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00:00Bonjour à tous, bienvenue sur la chaîne YouTube de l'étudiant, on va corriger une
00:19nouvelle épreuve du bac 2023, il s'agit de la spécialité mathématique et c'est
00:23le sujet du deuxième jour, le mardi 21 mars.
00:26C'est Mehdi Lazar qui va nous faire se corriger, bonjour Mehdi.
00:29Bonjour Thibault.
00:30Vous êtes prof de maths au lycée Galiléo à Gennevilliers et pour la structure Alpha
00:34Omega à Angers.
00:35C'est ça.
00:36Alors c'est un sujet de maths 4 heures, on retrouve les mêmes thématiques, les mêmes
00:40chapitres que le sujet d'hier du lundi mais celui-ci était un petit peu plus dur.
00:44Un petit peu plus relevé, c'est sur des questions ici et là mais rien de bien méchant,
00:48on retrouve nos quatre thèmes principaux, probabilité, géométrie dans l'espace,
00:53suite et analyse avec une fonction.
00:56Ok, donc quelqu'un qui a révisé son cours a priori n'a pas de raison de ne pas avoir
01:00réussi.
01:01Quatre exercices, est-ce qu'il y en a un quand même qui demandait plus d'attention
01:04ou vous, vous auriez passé un peu plus de temps ?
01:06Encore une fois, la géométrie dans l'espace mais cette fois-ci, peut-être que le sujet
01:11sur les suites aurait pu aussi demander également un peu plus de temps, un temps qui est gagné
01:16en grappillant sur l'exercice 1.
01:18Voilà, comme il n'y a pas de justifications qui sont demandées, de rapides calculs peuvent
01:23nous faire répondre aux questions assez rapidement.
01:24On va commencer du coup directement par l'exercice 1, on va dérouler dans l'ordre exercice 1
01:29à 4.
01:30Donc le premier exercice, sur les probabilités, un QCM comme lundi, comme lundi pas de justifications
01:35demandées et comme lundi pas de points retirés en cas de mauvaise réponse, donc on pouvait
01:39mettre au hasard quand on ne savait pas, ce n'était pas un grand risque.
01:42Je ne vais pas revenir sur l'énoncé, on va juste simplement donner les réponses 1
01:47et puis le petit chiffre qui correspond pour la première question.
01:51Voilà, c'est la réponse C, on nous demande la probabilité de l'intersection de l'événement A et G.
01:56Donc c'est 0,28 soit 7,25 si on regarde notre écriture fractionnaire.
02:02Donc ça commençait pour se mettre en confiance, mais dès le deuxième point il y a déjà un piège.
02:06En fait ce n'est pas véritablement un piège, effectivement c'est un psy-calcul intermédiaire.
02:10Là il fallait faire attention, ça a été un piège pour moi effectivement parce que
02:13je me suis, en me lançant dans les calculs, je trouvais un cinquième et un cinquième
02:16c'est quoi ? C'est la probabilité de B inter G et nous ce qu'on cherche c'est la probabilité
02:21de G sachant B, donc il va falloir diviser P de B inter G par P de B, ce qui nous donne
02:27donc un tiers et non pas un cinquième comme j'ai pu répondre dans la précipitation.
02:32C'est la réponse B.
02:33Réponse B.
02:34Je vous laisse continuer à nous dire ce qu'il y a pour les questions 3, 4, 5.
02:37Après, le schéma qui dit probabilité dit schéma de Bernoulli à un moment donné quand même.
02:41Avec une variable aléatoire, donc le compteur de succès qui suit une loi binomiale.
02:47On est sur, pour la 3, la réponse C, 1,188.
02:52Il fallait faire attention quand même pour l'arrondi, c'était niveau sixième.
02:55On pouvait hésiter entre la C et la D, j'espère que nos élèves ne se sont pas trompés là-dessus
03:00et qu'ils ont bien considéré le 7 qui suivait le 7 au millième.
03:05Donc c'est bien la réponse C, 0,188 et non pas 187.
03:09Voilà, donc l'arrondi par excès.
03:11La question 4, la question 4 à la calculatrice, c'est P de X inférieur ou égal à N.
03:16On l'a fixé arrondi au millième à 0,207.
03:21Effectivement, on trouve que P de X inférieur ou égal à 3 est égal environ à 0,2066.
03:32Donc à ce moment-là, c'est la réponse B, N est égal à 3.
03:37Et enfin pour la question 5, il suffisait tout simplement de considérer l'événement contraire.
03:43P de X supérieur ou égal à 1, c'est le contraire de X strictement inférieur à 1.
03:49Mais pour notre compteur de succès qui est un nombre entier positif, ça ne laisse pas beaucoup de choix.
03:53Donc P de X supérieur ou égal à 1, c'est égal à 1 moins P de X est égal à 0.
