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TD Forge disponible ici : https://dai.ly/x97373w
Que la Forge soit avec toi !..
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ÉducationTranscription
00:00Mes respects à tout le monde, bienvenue dans la forge du Quantum.
00:24Aujourd'hui, atelier MAN numéro 24, système d'équations, deux équations, deux inconnues.
00:30Et on commence sans plus attendre par quelques rappels qui ne feront pas de mal.
00:35Tu disposes de deux écritures pour désigner une droite.
00:39La première est l'équation cartésienne, notez D, deux points, AX plus BY plus C est
00:45égale à zéro, avec le triplet A, B, C, réel.
00:50La seconde est l'équation réduite, notez D, deux points, Y égale à MX plus P, avec
00:56le couple M, P, réel.
00:59Je vais te dérouler la procédure qui permet de passer de la première à la seconde.
01:04Rien de bien compliqué.
01:06Tu pars de AX plus BY plus C égale à zéro, tu isoles BY, qui sera égale à moins AX,
01:13moins C.
01:14Division par B pour obtenir Y égale à moins AX moins C sur B.
01:19Attribution du dénominateur à chaque terme, donc Y égale à moins A sur B fois X, moins
01:25C sur B.
01:26Je te conseille de ramener le signe moins sur C, et écrire Y égale à moins A sur
01:32B fois X, plus, moins C sur B.
01:35On retrouve donc l'équation réduite, Y égale à MX plus P, avec M égale à moins
01:41A sur B, et P égale à moins C sur B.
01:44C'est tout.
01:46Next.
01:47Deux droites seront strictement parallèles si, premièrement, elles ont le même coefficient
01:52directeur, notez M, mais pas à même ordonnée à l'origine, notez P.
01:57En second, elles auront le même vecteur directeur, les coefficients A et B seront identiques
02:03dans l'équation cartésienne, mais pas le même coefficient C.
02:07En dernier, elles ont deux vecteurs directeurs collinéaires, mais ces deux droites ne passent
02:11pas par le même point.
02:12Next.
02:13Deux droites seront confondues si elles ont la même équation réduite, la même équation
02:19cartésienne, ou deux équations cartésiennes reliées par un coefficient multiplicateur
02:23réel.
02:24Soit les droites d1 et d2, avec leur équation cartésienne.
02:28Elles sont confondues car on peut remarquer que l'équation cartésienne de d2 est égale
02:33au triple de celle de d1.
02:36Aussi simple que ça.
02:38Next.
02:39Deux droites seront séquentes si elles n'ont pas le même coefficient directeur, M différent,
02:44ou des vecteurs directeurs non collinéaires.
02:46Dans ce dernier cas, un seul point d'intersection entre les deux droites, dont les coordonnées
02:52seront déterminées par la résolution algébrique ou graphique d'un système d'équations.
02:56C'est justement ce que je vais te montrer sur le champ, les équations à deux inconnues,
03:01et tu vas te rendre compte assez vite que tu vas les retrouver dans beaucoup de chapitres
03:05en mathématiques, mais aussi en chimie, physique, et même en biologie.
03:09Elles auront l'écriture suivante.
03:12Une accolade ouverte, une première ligne avec l'équation ax, plus by, plus c égale
03:18à zéro, une seconde ligne avec l'équation a'x, plus b'y, plus c' égale à zéro,
03:25avec les triplets a, b, c, et a'b'c' des réels.
03:31Résoudre un système d'équations linéaires à deux inconnues, c'est trouver tous les
03:35couples, notés, x, y, entre parenthèses, vérifiant simultanément les deux équations.
03:42Dans la plupart des systèmes, les coefficients c et c' sont envoyés à droite du signe
03:47égal.
03:48On passe donc du système d'équations que je t'ai décrit il y a quelques secondes
03:52à celui-ci.
03:53a'x plus by égale à moins c, a'x plus b'y égale à moins c', les triplets a, b, c, et
04:02a'b'c' étant toujours des réels.
04:06Les deux écritures se valent, mais la seconde permet de séparer les variables inconnues,
04:12x et y, du reliquat numérique, c ou c'.
