Cours téléchargeable ici : https://drive.google.com/file/d/1DP0cvwUAdXrBzQakA-JaYx65Gw1VQrbV/view?usp=sharing
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
TD Forge disponible ici : https://dai.ly/x97julq
Que la Forge soit avec toi !..
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ÉducationTranscription
00:00Mes respects à tout le monde, bienvenue dans la Forge du Quantum.
00:25Aujourd'hui, atelier MAN numéro 25, système d'inéquations, deux inéquations, deux inconnues.
00:32Et on commence sans plus attendre par quelques rappels qui ne feront pas de mal.
00:36Tu disposes de deux écritures pour désigner une droite.
00:40La première est l'équation cartésienne, notez D, deux points, AX plus BY plus C est égale à zéro, avec le triplet A, B, C, réel.
00:51La seconde est l'équation réduite, notez D, deux points, Y égale à MX plus P, avec le couple M, P, réel.
01:00Je vais te dérouler la procédure qui permet de passer de la première à la seconde.
01:05Rien de bien compliqué.
01:07Tu pars de AX plus BY plus C égale à zéro, tu isoles BY, qui sera égale à moins AX, moins C.
01:14Division par B pour obtenir Y égale à moins AX moins C sur B.
01:20Attribution du dénominateur à chaque terme, donc Y égale à moins A sur B, fois X, moins C sur B.
01:27Je te conseille de ramener le signe moins sur C, et écrire Y égale à moins A sur B, fois X, plus, moins C sur B.
01:36On retrouve donc l'équation réduite, Y égale à MX plus P, avec M égale à moins A sur B, et P égale à moins C sur B.
01:45C'est tout.
01:46Next.
01:48Deux droites seront strictement parallèles si, premièrement, elles ont le même coefficient directeur, noté M, mais pas à même ordonnée à l'origine, noté P.
01:58En second, elles auront le même vecteur directeur, les coefficients AIB seront identiques dans l'équation cartésienne, mais pas le même coefficient C.
02:07En dernier, elles ont deux vecteurs directeurs collinéaires, mais ces deux droites ne passent pas par le même point.
02:13Next.
02:15Deux droites seront confondues si elles ont la même équation réduite, la même équation cartésienne, ou deux équations cartésiennes reliées par un coefficient multiplicateur réel.
02:25Soit les droites D1 et D2, avec leur équation cartésienne.
02:29Elles sont confondues car on peut remarquer que l'équation cartésienne de D2 est égale au triple de celle de D1.
02:36Aussi simple que ça.
02:38Next.
02:40Deux droites seront séquentes si elles n'ont pas le même coefficient directeur, M différent, ou des vecteurs directeurs non collinéaires.
02:47Dans ce dernier cas, un seul point d'intersection entre les deux droites, dont les coordonnées seront déterminées par la résolution algébrique ou graphique d'un système d'équation.
02:57Abordé dans l'atelier précédent.
02:59Disponible dans la description.
03:01Catalogue de vidéos.
03:02Onglet Mandelbrot.
03:03Atelier MAE n°24.
03:06Maintenant que ces rappels ont été faits, je vais pouvoir te parler des signes inéquations et de comment je vais les représenter dans mon cours.
03:14Quand tu traites les inéquations, tu as quatre signes possibles.
03:18Le strictement inférieur, le strictement supérieur, le inférieur ou égal, et le supérieur ou égal.
03:26Pour simplifier mon cours, j'ai décidé d'adopter ce signe, existant en deux versions symétriques,
03:32qui représente à lui seul la concaténation des quatre signes inéquations.
03:36On peut voir le signe égal en diagonale entre les deux signes strictement inférieurs et strictement supérieurs qui sont superposés.
03:43Il sera le caractère mathématique du mot « inégal » que je vais employer dans cet atelier.
03:49Ne pas oublier que multiplier ou diviser par un nombre négatif entraîne une inversion des signes d'inéquation.
