Wurzelgleichung mit abc-Formel lösen, quadratische Gleichung
Link 1: Binomische Formeln https://youtu.be/XT6BLqE9ccM
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LernenTranskript
00:00Quadratische Gleichungen können in Form von Wurzelgleichungen vorliegen.
00:05In diesem Video lösen wir eine Wurzelgleichung mit zwei verschiedenen Wurzeln, mit Hilfe der ABC-Formel.
00:14Wir haben hier eine Wurzelgleichung, von der wir die Definitions- und die Lösungsmenge bestimmen sollen.
00:22Die Grundmenge sind dabei alle reellen Zahlen.
00:26Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:28Die gesuchte Größe x kommt unter zwei Wurzeln vor.
00:34Wurzeln können nur von nicht-negativen Zahlen gezogen werden, also müssen alle Radikanten größer oder gleich Null sein.
00:42Der erste Radikant ist 5x-4.
00:47Wir setzen ihn größer oder gleich Null.
00:50Um diese Ungleichung nach x aufzulösen, addieren wir 4.
00:55Dann dividieren wir durch 5.
00:58Also muss x größer oder gleich 0,8 sein.
01:03Der zweite Radikant, 3x, plus 1, setzen wir ebenfalls größer oder gleich Null.
01:10Wir subtrahieren 1 und dividieren anschließend durch 3.
01:13Für die Definitionsmenge der Gesamtgleichung müssen alle Bedingungen erfüllt sein.
01:25Das können wir zum Beispiel mit dem Zahlenstrahl herausfinden, indem wir jede Ungleichung darauf markieren.
01:33Der erste Teil, größer oder gleich 0,8, sieht so aus.
01:39Größer oder gleich minus 0,3 periodisch ist dieser Bereich.
01:44Wir sehen also, dass ab 0,8 alle Bereiche abgedeckt sind.
01:51Somit ist die Definitionsmenge alle reellen Zahlen, die größer oder gleich 0,8 sind.
01:56Machen wir mit der Gleichung selbst weiter.
02:00Um die Lösungsmenge zu bestimmen, müssen wir die Gleichung nach x auflösen.
02:06Dabei gehen wir wie folgt vor.
02:09Damit wir die Gleichung quadrieren können, muss eine Wurzel separiert sein.
02:14Also addieren wir die Wurzel aus 3x, plus 1, und 1.
02:21Als nächstes quadrieren wir die Gleichung.
02:24Achtet darauf, dass ihr jeweils die ganze linke, bzw. rechte Seite der Gleichung quadriert,
02:31das heißt, dass wir die rechte Seite in Klammern setzen müssen.
02:36Auf der linken Seite haben wir das Quadrat einer Wurzel, also lösen sie sich gegenseitig auf,
02:41und wir erhalten einfach den Radikanten.
02:44Auf der rechten Seite der Gleichung haben wir eine Summe, also müssen wir sie wie eine
02:49binomische Formel behandeln.
02:51Das Video unter dem Link 1, beschreibt die binomischen Formeln etwas genauer.
02:58Die Wurzel aus 3x, plus 1, entspricht dabei a, die 1, entspricht dem b.
03:04Das Ganze sieht jetzt aus wie eine erste binomische Formel.
03:08Diese ausgerechnet gibt a, im Quadrat, plus 2ab, plus b, im Quadrat.
03:16a ist die Wurzel, also ist a², einfach der Radikant.
03:20Der nächste Summand ist 2, mal die Wurzel, mal 1, und zum Schluss addieren wir noch 1, im Quadrat.
03:29Jetzt haben wir eine Gleichung, die nur noch eine Wurzel enthält.
03:34Wir separieren die Wurzel, indem wir 3x und 2 subtrahieren.
03:38Auf der linken Seite bleibt 2x, minus 6, und auf der rechten Seite 2, mal die Wurzel, übrig.
03:47Wir dividieren die Gleichung durch 2, damit die Wurzel vollständig separiert ist.
03:53Wir quadrieren die Gleichung, damit die Wurzel auf der rechten Seite verschwindet.
03:58Die linke Seite, x, minus 3, müssen wir als Ganzes quadrieren, also gibt das x², minus 6x, plus 9.
04:08Auf der rechten Seite bleibt einfach der Radikant übrig.
04:13Dann subtrahieren wir 3x, plus 1, um die Gleichung nach 0 aufzulösen.
04:19Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form,
04:23also können wir die Koeffizienten in die ABC-Formel einsetzen.
04:28a ist dabei 1, b ist minus 9, und c ist 8.
04:34Unter der Wurzel haben wir 81, minus 32, das gibt 49, und die Wurzel daraus ist 7.
04:42Die erste Lösung ist 9, plus 7, geteilt durch 2, das gibt 8,
04:48und die zweite Lösung ist 9, minus 7, geteilt durch 2, das gibt 1.
04:538 und 1 sind zwar in der Definitionsmenge enthalten,
04:58aber weil wir mit dem Quadrieren eine nichtäquivalente Umformung durchgeführt haben,
05:03müssen wir überprüfen, ob x die ursprüngliche Gleichung erfüllt.
05:08Das machen wir, indem wir die Probe durchführen.
05:11Für die Probe setzen wir die Lösungen, die wir erhalten haben,
05:17überall dort in die ursprüngliche Gleichung ein, wo x steht.
05:21Machen wir das zuerst für x, gleich 8.
05:25Also haben wir die Wurzel aus 5, mal 8, minus 4,
05:29minus die Wurzel aus 3, mal 8, plus 1, minus 1, gleich 0.
05:34Diese Gleichung darf nicht umgeformt werden,
05:38sondern die Werte müssen ausgerechnet werden.
05:41Auf der linken Seite haben wir die Wurzel aus 36,
05:45minus die Wurzel aus 25, minus 1,
05:49und auf der rechten Seite, haben wir 0.
05:53Ausgerechnet erhalten wir 6, minus 5, minus 1, gleich 0.
05:58Also haben wir 0, gleich 0.
06:01Diese Aussage ist richtig.
06:04Machen wir das Gleiche mit der zweiten Lösung, x, gleich 1.
06:09Das gibt die Wurzel aus 5, mal 1, minus 4,
06:13minus die Wurzel aus 3, mal 1, plus 1, minus 1, gleich 0.
06:19Vereinfacht gibt das die Wurzel aus 1,
06:22minus die Wurzel aus 4, minus 1, gleich 0.
06:27Ausgerechnet erhalten wir 1, minus 2, minus 1, gleich 0.
06:31Das gibt minus 2, gleich 0.
06:35Diese Aussage ist falsch.
06:39Also handelt es sich um eine Scheinlösung.
06:42Somit besteht die Lösungsmenge nur aus 8.
06:46Mit diesem Video geht es weiter,
06:48und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.