04:15Maintenant que tu sais à quoi ça ressemble, on va commencer par aborder la résolution
04:20graphique, ce qui indique que tu vas avoir besoin de ta règle de 30 cm, et d'une mine
04:25de crayon bien taillée.
04:26Avant de se lancer dans la résolution graphique, il convient de transformer les équations
04:31cartésiennes, a'x plus by plus c égale à zéro, en équation réduite, y égale amx
04:37plus p, puis de vérifier quel sera le nombre de couples solutions du système.
04:42Il n'y aura pas 36 000 situations, c'est plus simple que ce que tu penses.
04:47Si les droites sont strictement parallèles, coefficients directeurs identiques, ordonnées
04:52à l'origine différente, le système n'a pas de solution.
04:55La solution sera l'ensemble vide, le trait connu zéro barré.
04:59Je t'affiche sur l'écran un petit repère pour imager la situation, avec les fonctions
05:04f, en rouge, et g, en bleu, parfaitement côte à côte sur toute leur longueur, qui
05:10est infinie, je te le rappelle.
05:12Si les droites sont confondues, les équations réduites sont identiques, le système a une
05:17infinité de solutions, qui sont la droite toute entière.
05:20L'ensemble des solutions s'écrira ainsi.
05:23Ne pas oublier de remplacer m et p par leurs valeurs respectives.
05:27Je t'affiche à nouveau sur l'écran un petit repère pour imager la situation.
05:32La fonction f en rouge, la fonction g en bleu, ceci explique la droite violette dans le repère,
05:39qui représente la superposition de ces deux fonctions.
05:41Si les droites ne sont pas parallèles, les coefficients directeurs sont différents,
05:47il y aura une unique solution.
05:48Il faudra tracer les droites, en apportant un soin très particulier dans le traçage,
05:53et lire les coordonnées de leurs points d'intersection.
05:56L'ensemble des solutions sera noté ainsi, le couple, x, y, entre parenthèses, le tout
06:03en tracolade.
06:04Je t'affiche une fois de plus sur l'écran un petit repère pour imager la situation.
06:09Ici, le point A étant l'intersection des deux droites, ses coordonnées,
06:13moins 0,5, 2, sont les solutions.
06:16Fini avec la résolution graphique, on passe à la résolution algébrique,
06:21avec la méthode de substitution.
06:23La procédure est simple.
06:25Une des variables est isolée dans l'une des équations, ou lignes, du système noté E.
06:31Cette égalité sera notée E'.
06:34La variable est remplacée par sa nouvelle expression dans la seconde équation.
06:39La valeur numérique de la seconde variable est calculée.
06:42La valeur numérique de la première variable sera calculée grâce à l'expression E'.
06:48Pas de panique, je vais transformer cette obscure charabia technique en un exemple concret
06:53qui va t'apporter la lumière.
06:55Soit le système suivant.
06:572x-y égale à 1.
07:003x plus 5y égale à 21.
07:03Dans la ligne 1, y est isolé, donc E' indiquera que y égale à 2x-1.
07:10Dans la ligne 2, remplacement de y par 2x-1 pour obtenir 3x plus 5 facteur 2, 2x-1 égale à 21.
07:19Résolution de l'équation, ce qui implique une distributivité,
07:23le passage du moins 5 à droite, calcul, passage du 13 à droite, et x égale à 2.
07:29Pour le calcul de y, il suffit de remplacer la variable x par 2 dans E'.
07:35y sera égal à 3.
07:37Le couple 2-3 sera solution de ce système.
07:41Fin de la substitution, on passe à la méthode de la combinaison linéaire.
07:46Appelée aussi méthode par élimination, la procédure est simple.
07:50Tu vas faire un choix de l'inconnu à éliminer, x ou y.
07:56Multiplication de chacune des deux équations par un coefficient bien choisi pour faire
08:00apparaître le même nombre d'inconnus, en valeur absolue, à éliminer dans chaque équation.
08:05On somme, addition ou soustraction, ensuite membre à membre chaque ligne.
08:10L'inconnu choisi au départ disparaît, et on peut donc calculer l'autre.
08:14La première inconnue remplacée par sa valeur dans l'une des deux
08:18équations du départ permet de trouver la seconde.