03:58Et en remplaçant donc dans la formule à connaître bien évidemment, celle-ci, elle n'a pas été rappelée.
04:03Ça nous donne la réponse D.
04:06Donc il fallait savoir son cours.
04:07Voilà, un petit peu quand même.
04:09Exercice 2 sur les suites.
04:12Alors ça nous présente une étude de cas avec des insectes.
04:15Il est en deux parties.
04:16La première partie, on considère que les insectes vivent dans un monde complètement libéré.
04:19La deuxième partie, il faudra prendre en compte des réalités extérieures.
04:23Pour la première partie, on exprime des insectes en millions, ce qui doit faire un petit calcul de virgule.
04:30Est-ce que vous pouvez nous donner les réponses qu'il fallait avoir ?
04:32Alors pour le petit 1, c'est tout simplement, on remarque qu'on passe d'un terme au suivant
04:36en multipliant systématiquement par 1 plus 60 sur 100 parce qu'il y a une augmentation systématique de 60%.
04:42Alors je ne sais plus si c'est d'un mois à l'autre, c'est ça ?
04:45C'est chaque mois.
04:45C'est chaque mois, exactement.
04:47Donc c'est une suite tout simplement qui est géométrique.
04:50Et par définition, on a sa forme explicite qui est le premier terme facteur de la raison à la puissance n,
04:56soit 0,1 fois 1,6 à la puissance n.
05:00Voilà, c'est juste de la définition.
05:02Oui c'est ça, pas besoin de calcul, il faut montrer les choses.
05:05La limite de la suite ?
05:07Alors la limite de la suite comme 1,6 est strictement supérieure à 1.
05:111,6 à la puissance n tant vers plus l'infini,
05:13facteur par produit des limites avec le facteur 0,1 devant, ça n'y change rien.
05:18Donc la limite de Un, c'est bien plus l'infini et ça fait peur.
05:22L'infinité d'insectes.
05:23C'est ça.
05:24La question 3, le plus petit antinaturel n à partir duquel Un est inférieur à 0,4 ?
05:29C'est ça, on résout une petite inéquation, là il n'y a pas de piège pour le coup
05:32parce qu'on se retrouvera à diviser les deux membres de l'inégalité par ln de 1,6
05:38qui est un nombre positif, donc pour le coup c'était un petit peu moins piégé
05:41entre guillemets que ce qu'il y a eu hier.
05:43On se retrouve avec n supérieur ou égal à 3, voilà.
05:47Ça veut dire qu'au bout de 3 mois on a 400 000 insectes ?
05:49Exactement, on a dépassé les 400 000.
05:50Et ça répond à la question 4 ?
05:52Et la question 4, alors la question 4 effectivement, c'est exactement ça.
05:56D'après la question 3, le milieu naturel ne sera pas préservé parce qu'on aura dépassé,
06:01il faut bien lire l'énoncé, la dernière phrase de l'énoncé,
06:04on aura dépassé les 400 000 insectes en seulement 3 mois.
06:07Donc c'est vrai que vive les prédateurs.
06:09C'est ça, parce que dans la vraie vie ça ne se passe pas comme ça,
06:11les insectes, il y a des petits oiseaux qui les mangent.
06:13C'est ça.
06:14Et donc des petits oiseaux, comment on les formalise ?
06:16Dans la partie B de l'exercice, comment on formalise un petit oiseau qui mange un insecte dans l'énoncé ?
06:21Alors c'est le, il me semble, le moins 1,6 facteur de Vn au carré
06:27qui va venir un petit peu tempérer, on va dire entre guillemets, notre nombre d'insectes.
06:33Et à partir de là, des nouveaux calculs selon ce nouveau modèle.
06:36Première question, le nombre d'insectes au bout d'un mois.
06:38Rien de bien méchant, il suffit tout simplement de remplacer V0 dans la formule,
06:42d'utiliser la formule qui nous est donnée, ce qui nous donne 0,144.
06:46Il n'y a pas 0,144 insectes, attention, on multiplie par un million,
06:49ce qui nous donne donc 144 000 individus.
06:52Une sacrée perte quand même.
06:54Et puis je vous laisse continuer, comment la fonction f qui est définie ensuite,
06:58comment on résout les équations ?
06:59Donc alors résoudre l'équation f de x est égale à x, c'est assez simple en réalité,
07:04il suffit, on va soustraire les x aux deux membres,
07:08on factorise par x, on se retrouve avec une petite équation produit nulle,
07:11vraiment niveau troisième, ce qui nous donne x est égale à 0, ou x est égale à 0,375.
07:16Montrez que la fonction f est croissante, alors là vous m'avez dit il faut peut-être un peu...
