TSTI2D- Correction -Logarithme décimal - Exercice 9
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ÉducationTranscription
00:00On vous dit une balle rebondissante tombe d'une hauteur de 200 mètres.
00:06La hauteur atteinte par la balle diminue de 25% après chaque rebond.
00:11Dans votre tête vous devez avoir ce schéma là, ça tombe d'une balle de 200 mètres,
00:15ça tombe, ça rebondit et la hauteur baisse de 25%.
00:21C'est à dire entre la hauteur de départ et la hauteur d'après, ça a diminué de 25%.
00:27Après le premier rebond, si on continue, ça rebondit, ça retouche le sol, ça rebondit,
00:33la hauteur a diminué encore de 25%.
00:36Et ainsi de suite, à chaque fois que ça rebondit, la hauteur atteinte diminue de 25%.
00:44Voilà, donc il faut avoir ce schéma là dans votre tête.
00:50Et donc on vous demande quelle sera la hauteur de la balle après le premier rebond,
00:55après le second rebond de la balle et après le troisième rebond de la balle.
01:03Donc là, il me faut la phrase magique du programme de secondes.
01:09Donc on écrit qu'une baisse de 25%, phrase, revient, cours de seconde, à multiplier par,
01:25vu que ça baisse de 25%, 1-25 sur 100, cours de seconde, ce qui donne 1-0.25, ce qui donne 0.75.
01:37Donc à chaque rebond, il me faut multiplier par 0.75.
01:40Donc si on fait un petit schéma, on a la hauteur de départ.
01:44Donc au départ, la balle est à 200 mètres de haut.
01:49Et donc après le premier rebond, vu que la hauteur diminue de 25%, on multiplie par 0.75.
01:57Et donc on trouve que la balle a atteint une hauteur de 150 mètres.
02:03Et donc après le deuxième rebond, vu que ça baisse de 25%, on multiplie encore par 0.75.
02:10Et on trouve cette fois-ci une hauteur de 112,5 mètres.
02:26Et après le troisième rebond, on multiplie encore par 0.75 vu que ça diminue de 25%.
02:34Et on trouve une hauteur de 84,375 mètres.
02:39Donc voici la réponse à la question 1. Il faut absolument m'écrire cette phrase-là.
02:44Et après vous pouvez me faire un petit schéma ou des phrases.
02:48Question 2. Soit n, un antinatural non nul, quelle sera la hauteur de la balle après le nème rebond ?
02:57Donc là, il faut comprendre. Au départ, on arrive ici.
03:02Donc après un rebond, on multiplie par 0.75.
03:06Pour le deuxième rebond, on multiplie par 0.75.
03:09Après le troisième rebond, on multiplie par 0.75.
03:13Donc si on avait demandé la hauteur de la balle après le 4ème rebond, il faut encore multiplier par 0.75.
03:19Si on veut la hauteur de la balle après le 5ème rebond, il faut multiplier par 0.75.
03:23Donc si on veut la hauteur de la balle après le nème rebond,
03:26On avait 200 mètres au départ.
03:29Après le premier rebond, je multiplie par 0.75.
03:34Si je veux la hauteur de la balle après le deuxième rebond, on remultiplie par 0.75.
03:39le troisième rebond, on remultiplie par 0.75.
03:42Si on veut l'auteur de la balle après le quatrième rebond, il faut multiplier par 0.75.
03:47Et ainsi de suite.
03:49Donc si on veut l'auteur de la balle après n rebonds, on va faire 200
03:54x 0.75 x 0.75 x 0.75 x 0.75 x 0.75 x 0.75 x 0.75
03:59et vu qu'il y a n rebonds, c'est à dire qu'on va le faire n fois.
04:02Donc ça va donner 200 x 0.75
04:06à la puissance n.
04:09Donc on va faire 200 x 0.75 x 0.75 x 0.75 x 0.75 x 0.75 x 0.75
04:14n fois.
04:15Donc à la fin ça donne 200 x
04:170.75 puissance n.
04:22Donc c'est ça l'auteur de la balle après le nème rebond, ça va être 200 x 0.75
04:26puissance n.
04:27Parce qu'on aura multiplié n fois par 0.75.
