Diskriminante einer quadratischen Gleichung bestimmen und anwenden
Was ist die Diskriminante und wie bestimmt man diese? Die Anzahl Lösungen einer quadratischen Gleichung ist abhängig von der Diskriminanten D.
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LernenTranskript
00:00Mithilfe der Diskriminante kann man bestimmen, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat.
00:07In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.
00:13Für den Einstieg schauen wir uns diese Beispielaufgabe an.
00:18Als erstes bestimmen wir die Definitionsmenge.
00:22Die Nenner dürfen nicht 0 sein.
00:24x kommt nur im zweiten Nenner vor, welcher 0 wird, wenn x gleich 4 ist.
00:31Also muss der Wert 4 aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden.
00:37Als nächstes multiplizieren wir die Gleichung mit dem Kgv der Nenner, das ist 4 mal 4 minus x.
00:45Der erste Bruch gibt multipliziert mit den Kgv x mal 4 minus x.
00:51Beim zweiten Bruch gibt es 4 mal x plus 4 und auf der rechten Seite haben wir 4x mal 4 minus x.
01:00Als nächstes rechnen wir die Klammern aus.
01:04Bei der ersten erhalten wir 4x minus x², bei der zweiten 4x plus 16 und auf der rechten Seite 16x minus 4x².
01:14Dann sortieren wir die Gleichung nach 0, indem wir die rechte Seite subtrahieren.
01:21Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form, also können wir die Koeffizienten in die ABC-Formel einsetzen.
01:29Rechnen wir den Radikanten aus, das gibt minus 128.
01:41Weil der Radikant negativ ist, kann die Wurzel nicht gezogen werden.
01:47Diese Gleichung hat also keine Lösung.
01:49Anscheinend ist der Radikant der ABC-Formel dafür verantwortlich, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat.
01:59Der Radikant, also b², minus 4ac, nennt man Diskriminante.
02:06Schauen wir uns an ein paar Gleichungen an, welchen Einfluss die Diskriminante auf die Anzahl Lösungen hat.
02:12Von der ersten Gleichung, x², minus 6x, plus 5, gleich 0, setzen wir die Koeffizienten in die ABC-Formel ein.
02:23Wenn wir die Diskriminante ausrechnen, erhalten wir 16.
02:2816 ist positiv, also ist auch die Wurzel davon positiv.
02:34Durch das Plus-Minus haben wir zwei Lösungen.
02:36Nehmen wir eine andere Gleichung und setzen wieder die Koeffizienten in die ABC-Formel ein.
02:44Hier ergibt die Diskriminante 0.
02:47Die Wurzel von 0 bleibt 0.
02:51Ob wir Plus- oder Minus-0 rechnen, macht keinen Unterschied.
02:56Also haben wir nur eine Lösung.
02:59Nehmen wir noch eine letzte Gleichung und setzen wieder die Werte ein.
03:03Die Diskriminante ist minus 23, also eine negative Zahl, also können wir die Wurzel nicht ziehen, und wir haben keine Lösung.
03:14Die Diskriminante sagt uns also, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat.
03:20Machen wir eine kleine Übersicht.
03:24Ist die Diskriminante positiv, haben wir zwei verschiedene, reelle Lösungen.
03:28Ist die Diskriminante 0, haben wir nur eine Lösung.
03:34Und ist sie negativ, haben wir keine Lösung.
03:37Wie wir diese Eigenschaft nutzen können, schauen wir uns an ein paar Beispielen an.
03:44Bei dieser Aufgabe ist als erstes nur gefragt, wie groß die Anzahl der Lösungen ist.
03:50Mithilfe der Diskriminante kann die Anzahl der Lösungen bestimmt werden.
03:54Es reicht also, nur die Diskriminante zu berechnen.
04:00Setzen wir die Werte für a, b und c in die Diskriminante ein.
04:06a ist 1, b ist minus 17 und c ist minus 60.
04:12Rechnen wir die Diskriminante aus, das gibt 529.
04:16Die Diskriminante ist also größer als 0.
04:22Das heißt, die Gleichung hat zwei verschiedene, reelle Lösungen.
04:27Im zweiten Teil sollen wir die Lösungsmenge bestimmen.
04:31Da die Gleichung bereits nach 0 aufgelöst ist, können wir direkt die quadratische Auflösungsformel verwenden.
04:38Setzen wir die Zahlenwerte ein.
04:42Den Radikanten haben wir vorhin bereits ausgerechnet, also können wir den Wert direkt einsetzen.
04:48Die Wurzel aus 529 ist 23.
04:54Wenn wir beim Plus-Minus-Zeichen Plus einsetzen, erhalten wir 20, und wenn wir Minus einsetzen, erhalten wir Minus 3.
05:01Da es keine Einschränkungen bezüglich der Definitionsmenge gibt, besteht die Lösungsmenge aus den beiden Lösungen.
05:11Auch bei dieser Aufgabe ist nur die Anzahl Lösungen gefragt.
05:16Das heißt, wir können direkt die Werte in die Diskriminante einsetzen.
05:21a ist 6, b ist minus 19 und c ist 15.
05:27Ausgerechnet ergibt das 1.
05:291 ist positiv, also haben wir zwei verschiedene, reelle Lösungen.
05:36Und noch ein weiteres Beispiel, bei dem auch wieder nur die Anzahl der Lösungen gefragt ist.
05:43a ist 16, b ist 25 und c ist 10.
05:49Die Diskriminante gibt ausgerechnet minus 15.
05:53Minus 15 ist negativ, also haben wir keine Lösung.
05:59Bei dieser Aufgabe ist gefragt, wie der Parameter k gewählt werden muss, damit die Gleichung genau eine Lösung hat.
06:07Eine quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante 0 ist.
06:12Also setzen wir die Diskriminante gleich 0.
06:17Setzen wir die Werte für a, b und c in die Diskriminante ein.
06:23a ist 3, b ist 9 und c ist k.
06:28Lösen wir die Gleichung nach k auf, indem wir als erstes 81 subtrahieren.
06:33Dann dividieren wir die Gleichung durch minus 12 und erhalten k gleich 6,75.
06:41Das heißt also, wenn wir bei der Gleichung für k den Wert 6,75 einsetzen, hat die Gleichung genau eine Lösung.
06:49Und noch ein letztes Beispiel, bei dem k im Koeffizienten des linearen Gliedes vorkommt.
06:56Setzen wir die Diskriminante wieder gleich 0.
07:01Setzen wir die Werte für a, b und c in die Diskriminante ein.
07:07a ist 1, b ist 2k und c ist 4.
07:12Dann addieren wir 16 und rechnen die Klammer aus.
07:16Und dann dividieren wir durch 4.
07:19Wir ziehen die Wurzel und sehen, dass k plus minus 2 ist.
07:24Es gibt also zwei verschiedene Werte, die k annehmen kann, damit die Gleichung genau eine Lösung hat.
07:33Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.