07:21Alors montrez qu'elle est croissante sur 0, 1,5,
07:25il y avait la méthode classique de calculer la dérivée, étudier le signe de la dérivée, voilà.
07:30Sinon ce qu'on peut faire, c'est tout simplement, si on a un petit peu l'œil,
07:36c'est de remarquer que f de x est égale à 0 admet deux racines évidentes qui sont x est égale à 0
07:43et où je devrais mettre x est égale à, si je ne dis pas de bêtises, est égale à 1.
07:51On sait que c'est un polynôme du second degré, donc on a sa variation,
07:55sa variation ça va tout simplement être donc x de moins l'infini,
07:59alors je mets moins l'infini, effectivement je vais considérer qu'elle est définie sur grand R
08:02pour après couper notre morceau sur 0, 1,5.
08:04On a ici notre fonction f, on regarde le coefficient du terme de plus haut degré, donc moins 1,6,
08:09elle est donc croissante puis décroissante,
08:12on sait qu'elle s'annule ici et ici, mais on sait ici que son maximum est admis pour un x
08:17qui est la moyenne des deux racines, donc en 1,5.
08:20Ici on se retrouve donc avec f de 1,5, mais peu importe ici, ça ne nous intéresse pas tant que ça pour l'instant.
08:27Ce qu'on va juste faire, c'est partir du principe que notre 0 étant donné qu'il appartient à cet intervalle-là,
08:34on va pouvoir en déduire, alors effectivement ça demande un petit peu de rédaction quand même,
08:39mais c'est un peu moins classique, c'est un peu moins ennuyant pour les correcteurs,
08:43ça leur ferait plaisir de voir un petit raisonnement comme celui-ci.
08:46Voilà, donc elle est bien croissante sur 0, 1,5.
08:49Un élève qui a mis que ce tableau, il aura des points quand même ?
08:51Non, il va peut-être avoir une petite tape sur l'épaule pour l'effort,
08:56mais voilà quoi, pas de quoi remplir le frigo.
08:59Alors question 3, montré par récurrence que tout entier naturel, etc.
09:04Je pense que les candidats auront leur sujet avec eux pour nous suivre.
09:08C'est ça, j'espère, j'espère bien, mais on ne reste pas passifs comme ça devant la vidéo.
09:14Donc l'idée en fait c'est tout simplement, l'initialisation elle se fait d'elle-même, c'est très simple,
09:18on a V0 qui nous a été donné, on a V1 qu'on a calculé,
09:22donc l'initialisation s'est réglée, c'est l'hérédité maintenant.
09:25On part de notre hypothèse de récurrence et tout simplement ce qu'on a à faire,
09:28c'est d'appliquer notre fonction à chacun des membres de cette inégalité.
09:35Parce qu'on nous a demandé juste avant, les questions se parlent entre elles,
09:38comme je le répète souvent à mes élèves, donc la question précédente,
09:41si on nous a demandé la variation de F, ce n'est pas pour rien.
09:44Donc on garde nos relations d'ordre en appliquant F,
09:47ce qui nous donne, étant donné que si on applique F à Vn, ça va nous donner Vn plus 1,
09:52si on applique F à Vn plus 1, on va obtenir Vn plus 2,
09:58parce qu'on a bien remarqué effectivement que notre fonction n'est pas là par hasard,
10:05c'est tout simplement V de n plus 1 qui est égal à F de Vn.
10:08Et donc à partir de ce moment-là, il ne nous restera plus qu'à calculer F de 0 qui fait 0,
10:13et F de 1,5 qui fait, je l'avais noté quelque part,
10:17qui fait un petit peu moins de 1,5, donc on reste dans le cadre et notre hérédité est vérifiée.
10:26Voilà.
10:27Et avec ça, on peut montrer que c'est convergent ou on vient de le faire ?
10:30Alors non, on n'a pas montré que c'était convergent justement.
10:33Grâce à cette inégalité-là, on a Vn inférieur ou égal à Vn plus 1,
10:38donc pour tout antinaturel n, on a donc Vn qui est croissante,
10:43et comme elle est majorée, elle a son toit, elle ne dépasse pas 1,5,
10:47donc à ce moment-là, on peut en déduire qu'elle est croissante,
10:50pardon, qu'elle converge carrément.
10:52Tout à fait.
10:54On demande la valeur de la limite en petit C de la question 3 ?
10:58C'est ça exactement.
10:59Donc là, il n'y a pas besoin de toute la rédaction pour le théorème du point fixe.
11:03On nous a tout simplement dit que c'était admis,
11:06que L était la solution de F de x est égal à x.
11:11Il faut déterminer la valeur de L, qu'est-ce qu'on fait ?
