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00:00Exercice 8
00:03On vous demande de résoudre dans l'ensemble des nombres réels
00:06l'inéquation suivante, "-5x³x est strictement inférieur à 1000".
00:14Donc l'objectif ça va être d'isoler le x, vu que c'est l'inconnu, donc on va d'abord diviser par "-5 à gauche",
00:22et on divise par "-5 à droite".
00:31Sauf que vous savez depuis la classe de seconde que lorsque l'on divise par un nombre négatif,
00:37le sens des inégalités changent, donc attention, il faut changer le sens des inégalités
00:42parce qu'on a divisé par un nombre négatif, donc il nous reste 3 puissance x strictement plus grand
00:49que "-1000 divisé par "-5", 200, et c'est là où va intervenir le logarithme décimal,
00:56pour nous on veut le x sauf qu'il est en puissance, donc il ne faut pas confondre 3 fois x égale à 200,
01:00là on a 1 fois 3 fois x égale à 200, on divise par 3, là ce n'est pas 3 fois x, là c'est 3 puissance x.
01:08Donc là l'objectif ça va être de faire descendre le x, et on sait d'après la propriété du logarithme,
01:14que le logarithme de A à la puissance x, et bien on peut sortir la puissance du logarithme, c'est x fois le logarithme de A.
01:22Donc ce que l'on va effectuer c'est qu'on va appliquer la fonction logarithme à gauche,
01:28et comme la fonction logarithme est strictement croissante sur 0 ou vers plus l'infini, le sens des égalités ne change pas,
01:33donc ça va être strictement plus grand que le logarithme décimal de 200.
01:38On applique le logarithme à gauche et le logarithme à droite, donc,
01:44on sait d'après la propriété du logarithme, le logarithme de 3 puissance x, le x peut sortir, ça donne x fois logarithme de 3.
01:52Plus grand que logarithme de 200.
01:57Il nous reste à diviser par le logarithme de 3,
02:04et attention à ne pas aller trop vite.
02:13Qu'est ce que l'on sait sur le logarithme de 3 ? On vérifie toujours, on sait que c'est un nombre positif.
02:19Vérifiez toujours les logarithmes, même si vous connaissez votre cours, le logarithme de 3, c'est environ égal à 0.47, c'est bien un nombre positif.
02:26Et c'est normal parce que 3 est plus grand qu'un, donc si vous connaissez son tableau de signes, vous savez que ce serait positif.
02:31Donc là, le sens des inégalités ne change pas, car ça ne change pas, le logarithme décimal de 3 c'est positif.
02:41Et donc, on trouve que x est strictement plus grand que le logarithme décimal de 200 sur le logarithme décimal de 3.
02:57Voilà pour la question 1.
03:00Question 2, on vous demande de déterminer le plus petit antinaturel n, donc n est un intier positif,
03:06donc il faut trouver le plus petit antinaturel n tel que 2,5 puissance n est plus grand que 1500.
03:13Donc c'est à dire à partir de quelle valeur de n, 2,5 puissance n sera plus grand que 1500.
03:18Donc là, pareil, c'est une équation d'inconnu n, le n est en puissance,
03:23donc pour pouvoir faire tomber la puissance, on va appliquer le logarithme décimal à gauche et à droite.
03:30Donc à gauche, j'applique le logarithme décimal à gauche, 2,5 puissance n,
03:36et comme la fonction logarithme décimal est strictement croissante, ça ne change pas le sens des inégalités,
03:41donc c'est plus grand que le logarithme décimal de 1500.
03:44Là, on va pouvoir appliquer la propriété du cours, le logarithme décimal de 2,5 puissance n,
03:51c'est donc n fois le logarithme décimal de 2,5, plus grand que le logarithme de 1500.
04:00On divise à gauche et à droite par le logarithme de 2,5,
04:07donc je divise par le logarithme de 2,5 à gauche,
04:11on divise par le logarithme de 2,5 à droite,
04:17et on fait toujours attention en divisant par le logarithme,
04:20on sait que le logarithme de 2,5 c'est un nombre positif, parce que 2,5 est plus grand que 1,
04:24ça c'est parce qu'on connait le cours,
04:26si vous ne connaissez pas le cours, vous tapez 1 à la calculatrice,
04:29le logarithme de 2,5 ça vaut 0,39, c'est bien un nombre environ 0,39, c'est bien un nombre qui est positif.
04:35Donc comme on divise par un nombre positif, le sens ne change pas.
04:40Et donc, on obtient que n est strictement plus grand que le logarithme décimal de 1500 sur le logarithme décimal de 2,5.
04:53Et nous on nous demande de trouver le plus petit entier n qui vérifie cette condition,
04:58donc n doit être strictement plus grand que le logarithme de 2500 sur le logarithme de 2,5.
05:04Donc là il faut qu'on s'aide de la calculatrice,
05:06donc on écrit, or, le logarithme de 2500 divisé par le logarithme de 2,5, ça vaut environ,
05:17et on tape ça à la calculatrice,
05:30on constate que ça vaut environ 7,98.
05:35Donc ça veut dire que ça, ça vaut environ 7,98.
