TSTI2D- Correction exercice 2 - Dérivation
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00:002, on vous donne soit g la fonction définie sur R par g de x égale à moins 5 fois x² plus 1x moins 3
00:05donc ça vous l'avez reconnu, g de x² c'est une fonction en polynome du second degré
00:10et on sait que la fonction en polynome du second degré, sa courbe représentative s'appelle une parabole
00:14donc question 1, on vous demande de calculer g de 2
00:17donc g de 2 c'est l'image de 2 par g, donc g de 2 ça donne moins 5
00:22oui donc là attention il y a souvent des erreurs ici, moins 5 x² c'est moins 5 fois x²
00:28donc le carré est uniquement sur le x, donc ça donne moins 5 x 2² plus 20 x 2 moins 3
00:40ce qui nous donne moins 5 x 4 plus 40 moins 3 ce qui donne moins 20 plus 40 moins 3
00:54ce qui donne moins 20 plus 40 moins 3 c'est 17, donc l'image de 2 par g est égale à 17.
01:01Question 2, donc quel va être l'objectif de la question 2, on va vous demander les variations de la fonction g
01:07donc pour avoir les variations de la fonction g vous savez très bien qu'on doit étudier le signe de la dérivée
01:13c'est pour ça qu'à la question 2 on vous demande de dériver la fonction g, donc allons-y, j'ai prime de x
01:19donc la dérivée de moins 5 fois x² ça va donc être moins 5 fois, et la dérivée de x² on fait tomber le 2
01:28et sur le x ils nous ont atteint donc c'est 2x puissance 1 ce qui donne 2x, ensuite on a plus 20 fois x
01:34donc la dérivée c'est 20 fois x ça va être plus 20 et moins, la dérivée d'une constante donc d'un nombre L3 c'est 0
01:41donc la dérivée est égale à moins 10x plus 20, ensuite on vous demande donc de dresser le tableau de signe de la dérivée
01:53donc là on constate que la dérivée dépend de x, c'est moins 10x plus 20, donc par exemple si on prend x égale 0
02:02si x vaut 0 la dérivée est égale à moins 10 fois 0 plus 20 la dérivée vaut 20, donc quand x vaut 0 la dérivée est positive
02:09par contre je ne sais pas si je prends x égale 3, quand x vaut 3 ça donne moins 10 fois 3 moins 30 plus 20 donc ça donne moins 10
02:15donc quand x vaut 3 la dérivée est négative, donc en réalité le signe de la dérivée va dépendre de la valeur de x
02:21donc pour dresser son tableau de signe on va résoudre lorsque la dérivée vaut 0 et on va résoudre lorsque la dérivée est positive
02:29donc elle est positive, ça va être plus grand que 0, supérieur ou égal à 0, donc là on va résoudre quand la dérivée est strictement positive
02:35c'est strictement plus grand que 0, donc dérivée égale à 0 ça donne moins 10x plus 20 égale 0, on effectue moins 20 à gauche moins 20 à droite
02:46donc il nous reste moins 10x égale moins 20 et ensuite on divise par moins 10 à gauche, donc à gauche je divise par moins 10 à droite je divise par moins 10
02:54donc il reste moins 20 divisé par moins 10 et donc on trouve que x vaut 2, donc ça signifie que quand x vaut 2 la dérivée vaut 0
03:04donc vous pouvez vérifier si x vaut 2, moins 10 fois 2 ça fait moins 20 plus 20 ça donne bien 0, donc quand x vaut 2 la dérivée vaut 0
03:11et ensuite il faut résoudre lorsque la dérivée est positive, donc ce qui donne moins 10x plus 20 strictement plus grand que 0
03:19donc là c'est même strictement positif, ce qui donne moins 10x plus grand que moins 20 et là attention je réécris moins 10x moins 20
03:27et moins 10x c'est moins 10 fois x donc on va diviser par moins 10 et vous savez très bien que lorsque l'on divise par un nombre négatif
03:37le sens de l'inéquation change, parce que là on a divisé par un nombre négatif et donc on trouve x strictement inférieur à 2
03:47on va pouvoir dresser le tableau tigre donc x, là c'est pas droit mais tant pis, c'est un peu penché, donc là g prime
03:56le signe de la dérivée et le signe de la dérivée donne les variations, c'est pas droit du tout là, donne les variations de g
04:05ouais, hop là, donc x moins l'infini plus l'infini et on s'aide des équations qu'on a résolues, donc on a montré que quand x vaut 2
04:19donc je me mets l'axe des x quand x vaut 2, on a montré que la dérivée vaut 0, donc quand x vaut 2 la dérivée vaut 0, donc quand x égale 2 g prime vaut 0
04:31et ensuite, il faut bien savoir lire là, quand x est plus petit que 2, je rappelle que ce symbole, ça mange entre guillemets le plus grand
04:44donc ça veut dire que là 2 est plus grand que x, donc quand x est plus petit que 2, donc où sont les nombres x qui sont plus petits que 2 ?
04:51lorsque vous avez une droite chez 2, les nombres x plus petits que 2 sont ici, donc quand x est plus petit que 2, ça veut dire que quand x est entre moins l'infini et 2
05:02donc quand x est entre moins l'infini et 2, quand x est plus petit que 2, on a montré que la dérivée est plus grande que 0, donc c'est dire que si la dérivée est plus grande que 0, c'est dire que la dérivée est positive
05:13donc quand x est strictement inférieure à 2, la dérivée est positive, et donc par un raisonnement logique, quand x est plus grand que 2, cela signifie que la dérivée sera strictement négative.
05:26Ca c'était la question 3, question 4, dresser le tableau de variation du g, on applique le théorème dérivée positive, fonction croissante, dérivée négative, fonction décroissante
05:37et là attention, j'ai la fonction g et là j'ai l'axe de x, donc ici c'est g2, attention on ne prend qu'en x vaut 2, c'est g2,2 que l'on a ici, et là on utilise le résultat de la question 1,
05:48g2,2 on l'a déjà calculé, on avait trouvé 17, si on ne l'avait pas calculé, il fallait le calculer, et donc question 5, quel est le maximum de g ?
06:02On a le tableau de variation, donc le maximum de g c'est 17, et il est atteint en x égale 2, le maximum de g est 17, et il est atteint en x égale 2.
06:22Voilà pour la correction de cet exercice.