11:13Et bien tout simplement, on cède de ce qu'on a obtenu à la question 2a,
11:18on avait deux solutions, je rappelle, 0 ou 3,375,
11:22les deux appartiennent à notre intervalle 0,1,2,000, à quel choisir ?
11:25Évidemment que ça va être 0,375 puisque notre suite est croissante,
11:30donc elle ne risque pas de retomber entre guillemets sur 0.
11:36Voilà.
11:37Parfait.
11:38Alors la quatrième question,
11:39cette fois c'est du langage Python pour traduire un peu tout ça.
11:42On part d'un seuil de 0,4 et qu'est-ce qu'on observe ?
11:45C'est ça.
11:46On observe que ça continue de mouliner, ça continue de tourner,
11:49le programme ne s'arrête pas.
11:50Il y a un problème visiblement.
11:52Mais pourquoi en fait y a-t-il ce problème ?
11:54On ne nous demande pas forcément de le dire,
11:55mais on va quand même l'expliquer ici.
11:57On a, tant que les termes de notre suite sont plus petits que notre seuil,
12:02en l'occurrence 0,4,
12:03et bien il faut continuer de faire les calculs.
12:05Mais à quel moment on arrive à 0,4 ?
12:08On n'y arrive même pas en réalité.
12:10Notre limite, il ne faut pas oublier que notre suite est croissante
12:12et que notre limite c'est 0,375.
12:15Donc on restera, tous nos termes VN resteront inférieurs ou égaux à 3,375.
12:20Ce n'est pas demain la veille, donc on va avoir un seuil de 0,4.
12:23D'accord.
12:24Et ça continuera de tourner.
12:25Et donc la question B ?
12:26Déterminer la valeur envoyée par, si on saisit le seuil de 0,35.
12:32Et bien là, je vais peut-être vous surprendre,
12:34mais je n'avais pas de calculatrice sur moi avant de préparer le sujet.
12:37Pourtant c'était autorisé.
12:38J'avais même pas un simple tableur,
12:39il n'y avait même pas besoin de remettre tout le programme Python sur la calculatrice.
12:45Nos élèves pouvaient simplement utiliser un tableur
12:47et puis vérifier directement la valeur.
12:49En tout cas, quoi qu'il en soit,
12:50c'est interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice
12:52qui va nous intéresser ici.
12:53Et bien c'est tout simplement la valeur de N que vous avez trouvée,
12:56c'est la plus petite valeur de N à partir duquel on dépasse,
13:00notre population d'insectes dépasse les 350 000.
13:03Et on a trouvé cette valeur ou ça ne dépasse jamais ?
13:07Non, non, normalement elle y est
13:08parce que de toute façon ça tend vers 0,375,
13:10donc on va y arriver à un moment.
13:12Enfin, on dépassera toute valeur plus petite que 0,375 à un moment donné.
13:17Parfait.
13:20Bon, on va passer à l'exercice 3.
13:21On passe à l'exercice 3, c'est parti.
13:22Un exercice de géométrie dans l'espace,
13:24de géographie, de géométrie dans l'espace, oui.
13:26Décidément, ça suit un peu les thématiques d'hier.
13:29Il y a une figure qu'on a au tableau,
13:32c'est un repère orthonormé,
13:34il y a des questions.
13:35Voilà.
13:36On va donner les coordonnées, je vous laisse nous expliquer.
13:38Les coordonnées du vecteur n1,
13:39j'en profite juste pour dire que ce qui pouvait déstabiliser
13:41peut-être nos élèves,
13:42c'était le fait qu'on ait deux plans ici.
13:44Deux plans, une droite, ça aurait pu les déstabiliser.
13:46Ils auraient pu avoir un petit sentiment d'injustice
13:48par rapport à ce qui s'est fait hier.
13:50Mais bon, alors on y va.
13:51Donc n1, on regarde tout simplement
13:53l'équation cartésienne du plan P1
13:55et on n'a qu'à lire nos coefficients.
13:57On a 2x plus y moins z plus 2 est égal à 0,
14:00c'est tout simplement 2, 1 et moins 1.
14:02Tout simplement.
14:032, 1 et moins 1, tout simplement.
14:05Question 2, vous l'avez dit, ils sont perpendiculaires.
14:07Alors, ils sont perpendiculaires,
14:08il faut tout simplement le montrer.
14:10C'était pas obligatoire, effectivement,
14:12la petite phrase de début.
14:14Mais pour ceux qui ont vraiment du mal
14:15à se représenter les choses dans l'espace,
14:16ce qui est quand même le cas de beaucoup d'élèves,
14:19il suffit tout simplement de montrer
14:21que n1 et n2 sont orthogonaux
14:23en utilisant le produit scalaire.
14:25Voilà.
14:26Tout simplement.
14:27Question 2, déterminer une équation cartésienne
14:29du plan P2.