08:21Et c'est tout.
08:22Toujours pas de panique, je vais transformer ce charbiat technique,
08:26encore plus sombre que le précédent, en un exemple concret qui va t'apporter
08:30la lumière nécessaire pour ton intellect.
08:32Soit le système suivant.
08:353x plus 7y égal à 14.
08:38Moins 5x plus 2y égal à 4.
08:42Par un choix arbitraire, l'inconnu à supprimer est x.
08:46Multiplication de la ligne 1 par 5, et de la ligne 2 par 3 pour obtenir le système
08:52suivant.
08:5315x plus 35y égal à 70.
08:57Moins 15x plus 6y égal à 12.
09:00Première ligne, 15x.
09:03Seconde ligne, moins 15x.
09:06Donc il va falloir faire une addition pour les supprimer.
09:09Une barre horizontale sous le système pour faire une addition standard.
09:13Le résultat sera 0x plus 41y égal à 82.
09:19Par calcul, y sera égal à 2.
09:22Calcul de x.
09:24Dans la ligne 1, remplacement de y par 2, réduction, et x est égal à 0.
09:30Dans la ligne 2, remplacement de y par 2, réduction, et x est toujours égal à 0.
09:37Bon boulot.
09:38Tu n'es pas obligé de faire le calcul pour les deux lignes, tu n'en choisis qu'une,
09:43ce sera suffisant.
09:45Je veux juste te montrer que quelle que soit la ligne choisie, le résultat obtenu sera
09:49le même.
09:50Le couple, 0, 2, sera solution du système.
09:54Maintenant, comment combiner la justesse avec la vitesse de résolution dans les systèmes
09:59d'équations?
10:00Avant de partir tête baissée dans des calculs longs et fastidieux amenant indéniablement
10:05son lot d'étourderies attentatoires, erreurs de calcul ou de signes, il est judicieux de
10:10vérifier s'il est possible de simplifier chaque équation dans le système.
10:14Prendre un peu de temps dans la réflexion pour ne pas en perdre inutilement dans la
10:18réalisation.
10:19Tel doit être ton entrée dans la résolution des systèmes d'équations.
10:23Première technique, la factorisation.
10:26Et oui, on la voit aussi dans les systèmes.
10:29Il faut toujours travailler avec des nombres les plus petits possibles, ce qui implique
10:33qu'il est impératif de maîtriser parfaitement les critères de divisibilité.
10:38Si ce n'est pas le cas, tu trouveras tout ce dont tu as besoin dans la description de
10:42cet atelier, catalogue de vidéos, onglet prérequis, base numéro 9, ou onglet Vandelbrot,
10:48atelier MAN numéro 7.
10:50Soit ce système.
10:528x plus 6y égale à moins 4.
10:56Moins 15x plus 9y égale à 21.
10:59Factorisation de la ligne 1 par 2, factorisation de la ligne 2 par 3, pour obtenir ce gros
11:05bloc, et après élimination des facteurs de chaque côté du signe égal dans les deux
11:09équations, le système sera simplifié en 4x plus 3y égale à moins 2, moins 5x plus
11:153y égale à 7.
11:17La factorisation est possible sur une ligne, ou sur les deux, avec le même facteur, ou
11:23non.
11:24Tout simple, encore faut-il avoir l'idée d'y penser.
11:27Seconde technique, la suppression des fractions, notion qui mettra un vent de panique dans
11:32le cerveau de n'importe quel élève.
11:34Bien entendu, la maîtrise du PPCM est impérative pour cette technique, et tu trouveras ton
11:40bonheur dans la description de cet atelier.
11:42Catalogue de vidéos.
11:44Onglet prérequis.
11:45Base numéro 22.
11:47Soit ce système, avec de belles fractions comme tu les détestes.
11:51Pour la ligne 1, les dénominateurs sont 3, 5, et 1, ce qui entraîne que le PPCM est
11:5715.
11:59Pour la ligne 2, les dénominateurs sont 5, 2, et 4, ce qui entraîne que le PPCM est
12:0520.
12:06Donc, il faudra mettre chaque fraction de la première ligne sur 15, et celle de la
12:10seconde ligne sur 20.