03:55Très important.
03:57Une erreur est si vite arrivée.
03:59Maintenant, tu as tous les éléments nécessaires pour la compréhension de ce qui va suivre.
04:04C'est parti !
04:06Les inéquations à deux inconnues, qu'est-ce donc ?
04:09Elles auront l'écriture suivante.
04:12Une accolade ouvette, une première ligne avec l'inéquation AX, plus BY, plus C inégale à zéro,
04:19une seconde ligne avec l'inéquation A'X, plus B'Y, plus C' inégal à zéro,
04:25avec les triples A, B, C, et A'B'C' des réels.
04:32Résoudre un système d'inéquations linéaires à deux inconnues, c'est trouver tous les couples, notés X, Y, entre parenthèses,
04:40vérifiant simultanément les deux inéquations.
04:43Maintenant que tu sais à quoi ça ressemble, on va commencer par aborder la résolution graphique,
04:48ce qui indique que tu vas avoir besoin de ta règle de 30 cm, et d'une mine de crayon bien taillée.
04:54Avant de se lancer dans la résolution graphique, il convient de transformer les inéquations cartésiennes,
04:59AX plus BY plus C inégale à zéro, en inéquations réduites, Y inégale à MX plus P,
05:06puis de vérifier quelles seront les couples solutions du système.
05:10Si le signe d'inéquation est celui-ci, strictement inférieur, les couples solutions sont strictement en dessous de la droite.
05:17Si le signe d'inéquation est celui-là, strictement supérieur, les couples solutions sont strictement au-dessus de la droite.
05:25Si le signe d'inéquation est celui-ci, inférieur ou égal, les couples solutions sont en dessous de la droite, en incluant.
05:33Si le signe d'inéquation est celui-là, supérieur ou égal, les couples solutions sont au-dessus de la droite, en incluant.
05:40Le but est de colorer les zones du graph solution du système.
05:44Cool, tu vas pouvoir sortir tes crayons de couleur ou tes craies grasses, et tu ne devras en aucun cas dépasser les bords.
05:52Tu as le droit de tirer la langue si besoin, comme cet enfant qui se concentre sur son dessin, ça te permettra d'être plus efficace.
06:00Petit aparté, tu savais que si ta raison ne t'interdisait pas de tirer la langue pendant tes activités manuelles, tu le ferais sans y prêter attention, tes mains étant intimement liées à ta langue.
06:11L'explication des chercheuses qui ont étudié le phénomène est que les gestes sont accompagnés de mouvements de langue,
06:17car les mains et la langue sont deux parties du corps liées au langage et à la communication, avec leur zone de traitement voisine dans le cerveau.
06:25L'expérience rejoint la théorie alternative, relancée depuis une trentaine d'années par plusieurs auteurs,
06:31selon laquelle le langage provient de la communication gestuelle plus que des vocalisations.
06:36Et nous, dans le sud de la France, non seulement on a la langue bien pendue, mais cette tchatche incessante est toujours accompagnée avec les mains.
06:44Revenons à nos inéquations.
06:46Soit le système suivant.
06:494x moins y plus 2 supérieur ou égal à 0, moins x moins y plus 3 inférieur ou égal à 0,
06:56qui sera transformé en y inférieur ou égal à 4x plus 2, y supérieur ou égal à moins x plus 3,
07:03ce qui se traduit par la zone en dessous de la droite 4x plus 2, et en même temps au-dessus de la droite moins x plus 3.
07:10Maintenant, il faut tracer les deux droites dans un repère orthonormé.
07:14Il te faudra de la minutie, une règle de 30 cm et une mine de crayons bien taillées.
07:20Tu devras obtenir un truc comme ça.