14:30Alors, on a n2,
14:32on a un vecteur normal au plan P2
14:34qui va nous donner les coefficients de x, de y et de z
14:36dans notre équation cartésienne.
14:38Il nous reste à déterminer le dernier coefficient,
14:40la petite constante qui vient s'ajouter.
14:42C'est tout simplement grâce au point B
14:45qu'on va obtenir ça.
14:47Si je ne me trompe pas, B2, voilà,
14:49il passe par le point B de coordonnée 1, 1, 2.
14:51Il suffit tout simplement de remplacer.
14:52On trouve D, donc notre petite constante
14:54qui est égale à moins 2.
14:55Donc, une équation cartésienne,
14:57et j'insiste sur le « une équation cartésienne »,
14:58elle n'est pas unique du plan P2,
15:00c'est x moins y plus z moins 2
15:02est égale à zéro.
15:04Et dans la suite, la droite, pardon,
15:06delta entre en jeu.
15:08Montrez que c'est l'intersection des plans P1 et P2.
15:10Alors, tout simplement pour ça,
15:12ce que je préconise,
15:14c'est de remplacer les coordonnées
15:16de notre représentation paramétrique
15:18dans l'équation du plan P1 d'une part,
15:20dans l'équation du plan P2 d'autre part.
15:22On tombe sur une réalité qui est vraie
15:24pour toutes et à chaque fois.
15:26Donc, en réalité, on peut dire que
15:28tous les points de delta appartiennent
15:31à P1 d'une part et tous les points de delta
15:33appartiennent à P2 d'autre part.
15:35Il faut tout simplement en placer une petite pour dire
15:37que P1 et P2 ne sont pas confondus
15:39qui ferait que, voilà, ce serait la petite astérisque.
15:41Mais sinon,
15:43c'est terminé.
15:45Donc, la petite phrase à ne pas oublier.
15:47Et puis, alors, question 3.
15:49Alors, il faut montrer que, pour toute réalité,
15:51AMT égale une grosse équation que je ne vais pas prononcer ici.
15:53Donc, effectivement,
15:55là, tout simplement, on nous donne les coordonnées
15:57de M, donc en fonction de T, évidemment.
15:59On considère que c'est un point qui se balade
16:01en fonction des valeurs de T
16:03sur notre droite delta.
16:05On a les coordonnées de notre point A
16:07qui sont 1, 1 et encore 1.
16:09On calcule donc les coordonnées
16:11de notre vecteur AMT.
16:13Ensuite, on calcule sa norme,
16:15ce qui nous donne tout simplement ceci.
16:17Évidemment, en fonction de T.
16:19AMT en fonction de T.
16:21Tout ça me fait dire que AH égale racine garée de 3.
16:23Alors, en réalité, c'est parce qu'on doit,
16:25effectivement, c'est pas immédiat directement
16:27sauf si on se dit que, effectivement,
16:29notre AH,
16:31qui est la distance entre A et la droite,
16:33va être le minimum de la distance
16:35entre A et MT
16:37qui se baladent le long de la droite. Ça va vraiment être le minimum.
16:39Donc, étant donné que la fonction racine
16:41est une fonction croissante sur R+,
16:43on va prendre notre fonction
16:452T²-8T plus 11.
16:47Elle est,
16:49si on calcule son discriminant
16:51et en regardant le signe de 2, effectivement,
16:53elle est toujours, et heureusement, positive.
16:55Strictement positive, même.
16:57Mais nous, ce qui nous intéresse, c'est son minimum.
16:59Son minimum, il est obtenu en moins B sur 2A.
17:01Ça, on le sait depuis la première.
17:03Donc, il est obtenu, en faisant le calcul, en 2.
17:05Et ce minimum, il est de 3.
17:07Donc, on a bien AH qui est égal à racine de 3.
17:09Il fallait vraiment
17:11une belle rédaction.
17:13Toujours détailler aussi le procédé.
17:15OK. Alors, question 4.
17:17C'est, maintenant, D1, la droite orthogonale au plan
17:19qui arrive et qui passe
17:21par A et H1.
17:23Il faut déterminer une représentation paramétrique
17:25de la droite D1.
17:27On a un vecteur directeur
17:29qui est le vecteur normal
17:31au plan P.
17:33On a ici, donc, notre droite D1
17:35qui est ici, qui est comme ceci.
17:37Donc, un vecteur directeur de D1, c'est tout simplement
17:39un vecteur normal
17:41au plan P1, puisque je rappelle
17:43que D1 est
17:45orthogonal au plan P1.
17:47Et on a donc
17:49N1 de coordonnée 2, 1-1
17:52et on a un point.
17:54Donc, on a un vecteur directeur pour notre droite
17:56et on a un point, le point A
17:58de coordonnées 1, 1 et 1, je le rappelle.
