Quadratische Bruchgleichung mit abc-Formel lösen
Wir lösen zusammen eine quadratische Gleichung mit der abc-Formel.
In manchen Teilen Deutschlands wird diese auch Mitternachtsformel genannt.
Die Herleitung der abc-Formel geschieht über quadratisches Ergänzen.
Das ist Thema in einem anderen Video.
Wir werden sie hier an einem Beispiel anwenden.
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LernenTranskript
00:00Eine quadratische Gleichung kann unter anderem in Form einer Bruchgleichung vorkommen.
00:05In diesem Video bestimmen wir die Definitions- und die Lösungsmenge einer solchen Gleichung mit der ABC-Formel.
00:15Wir haben hier eine Bruchgleichung, von der wir die Definitions- und die Lösungsmenge bestimmen sollen.
00:23Die Grundmenge sind dabei alle reellen Zahlen.
00:26Die gesuchte Größe x kommt in den Nennern vor.
00:31Als erstes faktorisieren wir die Nenner.
00:34Im ersten Nenner können wir ein x ausklammern, also gibt das x mal Klammer x minus 2.
00:42Der zweite Nenner kann nicht faktorisiert werden, also übernehmen wir ihn unverändert.
00:48Das gleiche gilt für den dritten Nenner.
00:51Für alle Nenner gilt, dass keiner der Faktoren 0 sein darf.
00:55Der Faktor x gibt 0, wenn x 0 beträgt.
01:00Der Faktor x minus 2 gibt 0, wenn x 2 beträgt.
01:06Die Definitionsmenge sind somit alle reellen Zahlen ohne 0 und 2.
01:12Um die Lösungsmenge zu bestimmen, müssen wir die Gleichung nach x auflösen.
01:18Dabei gehen wir wie folgt vor.
01:20Als erstes multiplizieren wir die Gleichung mit dem KGV aller Nenner.
01:26Das ist bei dieser Gleichung x mal x minus 2.
01:31Damit erreichen wir, dass die Gleichung keine Brüche mehr enthält.
01:34Beim ersten Bruch ist der Nenner gerade das gleiche, wie das KGV, also gibt das multipliziert gerade den Zähler, also x², minus 2.
01:46Bei der Multiplikation des zweiten Bruchs, mit dem KGV, kürzt sich x, also bleibt der Zähler, x, plus 2, mal den Rest vom KGV, also x, minus 2.
01:58Und beim letzten Bruch kürzt sich x, minus 2, also bleibt noch der Zähler, mal x.
02:05Die linke Seite lassen wir vorerst unverändert.
02:09Die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung können wir ausmultiplizieren.
02:14Bei den ersten beiden Klammern handelt es sich um eine dritte binomische Formel, also gibt das x², minus 4.
02:23Die andere Klammer ausgerechnet, gibt x, hoch 2, minus x.
02:29Nun sortieren wir die Gleichung nach 0, indem wir die linke Seite subtrahieren.
02:35Auf der rechten Seite haben wir 2x², minus das x² auf der linken Seite, das gibt ein, x².
02:44Minus x, auf der rechten Seite, bleibt unverändert.
02:48Und minus 4, plus 2, gibt minus 2.
02:53Wir erinnern uns, dass eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form so aussieht.
02:59Jetzt können wir die quadratische Auflösungsformel verwenden.
03:04Die Koeffizienten a, b und c können wir aus der Gleichung ablesen.
03:08a ist 1, b ist minus 1 und c ist minus 2.
03:15Setzen wir die Werte für a, b und c in die Gleichung ein.
03:21Wir vereinfachen so weit wie möglich.
03:24Minus, minus 1 ist 1.
03:27Unter der Wurzel haben wir 9, also beträgt die Wurzel davon 3.
03:31Die erste Lösung erhalten wir, wenn wir beim Plus-Minus-Zeichen, Plus verwenden, also gibt das 2.
03:402 ist nicht in der Definitionsmenge vorhanden.
03:44Die zweite Lösung erhalten wir, wenn wir das Minus verwenden.
03:49Das gibt minus 1.
03:52Minus 1 ist in der Definitionsmenge vorhanden, also besteht die Lösungsmenge nur aus minus 1.
03:58Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.