Fläche maximieren mit quadratischen Funktionen
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LernenTranskript
00:00Mit quadratischen Funktionen kann man den Flächeninhalt eines Rechtecks maximieren.
00:05In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.
00:12Wir haben hier eine Aufgabenstellung, bei der wir mit 100 Meter Zaun ein möglichst großes, rechteckiges Stück Land abstecken sollen.
00:22Dabei ist auf einer Seite das Grundstück durch einen See begrenzt.
00:26Dort braucht es also keinen Zaun.
00:30Gesucht ist also die Länge und die Breite des Grundstücks.
00:34Definieren wir L als die Länge und B als die Breite des Grundstücks in Meter.
00:41Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich aus Länge mal Breite.
00:46Das ist eine erste Gleichung.
00:49Die Zaunlänge ist die Länge plus zweimal die Breite.
00:54Das sind total 100 Meter.
00:56Beachtet, dass das Ufer keinen Zaun benötigt.
01:00Dann lösen wir die Gleichung nach L auf, indem wir 2b subtrahieren.
01:06Das ist unsere zweite Gleichung.
01:10Jetzt können wir die Gleichung 2 in die Gleichung 1 einsetzen, indem wir das L durch 100 minus 2b ersetzen.
01:18Dann multiplizieren wir die Klammer aus, das gibt 100b minus 2b².
01:25Wir haben nun eine Funktion, die den Flächeninhalt als Funktion der Breite beschreibt.
01:31Da der Koeffizient des quadratischen Glieds negativ ist, haben wir ein Maximum.
01:36Das Maximum können wir mit Hilfe des Scheitelpunktes bestimmen.
01:42Mit dieser Formel können wir ihn berechnen.
01:46Die x-Koordinate ist minus b, geteilt durch 2a, wobei a, minus 2, und b, 100 ist.
01:53Das gibt ausgerechnet 25.
01:58Die y-Koordinate ist c, minus b², geteilt durch 4a.
02:04a und b sind die gleichen Werte, c, kommt in der Funktionsgleichung nicht vor, also ist c, 0.
02:11Ausgerechnet gibt das 1250.
02:16Somit hat der Scheitelpunkt die Koordinaten, 25, zu 1250.
02:23Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist die Breite, bei der der Flächeninhalt maximal wird, also beträgt die Breite 25 m.
02:32Die Länge ist nach der zweiten Formel, 100 m, minus 2 mal die Breite, also 50 m.
02:39Die y-Koordinate des Scheitelpunktes entspricht dem maximalen Flächeninhalt, also beträgt dieser, 1250 m².
02:50Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.