18:00Donc, on a immédiatement
18:02une représentation paramétrique.
18:04On ne demande pas un certain type de rédaction.
18:06Il y a certains enseignants qui insistent vraiment
18:08sur la démonstration,
18:10sur l'établissement
18:12de cette représentation paramétrique.
18:14Mais, en réalité,
18:16on tolère le fait
18:18de donner directement, donc,
18:20à 1 plus 2T',
18:22Y est égal à 1 plus T',
18:24et Z est égal à 1 moins T'.
18:26Je dis T', c'est pas grave si on a mit T', mais c'est juste pour
18:28le distinguer de la
18:30représentation paramétrique précédente.
18:32Ça nous donne les coordonnées ? Faut faire un calcul
18:34pour le 4B ?
18:35Donc, voilà, on va juste injecter, entre guillemets,
18:37les coordonnées de notre représentation
18:39cartésienne dans le plan,
18:41dans l'équation du plan
18:43P1. A partir de ce moment-là, on va trouver
18:45notre paramètre
18:47T, ou T', que j'ai appelé T',
18:49qui donne moins 2T'.
18:51Et ensuite, en réinjectant dans notre représentation paramétrique,
18:53on va trouver les coordonnées de H1,
18:55qui sont moins 1T, 1T et 5T.
18:57Et sur la question
18:595, alors, il y a des nouveaux paramètres qui rentrent en jeu.
19:01On doit montrer qu'on a un rectangle.
19:03C'est ça.
19:05Alors, qu'est-ce qui va montrer que c'est un rectangle ?
19:07Alors, on peut se casser la tête un petit peu,
19:09prendre des considérations
19:11de plans perpendiculaires,
19:13et ceci et cela. Je vais
19:15tout simplement...
19:17On va se rappeler nos cours de cinquième.
19:19On va montrer
19:21que ce quadrilatère
19:23est tout simplement un parallélogramme.
19:25Donc, prendre au choix
19:27un des deux vecteurs opposés, entre guillemets.
19:29Donc, on pourrait prendre
19:31AH1 et H2H.
19:33Calculer leurs coordonnées, étant donné que tous les points,
19:35de toute façon, on a leurs coordonnées,
19:37ce qui nous met un peu la puce à l'oreille.
19:39On nous donne H2 juste avant, on nous rappelle les coordonnées de H.
19:41Donc,
19:43si ces deux vecteurs sont égaux,
19:45ils ont les mêmes coordonnées.
19:47Donc, on a effectivement un parallélogramme
19:49AH1HH1. C'est un peu difficile à prononcer.
19:51C'est un parallélogramme.
19:53Il suffit ensuite, tout simplement, de montrer qu'on a un angle droit.
19:55Donc, on va choisir,
19:57pourquoi pas, AH2
19:59et AH1. Calculer leur produit scalaire.
20:01On montrera qu'on a donc
20:03un angle droit, étant donné que les vecteurs
20:05sont orthogonaux. Et on aura montré
20:07finalement que c'est un rectangle.
20:09Voilà.
20:11Ça, c'était pour l'exercice 3.
20:13Et on passe au dernier.
20:15Le dernier, l'exercice 4, sur une fonction
20:17avec du petit logarithme n'était rien.
20:19C'est ça. La fonction qui est représentée
20:21ici, mais aussi sur vos sujets, de toute façon, à la maison.
20:25Il fallait commencer par déterminer, encore une fois,
20:27la limite de la fonction en moins l'infini.
20:29C'est ça. En moins l'infini, c'est plus l'infini. Il faut faire attention.
20:31Et on a l'exponentiel de moins X
20:33qui tend en moins l'infini, donc,
20:35vers l'infini.
20:37Et notre fonction Ln, donc, par composé de fonctions,
20:39ça tend vers plus l'infini.
20:41Voilà. Puis, l'inverse,
20:43du coup. Terminer la fonction en plus l'infini.
20:45En plus l'infini, eh bien, tout simplement,
20:47on a notre fonction, donc,
20:49f de X qui va tendre
20:51envers Ln de 1, soit 0.
20:53Et à partir de là, on nous demande une interprétation
20:55graphique de ce résultat. De toute façon,
20:57avec les limites d'une fonction,
20:59on ne va pas parler
21:01de grand-chose d'autre qu'un symptote.
21:03Il s'agit de dire que
21:05Cf, donc la courbe représentative
21:07de F, ou plutôt C comme ils l'ont appelé,
21:09met une asymptote horizontale
21:11d'équation Y qui est égale à 0, soit l'axe des abscisses.
21:13Et on le voit bien, en plus, ça nous conforte dans notre...
21:15Ça a l'air d'être ça, quoi.