05:40Et donc si on reprend notre énoncé, on constate que n doit être strictement plus grand que tout ça,
05:46donc c'est-à-dire que n doit être strictement plus grand que 7,98.
05:51Donc quel entier n est strictement plus grand que 7,98 ?
05:56Donc ça veut dire que c'est à partir de n égale 8.
06:00n est strictement plus grand que 7,98,
06:03donc c'est à partir de n égale 8 que l'on a 2,5 puissance n,
06:18strictement plus grand que 1500.
06:20C'est à partir de n égale 8.
06:23Et ça vous pouvez le vérifier à la calculatrice,
06:26si vous allez dans menu, vous avez un mode suite normalement,
06:29suite, ajoutez une suite, ul,
06:32donc là au-dessus c'est 2,5 puissance,
06:36alors n c'est la touche ici, c'est où il y a xnt,
06:40donc là vu que c'est en mode suite ça va mettre un n d'office,
06:45affichez les valeurs,
06:46et on voit que quand n vaut 7, ça vaut 2,5 puissance,
06:52n vaut 610,35,
06:55et lorsque n vaut 8, ça vaut 1525.
06:59Donc c'est bien à partir de n égale 8,
07:01que 2,5 puissance n est plus grand que 1500,
07:05et la calculatrice nous permet de vérifier le résultat.
07:11Question 3, on vous demande de déterminer le plus petit entier naturel n,
07:15comme tout à l'heure,
07:16pour que 0,9 puissance n soit inférieur ou égal à 0,2.
07:21Donc là vu que l'inconnu est en puissance,
07:23pour faire tomber la puissance,
07:25on va appliquer le logarithme à gauche,
07:30et on applique le logarithme à droite.
07:34D'après la propriété du logarithme,
07:35le logarithme de a puissance n fait tomber la puissance,
07:38donc ça donne n fois log de 0,9,
07:42inférieur ou égal à logarithme de 0,2.
07:46On va diviser à gauche et à droite par le logarithme de 0,9,
07:51donc je divise par le logarithme de 0,9 à gauche,
07:55et on va diviser par le logarithme de 0,9 à droite.
08:01Et c'est là où je vous attends au tournant.
08:04Le logarithme de 0,9, quel est son signe ?
08:09Si on ne sait pas, on tape à la calculatrice,
08:13menu, calcul,
08:16le logarithme de 0,9,
08:20c'est un nombre négatif,
08:22moins environ 0,04,
08:24et on n'est pas surpris,
08:25parce que si on connaît la courbe représentative
08:27de la fonction logarithme n'est rien,
08:29on sait que quand x vaut 1, ça vaut 0,
08:31ça ressemble à ça la fonction,
08:34et donc quand x vaut 0,9,
08:37le logarithme décimal de 0,9 est un nombre négatif.
08:42Et donc vu qu'on divise par log de 0,9 à gauche
08:45et par log de 0,9 à droite,
08:46et que c'est un nombre négatif,
08:47le sens des inégalités change.
08:50Là ça change car log de 0,9 est un nombre négatif,
08:54et quand on divise par un nombre négatif,
08:56il faut changer le sens des inégalités.
09:00Et donc, on obtient que n est supérieur au égal
09:05au logarithme décimal de 0,2
09:08sur le logarithme décimal de 0,9.
09:12Et il faut trouver le plus petit entier
09:13qui vérifie cette condition.
09:14Donc là on a besoin de la calculatrice.
09:16Or, d'après la calculatrice,
09:18le logarithme de 0,2 sur le logarithme de 0,9
09:28vaut environ,
09:29là on a besoin de la calculatrice,
09:31donc on tape,
09:32logarithme de 0,2 divisé par le logarithme de 0,9,
09:42ça vaut environ 15,28,
09:45si on arrondit au centième après le 7,5,
09:48donc environ 15,28,
09:52au centième près.
09:53Et donc, ça veut nous dire que
09:55n doit être supérieur au égal à environ 15,28.
10:00Donc quel est le premier entier
10:02qui est supérieur au égal à 15,28 ?
10:05C'est donc à partir de n égale 16.
10:08n doit être supérieur à 15,28,
10:10donc le premier entier c'est 16.
10:11Donc c'est à partir de n égale 16,
10:17on a que 0,9 puissance n est bien inférieur au égal à 0,2.
10:24Donc c'est à partir de n égale 16.
10:26Donc on peut vérifier avec le mode suite de la calculatrice.
10:29On va dans le menu,
10:30suite,
10:32donc là la suite on peut la modifier,
10:34cette fois-ci on peut dire un c'est 0,9 puissance n,
10:40afficher le tableau de valeur,
10:43donc ça descend,
10:45je peux rajouter 11, 12,
10:46on peut faire régler l'intervalle, ça va plus vite.
10:49Après régler l'intervalle, début, fin,
10:51début 0, la fin jusqu'à 20,
10:56et on constate bien que quand n vaut 15,
10:59un ça vaut environ 0,025,
11:03donc on est plus grand que 0,2,
11:05et quand n vaut 16, ça vaut environ 0,18,
11:08et on est bien inférieur à 0,2.
11:11Donc la réponse c'est bien à partir de n égal 16 que l'on a cette inégalité.