tend vers 1.
13:51Or c'est des constantes.
13:52Donc si le quotient des deux constantes tend vers 1,
13:54c'est que le quotient des deux constantes est égal à 1.
13:56Et donc en particulier, C est égal à ceci.
13:59Et donc on a la formule de Stirling revisité qui donne
14:02tadaaa !
14:03Ceci !
14:04Puisque pour rappel, C vaut 1 sur racine de 2pi
14:06et donc 1 sur C vaut bien racine de 2pi.
14:09Et donc j'ai racine de 2pi fois tout ça
14:11et je passe tout dans la même racine,
14:13ce qui me donne bien ce magnifique équivalent.
14:15Quand N tend vers plus infini, bien entendu !
14:17Et check final !
14:19N'hésite pas à bien tout reprendre
14:20et à essayer de faire l'exercice par toi-même
14:22car c'est vraiment un exercice classique
14:24qui est abordable dès la terminale
14:26mais qui surtout a de très grandes chances
14:28de tomber en concours en prépa.
14:29N'hésite pas à poser tes questions en commentaire.
14:31Je te laisse. Bisous !