21:17Oui, c'est ça. Alors, il ne fallait pas dire
21:19la figure montre que, il fallait quand même le raisonner.
21:21Voilà, juste... Oui, oui.
21:23C'était de la figure... Parce que même moi, j'avais trouvé
21:25juste avec la figure, je me suis dit, bon, ça doit être ça, mais...
21:27Ça doit être 0, effectivement, mais non. J'aurais pas eu de point.
21:29Alors, sur F,
21:31qui est une fonction dérivable sur R,
21:33F' la dérivée,
21:35calculer F' du X, comment ça marche ?
21:37Bah, en fait, on calcule la dérivée,
21:39c'est une dérivée très classique, mais l'idée, c'est qu'on tombe
21:41à F' de X est égale à moins exponentielle
21:43de moins X sur 1
21:45plus exponentielle de moins X. Là, l'idée, c'était
21:47de simplifier par exponentielle
21:49de moins X, ce qui nous donnait
21:51moins 1 sur 1 plus exponentielle de X.
21:53Ne pas oublier que
21:55exponentielle de moins X, exponentielle de X
21:57sont inverses l'un de l'autre. Voilà. D'où le petit
21:59tour de passe-passe. Et effectivement,
22:01F' de X, comme ça, c'est beaucoup plus propre,
22:03parce qu'on pourra en déduire le signe
22:05assez facilement.
22:07Je me permets d'enchaîner tout de suite. Et du coup, c'est le tableau de variation.
22:09Voilà, parce qu'on va voir, justement,
22:11pour les variations de F, il nous faut effectivement
22:13le signe de F' de X.
22:15Donc, étant donné qu'exponentielle est strictement
22:17positive sur R,
22:19eh bien, F' de X
22:21est négative, strictement,
22:23pour toute X appartenant à R, donc F est
22:25strictement décroissante sur R.
22:27Alors, on nous demandait en deuxième question,
22:29la tangente T0 qui est représentée
22:31sur le graphique, comment est-ce qu'on détermine
22:33cette expression ? Petite formule, un petit peu lourde
22:35à apprendre pour certains élèves, c'est Y qui est
22:37égale à F' de 0 facteur de X
22:39moins 0 plus F de 0.
22:41On calcule F de 0, ça nous fait ln de 2.
22:43On calcule F' de 0, ça nous fait moins 1 demi.
22:45Donc on a Y qui est égal à moins 1 demi
22:47de X plus ln de 2. La formule n'était
22:49pas donnée, hein ? La formule n'était pas donnée.
22:51OK, donc encore une fois, question de cours.
22:53La fonction F devient convexe,
22:55enfin, elle était déjà sur R. Une démonstration
22:57encore ? Alors,
22:59pour la B, on vous demande
23:01qu'une fonction est convexe. Là, on va calculer
23:03la dérivée seconde. On calcule la dérivée
23:05seconde qui est égale à exponentielle de X
23:07sur 1 plus exponentielle
23:09de X, le tout au carré. C'est une fonction
23:11qui est positive, ça se justifie en
23:13deux coups de cuillère à peau. On a donc
23:15F seconde qui est strictement positive.
23:17Donc, pour tout X appartenant à R,
23:19F est convexe sur
23:21R, tout simplement. Et la question
23:23C de C ? Si elle est convexe sur
23:25R graphiquement, qu'est-ce que ça veut dire ?
23:27Ça équivaut à dire que la courbe
23:29est au-dessus de
23:31toutes ces tangentes sur R.
23:33Donc, ça veut dire que F de X
23:35est supérieur ou égal à
23:37notre Y de l'équation
23:39de T0, parce qu'on
23:41prendrait comme
23:43tangente T0, pourquoi pas, c'est pas
23:45impossible. Et ce qui nous donne donc
23:47F de X supérieur ou égal à moins 1 demi de X
23:49plus ln de 2.
23:51Et donc, question 3 pour terminer.
23:53Alors,
23:55pour tout réel à
23:57différentes zéros, on nous donne
23:59des points de MA et NA
24:01et il faut montrer qu'on a
24:03ici F de moins X égale moins X.
24:05C'est ça. Alors là, on ne va pas parler des points
24:07tout de suite, parce que
24:09on va tout simplement partir de F de X
24:11moins F de moins X.