12:12Multiplication, par les coefficients adéquats, des numérateurs et dénominateurs de chaque
12:17fraction de la première ligne, puis de la seconde, pour obtenir ceci.
12:22On a désormais une homogénéité fractionnaire dans chaque ligne, ce qui devrait être moins
12:26perturbant pour toi.
12:28Maintenant, suppression des dénominateurs dans chaque équation pour arriver à un système
12:32bien plus élégant qu'au départ.
12:35La factorisation sur la première ligne, par 2, rajoute l'éclat qui manquait au système,
12:40qui devient désormais le suivant.
12:425 x moins 6 y égale à 15.
12:4516 x plus 70 y égale à moins 15.
12:49Même si certains des nombres obtenus sont grands, il est plus confortable de travailler
12:54avec eux qu'avec des fractions.
12:56Et je suis persuadé que tu es d'accord avec moi.
12:59Changement de paragraphe avec une notion qui est en partie hors programme, mais que
13:04je te propose quand même car ça pourra te sauver de situations problématiques en interro.
13:09C'est le changement de variable.
13:11Imagine, en devoir surveiller, tu tombes sur ça.
13:15Pas mal, n'est-il pas?
13:17J'ai un faible pour la dernière, car les racines carrées sont encore plus perturbantes
13:22que les fractions.
13:23À parler pour la énième fois l'énoncé en maudissant l'instigateur de cette félonie
13:27sur 11 générations.
13:28Comment les résoudre?
13:30Il suffit de les ramener en équation du premier degré en effectuant un changement de variable.
13:35Mais quelle est cette diablerie?
13:37Première monstruosité mathématique.
13:40Il faudra poser grand x égale à x au carré, et grand y égale à y au carré.
13:47Le système se réécrira en 2 grand x moins 3 grand y égale à moins 67, 4 grand x moins
13:53grand y égale à 11.
13:55En utilisant l'une des méthodes de résolution vues précédemment, substitution ou combinaison
14:00linéaire, que je ne vais pas détailler ici, trop long, mais je t'encourage à vérifier
14:05mes calculs, on obtient grand x égale à 10, et grand y égale à 29.
14:10Sachant que grand x est égale à x au carré, x sera égal à plus ou moins racine carré
14:15de grand x.
14:17Donc x prendra les valeurs moins racine carré de 10, et racine carré de 10.
14:22Sachant que grand y est égal à y au carré, y sera égal à plus ou moins racine carré
14:28de grand y.
14:29Donc y prendra les valeurs moins racine carré de 29, et racine carré de 29.
14:35Deux valeurs possibles pour X, même chose pour Y, il y aura donc quatre couples solutions
14:41de ce système, que j'affiche sur ton écran.
14:44Chaque valeur de X sera associée aux deux valeurs de Y dans un ensemble de coordonnées.
14:49Seconde monstruosité mathématique.
14:52Il faudra poser X égale à 1 sur X et Y égale à 1 sur Y.
14:59Le système se réécrira en 3X plus 2Y égale à 5, moins 2X plus Y égale à 2.
15:07En utilisant l'une des méthodes de résolution vues précédemment, substitution ou combinaison
15:12linéaire, que je ne vais pas détailler ici, trop long, mais je t'encourage de nouveau
15:17à vérifier mes calculs, on obtiendra X égale à 1 septième, et Y égale à 16 septième.
15:24Sachant que X est égal à 1 sur X, X est égal à 1 sur X, donc X égale à 7.
15:31Sachant que Y est égal à 1 sur Y, Y est égal à 1 sur Y, donc Y est égal à 7
15:39seizième.
15:40Le couple 7, 7 seizième, est solution du système.
15:45Dernière monstruosité mathématique.
15:48Il faudra poser X égale à racine carrée de X, et Y égale à racine carrée de Y.
15:54Le système se réécrira en 5X plus 7Y égale à moins 9, 2X plus 8Y égale à 36, mais
16:03une factorisation par 2, de la ligne 2 permet d'avoir le système simplifié suivant.
16:09Moins 5X plus 7Y égale à moins 9, X plus 4Y égale à 18.