07:23Une fois que c'est fait, tu prends tes crayons de couleur et tu colories en rouge la zone en dessous de la droite rouge,
07:29en bleu la zone au-dessus de la droite bleue, la superposition des deux couleurs, le violet,
07:34ainsi que les portions de droite adjacentes à cette zone violette, grâce aux signes d'inéquation contenant le égal,
07:40sera la zone solution du système d'inéquation.
07:43Pas plus compliqué que ça.
07:45Concrètement, ça indique que tous les points ayant pour coordonnées les abscisses x et les ordonnées y contenues dans la zone indiquée précédemment
07:53seront solution du système, comme le point A de coordonnées 3, 4, ou le point B de coordonnées 2, 1.
08:00D'où l'importance d'avoir un traçage des droites minutieux et d'être concentré pour ne pas dépasser les bords lors de la séance coloriage.
08:08Par conséquent, si tirer la langue peut faire en sorte que tout se passe pour le mieux, n'hésite pas.
08:14Fini avec la résolution graphique, on passe à la résolution algébrique.
08:18Et tu vas voir que c'est encore plus simple que celle des systèmes d'équation.
08:22Un petit rappel qui ne fera pas de mal.
08:25Avant de se lancer dans la résolution graphique, il convient de transformer les inéquations cartésiennes
08:31en inéquations réduites, puis de vérifier quelles seront les couples solutions du système.
08:41Si le signe d'inéquation est celui-ci, strictement inférieur, les couples solutions sont strictement en dessous de la droite.
08:49Si le signe d'inéquation est celui-là, strictement supérieur, les couples solutions sont strictement au-dessus de la droite.
08:56Si le signe d'inéquation est celui-ci, inférieur ou égal, les couples solutions sont en dessous de la droite, en l'incluant.
09:04Si le signe d'inéquation est celui-là, supérieur ou égal, les couples solutions sont au-dessus de la droite, en l'incluant.
09:12Le but est de déterminer le système solution.
09:15Petit exemple qui permettra d'apporter un peu de lumière dans ce brouillard dense et oppressant.
09:21Soit ce système.
09:31Tu isoles le terme en Y dans chaque ligne, division, mise en forme de type MX plus P, simplification des fractions.
09:38Et le système solution, noté grand S, sera le suivant.
09:42Y supérieur ou égal à moins 2X moins 1, Y supérieur ou égal à 3X moins 4.
09:49Ne jamais oublier que multiplier ou diviser par un nombre négatif entraîne automatiquement une inversion des signes d'inéquation.
09:56Un signe mal orienté, c'est une erreur assurée.
10:00On peut te demander un couple solution.
10:03Pour cela, il faudra choisir des inconnus XY validant les deux inéquations.
10:08Je vais te donner un exemple en reprenant le système solution grand S précédent.
10:13Le couple 1, moins 2, n'est pas solution du système d'inéquation car il ne valide pas les deux inéquations.
10:20En remplaçant XY par respectivement 1 et moins 2 dans chaque ligne, et après calcul, on observe que la première ligne est vraie, mais pas la seconde.
10:29Donc impossible.
10:31Le couple 2, 7, est solution du système d'inéquation car il valide les deux inéquations.
10:38En remplaçant XY par respectivement 2 et 7 dans chaque ligne, et après calcul, on observe que la première ligne est vraie, la seconde aussi.
10:47Donc tout est bon.
10:49Maintenant, comment combiner la justesse avec la vitesse de résolution dans les systèmes d'inéquation ?
10:55Avant de partir tête baissée dans des calculs longs et fastidieux amenant indéniablement son lot d'étourderies attentatoires,
11:01erreurs de calculs ou de signes, il est judicieux de vérifier s'il est possible de simplifier chaque inéquation dans le système.
11:08Prendre un peu de temps dans la réflexion pour ne pas en perdre inutilement dans la réalisation.
11:13Tel doit être ton entrat dans la résolution des systèmes d'inéquation.
11:17Première technique, la factorisation.
11:20Et oui, on la voit aussi dans les systèmes d'inéquation.
