Schnittpunkte von quadratischen Funktionen untereinander und mit den Koordinatenachsen bestimmen
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LernenTranskript
00:00Schnittpunkte von Funktionen lassen sich nach einer bestimmten Systematik berechnen.
00:05In diesem Video schauen wir uns am Beispiel von quadratischen Funktionen an, wie man Schnittpunkte untereinander und mit den Koordinatenachsen berechnet.
00:18Wir haben hier die beiden quadratischen Funktionen f und g und die lineare Funktion h.
00:24Dabei sind die Schnittpunkte 1 und 2 die Schnittpunkte von f und g und die Schnittpunkte 3 und 4 die Schnittpunkte von g und h.
00:35Als erstes berechnen wir diese vier Schnittpunkte.
00:40Schnittpunkte werden berechnet, indem die beteiligten Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden.
00:46Für die Schnittpunkte 1 und 2 wird f mit g gleichgesetzt.
00:51Setzen wir die entsprechenden Funktionstherme aus der Aufgabenstellung ein.
00:57Bringen wir die Gleichung in die Allgemeinform, indem wir die rechte Seite der Gleichung subtrahieren.
01:04Jetzt können wir die Koeffizienten in die quadratische Auflösungsformel einsetzen.
01:10Dabei ist a minus 2, b ist 8 und c ist minus 6.
01:16Der Radikant gibt 16, also ist die Wurzel daraus 4.
01:21Als Lösung erhalten wir die Werte 1 und 3.
01:25Dies sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte.
01:29Indem wir diese Werte in f von x einsetzen, erhalten wir die y-Koordinaten der Schnittpunkte.
01:37Wenn wir also 1 einsetzen, gibt das 2 und wenn wir 3 einsetzen, gibt das minus 2.
01:43Die Schnittpunkte sind nun die Kombinationen der Lösungen.
01:48Also hat der Schnittpunkt 1 die Koordinaten 1 zu 2 und der Schnittpunkt 2 hat die Koordinaten 3 zu minus 2.
01:58Versucht nun die Schnittpunkte 3 und 4 selbstständig zu berechnen, bevor ihr das Video weiterschaut.
02:07Für die Schnittpunkte 3 und 4 setzen wir g und h gleich.
02:12Auch hier setzen wir als nächstes die Funktionstherme ein.
02:15Wir bringen die Gleichung in die Allgemeinform, indem wir die rechte Seite der Gleichung subtrahieren.
02:23Die Koeffizienten für die quadratische Auflösungsformel sind
02:27a ist 1, b ist minus 5,5 und c ist 2,5.
02:35Die Wurzel gibt ausgerechnet 4,5.
02:39Wir erhalten die beiden Lösungen 0,5 und 5.
02:44Hier ist es nun sinnvoll, die Werte in die lineare Funktion, also h, einzusetzen, weil die Berechnung einfacher ist.
02:51Für die erste y-Koordinate erhalten wir 4,25 und für die zweite erhalten wir 2.
03:00Somit hat der Schnittpunkt 3 die Koordinaten 0,5 zu 4,25 und der Schnittpunkt 4 die Koordinaten 5 zu 2.
03:11Als nächstes wollen wir die Schnittpunkte der Funktion g mit den Koordinatenachsen berechnen.
03:17Beginnen wir mit der Berechnung der Schnittpunkte mit der x-Achse.
03:23Diese Schnittpunkte nennt man auch Nullstellen.
03:27Zur Berechnung wird die Funktion, gleich 0, gesetzt.
03:31Setzen wir den Funktionsterm in die Gleichung ein.
03:35Die Gleichung hat bereits die allgemeine Form.
03:38Also können wir die Koeffizienten direkt in die quadratische Auflösungsformel einsetzen.
03:44a ist 1, b ist minus 6 und c ist 7.
03:50Rechnen wir die Wurzel aus, das gibt 2,83.
03:55Die erhaltenen Lösungen 1,59 und 4,42 sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte.
04:02Stellen wir nun die Lösungen auf, indem wir für die y-Koordinaten 0 einsetzen.
04:10Also hat die Nullstelle 1 die Koordinaten 1,59 zu 0 und die Nullstelle 2 die Koordinaten 4,42 zu 0.
04:21Als nächstes berechnen wir die Schnittpunkte mit der y-Achse.
04:25Dazu wird x, gleich 0, gesetzt.
04:30Setzen wir 0 in die Funktionsgleichung ein, das gibt 7.
04:35Dieser Wert ist die y-Koordinate des Schnittpunkts.
04:39Also hat der Schnittpunkt, mit der y-Achse, die Koordinaten 0 zu 7.
04:45Zum Schluss wollen wir noch ein paar Aussagen zu quadratischen Funktionen auf ihren Wahrheitsgehalt untersuchen.
04:53Die Aussage, dass ein Scheitelpunkt eine Funktion eindeutig definiert, ist falsch.
05:00Es braucht, neben dem Scheitelpunkt, noch eine weitere Angabe, entweder a, oder ein weiterer Punkt.
05:06Bei der nächsten Aussage wird behauptet, dass drei Punkte eine quadratische Funktion eindeutig bestimmen.
05:15Diese Aussage ist wahr.
05:18Die drei Punkte kann man dreimal in die Allgemeinform einsetzen, und ein 3x3-Gleichungssystem aufstellen.
05:26Die letzte Aussage lautet, dass die Nullstellen und der Streckungsfaktor genügen, um die Funktion eindeutig zu bestimmen.
05:34Diese Aussage ist wahr, denn wenn wir die Nullstellenform der quadratischen Funktion nehmen, haben wir alle nötigen Angaben, um diese aufzustellen.
05:45Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.