16:15En utilisant l'une des méthodes de résolution vues précédemment, substitution ou combinaison
16:20linéaire, que je ne vais pas détailler ici, trop long, mais je t'encourage une dernière
16:25fois à vérifier mes calculs, on obtiendra X égale à 6, et Y égale à 3.
16:31Sachant que X égale à racine carrée de X, X égale à X au carré, donc X égale à 36.
16:39Sachant que Y égale à racine carrée de Y, Y égale à Y au carré, donc Y égale à 9.
16:47Le couple 36, 9, est solution du système.
16:52Dans le changement de variable, il est impératif de vérifier le domaine de validité de la
16:57variable, ou inconnue, avant tout traitement.
17:00Je rappelle qu'un carré est toujours positif ou nul, la division par zéro est impossible,
17:05et enfin, une racine carrée ne peut contenir qu'un réel positif ou nul.
17:10Par exemple, si dans un système, tu as X égale à moins 3, alors que tu as posé que X égale
17:17à X au carré, le système n'aura aucune solution, du fait qu'un carré ne peut pas
17:21être négatif.
17:22Pas si compliqué que ça quand on connaît les procédures à appliquer.
17:26Tu n'as donc plus aucune excuse maintenant.
17:30Dernier paragraphe, comment choisir la bonne technique qui t'empêchera de te perdre dans
17:34des calculs fastidieux et moutes chronophages ?
17:37Combinaison linéaire ou substitution ? Laquelle choisir pour résoudre le système avec justesse
17:44et vitesse ?
17:45Tout va dépendre des coefficients réels du système, donnés dans l'énoncé ou après
17:49simplification, devant les variables inconnues.
17:52S'il n'y a aucun réel devant une variable, il faudra utiliser la substitution.
17:57Par exemple dans ce système, tu isoles X dans la première ligne, et tu reportes son
18:03expression avec Y, en rouge, dans la seconde ligne, pour continuer la procédure, que je
18:08n'ai pas écrite, trop longue et hors propos, et trouver le couple solution.
18:12Dans tous les autres cas, la combinaison linéaire s'impose, à moins de vouloir trimballer
18:18des fractions imbuvables tout au long de la résolution, même s'il est évident que
18:22tu vas tout de même en avoir, les profs sont parfois très taquins.
18:26Un conseil important, ne pas confondre vitesse et précipitation.
18:30Sinon, ça engendre indéniablement son lot d'étourderies attentatoires, erreurs de
18:35calcul ou de signes.
18:36Tu dois prendre un peu de temps dans la réflexion pour ne pas en perdre inutilement dans la
18:41réalisation, un mantra qui s'applique dans tous les exercices de maths, et même dans
18:45la vie en général.
18:46Quant à la combinaison linéaire, il faut choisir les coefficients multiplicateurs avec
18:52discernement pour ne pas compliquer la procédure.
18:55Par exemple, soit ce système.
18:574x plus 5y égale à moins 6, moins 8x plus 9y égale à 7.
19:04Trois possibilités s'offrent à toi.
19:06Si tu veux éliminer les y, ligne une fois 9, ligne deux fois 5.
19:11Si tu veux éliminer les x, soit tu fais ligne une fois 8, ligne deux fois 4, soit tu optes
19:17pour ligne une fois 2, ligne deux inchangées.
19:20Quelle est la meilleure technique ?
19:23La dernière, pour sur Arthur.
19:25C'est celle qui va demander le moins de calcul, et donc la probabilité de faire des erreurs
19:30est drastiquement diminuée.
19:31N'oublie pas, tu dois prendre un peu de temps dans la réflexion pour ne pas en perdre inutilement
19:37dans la réalisation.
19:38L'atelier est désormais terminé.
19:40Tu as des questions ? Tu veux un complément d'information ? Rejoins-moi dans l'espace
19:48commentaire.
19:49Le cours complet en PDF, librement téléchargeable, est disponible dans la description de cette
19:54vidéo.
19:55Le tutoriel de travaux dirigé intitulé FORGEM AN hashtag 024, système d'équations,
20:01deux équations, deux inconnues, est accessible.
20:04Le lien est en description.
20:06Je t'explique comment forger des exercices dans les règles de l'art.
20:10A tout de suite.
20:12Tchuss.