11:24Il faut toujours travailler avec des nombres les plus petits possibles, ce qui implique qu'il est impératif de maîtriser parfaitement les critères de divisibilité.
11:32Si ce n'est pas le cas, tu trouveras tout ce dont tu as besoin dans la description de cet atelier.
11:37Catalogue de vidéos.
11:39Onglet prérequis.
11:40Base numéro 9.
11:41Ou onglet Vandelbrot.
11:43Atelier MAN numéro 7.
11:45Soit ce système.
11:478X plus 6Y inférieur ou égal à moins 4.
11:52Moins 15X plus 9Y inférieur ou égal à 21.
11:56Factorisation de la ligne 1 par 2, factorisation de la ligne 2 par 3.
12:01Pour obtenir ce gros bloc, et après élimination des facteurs de chaque côté du signe inégal dans les deux inéquations,
12:07le système sera simplifié en 4X plus 3Y inférieur ou égal à moins 2, moins 5X plus 3Y inférieur ou égal à 7.
12:16La factorisation est possible sur une ligne, ou sur les deux, avec le même facteur, ou non.
12:22Tout simple, encore faut-il avoir l'idée d'y penser.
12:26Seconde technique, la suppression des fractions.
12:29Notion qui mettra un vent de panique dans le cerveau de n'importe quel élève.
12:33Bien entendu, la maîtrise du PPCM est impérative pour cette technique,
12:38et tu trouveras ton bonheur dans la description de cet atelier.
12:41Catalogue de vidéos.
12:42Onglet prérequis.
12:43Base numéro 22.
12:45Sois ce système, avec de belles fractions comme tu les détestes.
12:50Pour la ligne 1, les dénominateurs sont 3, 5, et 1, ce qui entraîne que le PPCM est 15.
12:57Pour la ligne 2, les dénominateurs sont 5, 2, et 4, ce qui entraîne que le PPCM est 20.
13:04Donc, il faudra mettre chaque fraction de la première ligne sur 15, et celle de la seconde ligne sur 20.
13:10Multiplication, par les coefficients adéquats, des numérateurs et dénominateurs de chaque fraction de la première ligne,
13:17puis de la seconde, pour obtenir ceci.
13:20On a désormais une homogénéité fractionnaire dans chaque ligne, ce qui devrait être moins perturbant pour toi.
13:26Maintenant, suppression des dénominateurs dans chaque inéquation pour arriver à un système bien plus élégant qu'au départ.
13:33La factorisation sur la première ligne, par 2, rajoute l'éclat qui manquait au système,
13:39qui devient désormais le suivant.
13:415X moins 6Y inférieur ou égal à 15.
13:4516X plus 70Y supérieur ou égal à moins 15.
13:50Même si certains des nombres obtenus sont grands, il est plus confortable de travailler avec eux qu'avec des fractions.
13:56Et je suis persuadé que tu es d'accord avec moi.
14:00Un conseil important, ne pas confondre vitesse et précipitation.
14:04Sinon, ça engendre indéniablement son lot d'étourderies attentatoires, erreurs de calcul ou de signes, ou pire, un signe inégal mal orienté.
14:13Tu dois prendre un peu de temps dans la réflexion pour ne pas en perdre inutilement dans la réalisation.
14:18Un mantra qui s'applique dans tous les exercices de maths, et même dans la vie en général.
14:23L'atelier est désormais terminé.
14:26Tu as des questions ?
14:28Tu veux un complément d'information ?
14:30Rejoins-moi dans l'espace commentaires.
14:33Le cours complet en PDF, librement téléchargeable, est disponible dans la description de cette vidéo.
14:40Le tutoriel de travaux dirigé intitulé ForgeMAN hashtag 025, système d'inéquations, 2 équations, 2 inconnues, est accessible.
14:49Le lien est en description.
14:51Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
14:55A tout de suite.
14:57Tchuss !