04:32Si je vous demande l'auteur de la balle après trois rebonds, ce que l'on a fait
04:35comme calcul,
04:36après trois rebonds, on a fait 200 x 0.75 une fois
04:40x 0.75 deux fois
04:43x 0.75 trois fois.
04:46Donc on a bien trouvé 200 x 0.75 puissance 3.
04:51Ça c'est l'auteur de la balle après trois rebonds.
04:53Donc l'auteur de la balle après n rebonds, on va faire 200 x 0.75 x 0.75 x 0.75
04:59et on va le faire n fois vu qu'on a n rebonds.
05:03Donc l'auteur de la balle
05:05après n rebonds, c'est 200 x 0.75 puissance n.
05:11Et nous on vous demande au bout de combien de rebonds l'auteur de la balle
05:15sera-t-elle inférieure à 1 m?
05:18Donc justifié par le calcul, si on veut que l'auteur de la balle soit inférieure à 1 m,
05:21l'auteur de la balle après n rebonds c'est 200 x 0.75 puissance n.
05:26On veut que l'auteur de la balle soit strictement inférieure à 1 m.
05:31Donc il faut résoudre cette inéquation. Donc je divise par 200 à gauche,
05:35on divise par 200 à droite.
05:38Et vous prenez la calculatrice, 1 divisé par 200 ça donne 0.005.
05:47Et là l'inconnu est en puissance.
05:49Donc pour entre guillemets faire tomber la puissance, on va appliquer le
05:53logarithme décimal à gauche
05:57et on applique le logarithme décimal à droite. Le sens des inégalités ne change pas
06:01parce que la fonction logarithme décimal est strictement croissante sur 0 ouvert plus l'infini.
06:09D'après la propriété du logarithme, donc log de 0.75 puissance n, on sait que ça va donner n fois log de 0.75,
06:19strictement inférieur à log de 0.05.
06:25Et là on va diviser par logarithme de 0.75 à gauche et on divise par logarithme de 0.75 à gauche et à droite.
06:47Et là vous connaissez votre cours, le logarithme de 0.75 c'est un nombre négatif.
06:53On vérifie toujours à la calculatrice si vous avez un petit doute.
06:55Le logarithme décimal de 0.75 c'est un nombre négatif, vous voyez environ 0.12 et on sait très bien
07:03parce que 0.75 est strictement compris entre 0 et 1.
07:06Donc quand on divise par nombre négatif, le sens des inégalités change.
07:12Et donc on obtient que n doit être strictement plus grand que le logarithme de 0.075 sur le logarithme de 0.75.
07:26Or, là on prend la calculatrice, le logarithme de 0.005 sur le logarithme de 0.75, ça vaut environ,
07:36on prend la calculatrice, donc on tape tout ça.
07:40Logarithme de 0.005, attention on peut oublier un 0, divisé par le logarithme de 0.75,
07:55ça vaut environ 18.42 si on arrondit au centième, donc on vaut environ 18.42.
08:03Donc comme tout à l'heure, ça veut dire que notre entier n doit être strictement plus grand que 18.42.
08:12Donc comme n est strictement plus grand que 18.42, ça signifie que c'est à partir du 19ème rebond.
08:19L'entier est plus grand que 18.42, c'est 19 donc, c'est à partir du 19ème rebond.
08:30Et là je vous laisse terminer la phrase, que la hauteur de la balle sera inférieure à 1 mètre.
08:36Donc c'est à partir du 19ème rebond, que la hauteur de la balle sera inférieure à 1 mètre.
08:42Et on peut vérifier ça à la calculatrice, en allant dans le mode suite.
08:47Tac, on ajoute notre suite, donc notre suite c'était 200 x 0.75 puissance n, la touche n c'est la touche à x, n, t.
08:59Oh, bah ça va là en haut.
09:03Afficher le tableau de valeur, et nous on en avait trouvé, donc si on regarde au 18ème rebond,
09:10la hauteur de la balle c'est environ 1.12 mètre, et au 19ème rebond la hauteur de la balle c'est environ 84 cm.
09:18Donc c'est bien à partir du 19ème rebond que la hauteur de la balle est sous les 1 mètre.
09:22On a terminé la correction de cet exercice.