24:13Donc, on a F de X qui est donné, on remplace tout simplement
24:15à l'intérieur. Ce qui va nous donner,
24:17alors là, c'est un petit peu technique parce qu'il faut connaître,
24:19c'est là-dessus que vous allez peut-être
24:21se sentir un petit peu lésés
24:23nos élèves qui ont passé
24:25c'est le sujet d'aujourd'hui. Donc, l'équation
24:27de la tangente, il n'y avait pas hier, ça tombe
24:29aujourd'hui. Effectivement,
24:31les propriétés de calcul
24:33de la fonction ln qui
24:35transforme, donc
24:37on se retrouve avec ln de quelque chose moins ln
24:39de quelque chose, ce qui nous donne finalement
24:41ln de 1 plus exponentielle de moins X
24:43pour pas trop rentrer dans les détails, divisé par
24:451 plus exponentielle de X et elle
24:47transforme, on peut factoriser le numérateur
24:49par exponentielle de moins X,
24:51ce qui, elle transforme un produit
24:53en somme. Donc, on se retrouve
24:55finalement avec ln de exponentielle
24:57de moins X, plus loin,
24:59plus ln de 1, ce qui
25:01nous donne donc moins X, parce que
25:03ln et exponentielle sont réciproques
25:05l'une de l'autre. Et tout ça nous fait dire que les droits
25:07de T0 et ma NA sont parallèles.
25:09Bah en fait, on le voit. Pas forcément directement,
25:11ouais, on le voit. Donc, on a
25:13notre droit de T0, on ne va pas en parler
25:15pour l'instant. Ce qui va nous intéresser, c'est quoi
25:17finalement, si on nous donne ces deux points-là.
25:19On se retrouve ici, on voit
25:21que nous avons donc F2,
25:23F2A.
25:25Si on considère qu'ici, son abscisse
25:27au point NA, c'est A.
25:29Ici, nous avons moins A.
25:31Et ici, nous avons F2A.
25:33Mais qu'est-ce qu'on cherche à nous dire par là ? Ah !
25:35D'accord, on peut avoir, grâce à MA
25:37et NA, on peut avoir le coefficient directeur
25:39de la droite, MA, NA,
25:41grâce à leurs coordonnées.
25:43Donc, je vais me permettre
25:45pourquoi pas décrire...
25:47Non, non, pas la peine. Donc, on a
25:49notre dénivelé, ici, vertical,
25:51qu'on pourrait calculer sur
25:53un écart. Donc, sur cet écart-là.
25:55Cet écart-là qui vaut 2A, ça rentrait
25:57dans les détails de calcul. Et ici,
25:59on a, en haut,
26:01on a donc F2, on pourrait dire
26:03F2A. Alors, il faut
26:05prendre l'ordre. Donc, F2A.
26:09Pardon, ici, c'est F2-A, voilà.
26:11Donc, F2A moins
26:13F2-A
26:15sur
26:17A-A.
26:19D'accord ?
26:21Ça, ça nous fait... Vous, pardon.
26:23Ça, ça nous fait...
26:25Ça, ça nous fait 2A. Donc, on est sûrs de 2A. Hop !
26:27Et ceci, ça ne vous fait
26:29penser à rien ? C'est ce qu'on avait
26:31juste avant. On a montré que pour
26:33toute x appartenant
26:35à R, à grand R,
26:37ce qui est le cas de A, ça ne dérogerait
26:39pas la règle exactement. Et en simplifiant,
26:41on se retrouve avec moins 1,5. Alors, moins 1,5,
26:43qu'est-ce que c'est ? C'est également
26:45le coefficient directeur de notre droite T0.
26:47Et deux droites qui ont le même coefficient directeur,
26:49ce sont deux droites qui sont parallèles.
26:51Voilà. Donc, les maths, c'est de la magie.
26:53Un petit peu.
26:55OK. On espère quand même que les candidats
26:57ne se sont pas sentis lésés au point de faire une pétition.
26:59On va quand même guetter un peu ce qui se passe.
27:01Merci Mehdi pour ce corrigé.
27:03Je vous en prie, je vous en prie Thibault.
27:05Merci à tous d'avoir suivi cette vidéo. On espère que c'est
27:07un peu plus clair pour vous. Ne quittez pas
27:09tout de suite la chaîne YouTube de l'étudiant puisqu'on
27:11retrouve également le corrigé de HLP, le corrigé
27:13de SES pour aujourd'hui. Et ceux d'hier
27:15sont en ligne. C'était également les maths avec Mehdi,
27:17la physique chimie et les SES.
27:19Sur l'étudiant.fr,
27:21tous les corrigés écrits et le détail.
27:23Vous pourrez vous pencher notamment sur l'exercice de maths
27:25et sur votre autre spécialité dans
27:27le détail. Encore une fois, très prononcé.
27:29Aucun souci là-dessus. Et puis,
27:31l'année n'est pas terminée. Même si vos spécialités sont
27:33finies, vous n'êtes pas en vacances. Donc, restez connectés
27:35à nos réseaux, à l'étudiant.fr.
27:37On va vous trouver des raisons de rester motivés. Vous n'en faites pas pour ça.
27:39En attendant, je vous dis à bientôt.
27:43...
27:45...
27:47...
27:49...