TSTI2D- Correction exercice 4 - Dérivation
Category
📚
ÉducationTranscription
00:00Exercice 4, on vous dit swap P. La fonction définie par P de x égale x-7 sur 2x-3.
00:07Alors question, quel est le domaine de dérivation de P ?
00:09Donc vous savez très bien que lorsque l'on a une division, une fraction,
00:14on ne peut pas diviser par zéro. Diviser par zéro n'existe pas.
00:18Donc il faut que le dénominateur soit différent de zéro.
00:22Donc vous pouvez écrire que diviser par zéro n'existe pas.
00:33Donc il faut que le dénominateur soit différent de zéro.
00:38Donc ça veut dire que 2x-3 ne peut pas être égal à zéro.
00:44Donc si 2x-3 n'est pas égal à zéro, ça veut dire que 2x
00:48plus 3 à gauche plus 3 à droite n'est pas égal à 3.
00:52Et donc ça signifie qu'on divise par 2 à gauche par 2 à droite
00:56que x ne peut pas être égal à 1.53 divisé par 2 donne 1,5.
01:04Et donc le domaine de dérivation c'est...
01:09C'est dérivable, le domaine de dérivation c'est de moins l'infini
01:12jusqu'à 1,5 exclu vu que x est différent de 1,5
01:171,5 exclu jusqu'à plus l'infini.
01:27Donc question 2, on vous demande pour tout réel x du domaine de dérivation
01:32c'est-à-dire pour toutes x différentes d'1,5
01:34déterminer une expression de p' de x. Donc le p' c'est la dérivée de p.
01:38Donc on vous demande de dériver la fonction p.
01:40Donc on reconnaît la fonction p, elle est de la forme une fonction u sur une fonction v.
01:45Donc on écrit la fonction p, donc c'est bien p,
01:48est de la forme
01:53une fonction u divisé par une fonction v avec
01:57u qui est égale à x moins 7 et v qui est égale à 2x moins 3.
02:04Donc u prime la dérivée de u, donc x est 1 fois x, donc la dérivée de x est 1
02:10moins une constante 0 et v prime la dérivée de 2x c'est donc 2
02:15moins 0, donc on sait que u prime égale 1 et v prime vaut 2.
02:24Donc, et là c'est p' de x, vous prenez pas de
02:29risque que vous écrivez la propriété au cas où
02:32vous fassiez une erreur, donc c'est u prime en dérivée u fois v
02:36plus u, ben non, j'ai trop vite, vu que c'est de la forme u sur v, comme c'est un u,
02:42c'est un moins, donc u prime fois v moins, parce que c'est de la forme u sur v,
02:47u fois v prime sur v, le dénominateur au carré, attention c'est
02:53une fraction, donc il y avait un dénominateur au carré.
02:55Et pareil, attention ici, il y a l'erreur, le méchant moins,
02:59donc ça signifie qu'il faudra mettre des parenthèses ici, il faudra d'abord faire
03:03la multiplication et ensuite changer les signes.
03:07Donc ce qui nous donne u prime, donc ça donne 1
03:11fois tout le v, donc tout le v c'est 2x moins 3,
03:15moins tout le u, donc x moins 7 fois v prime fois 2,
03:22divisé par v au carré, le dénominateur, donc le dénominateur v c'est 2x moins 3,
03:27donc c'est 2x moins 3, le tout au carré.
03:32Ce qui donne la première somme de distributivité, donc 1 fois 2x moins 3,
03:35donc ça donne 2x moins 3, et là attention il y a un moins, donc
03:39moins, et pour se protéger, parenthèses,
03:44et dans la parenthèse on effectue la somme de distributivité,
03:48donc x fois 2 ça donne 2x, et moins 7 fois 2, moins 14,
03:53vraiment faites attention à ce mot, mettez des parenthèses,
03:57divisé par 2x moins 3, le tout au carré,
04:04et donc cela nous donne 2x moins 3, et vu que j'ai un moins devant
04:11une parenthèse, je dois soustraire, là je soustrais tout ce qu'il y a dans la
04:14parenthèse, donc le 2x lorsque je soustrais 2x,
04:17j'obtiens moins 2x, et le moins 14 lorsqu'on soustrait moins
04:2014, ça fait moins moins 14, ce qui donne plus 14,
04:24sur 2x moins 3, le tout au carré,
04:31et ce qui donne 2x moins 2x ça c'est nul, et moins 3 plus 14 ça donne
04:3511, divisé par parenthèse 2x moins 3, le tout au carré, donc ça c'est notre
04:40dérivé,
04:43et ensuite on vous demande de dresser le signe de la dérivé, et en déduire les
04:46variations de P, alors notre dérivé donc x,
04:55le signe de la dérivé, et les variations de G,
05:05donc déjà les x, on a vu que c'est définis pour tout x différent d'un
05:09ennemi, on a vu que quand x vaut un ennemi,
05:11et bien on divise par 0, ce qui n'existe pas, donc là attention, donc
05:15moins l'infini plus l'infini, et quand x vaut un ennemi, il n'y a pas
05:21d'image, parce qu'on divise par 0, donc pour dire que ça n'existe pas, on marque
05:24une double barre verticale, c'est à dire que c'est une valeur
05:27interdite, ça n'existe pas, et ensuite notre dérivé, pour x
05:32différent d'un ennemi, qu'est ce qu'on a ? On a 2x moins 3, le tout au carré,
05:36donc vous savez que quand tout ça, ça donne un nombre, par exemple,
05:39je sais pas, on peut peut-être obtenir moins 5, mais lorsqu'on met un nombre au
05:42carré, ça donne 25, donc 2x moins 3, le tout au
05:46carré, un nombre au carré est toujours positif,
05:50donc là le dénominateur, il est toujours positif,
05:53ça c'est au brouillon ça, donc 2x moins 3 au carré, c'est toujours positif,
05:57et 11, le numérateur, c'est un nombre positif,
06:01donc en fait qu'est-ce que l'on fait ? On fait 11, donc on a un nombre positif,
06:04et on le divise par un nombre qui va être positif,
06:07donc un nombre positif divisé par un nombre positif, ça donne un nombre positif,
06:10donc plus, plus ici, la dérivée tout le temps positive, sauf
06:14en x égale à un demi, donc ça vous pouvez écrire, car 2x
06:18moins 3, le tout au carré, c'est strictement plus grand que 0,
06:22un nombre au carré toujours positif, et 11, c'est un nombre positif,
06:25donc lorsqu'on les divise, donc lorsqu'on fait 11 divise donc
06:3011 divisé par 2x moins 3, le tout au carré, c'est un nombre positif,
06:36un nombre positif divisé par un nombre positif donne un nombre positif, donc notre dérivée
06:39est toujours positive, sauf en x égale à un demi,
06:41et donc si on applique le théorème, dérivée positive fonctionne strictement
06:44croissante, en 1.5 il n'y a rien, et ensuite dérivée
06:48positive fonctionne strictement croissante,
06:51et je vais vous montrer comment, qu'est ce que l'on obtient à la calculatrice,
06:54donc x moins 7 sur 2x moins 3, calculatrice pour vérifier,
06:59donc f2x égale à, donc on va mettre x, on va mettre le divisé,
07:05voilà comme ça on fait tac, x moins 7 divisé par 2x
07:11moins 3, ok, tracer la courbe, déjà pour voir à
07:17quoi ça ressemble, alors là tout à l'heure on avait zoomé,
07:21donc il faudrait un peu dézoomer là, ah non,
07:26alors on va faire auto, voilà, si vous avez un autre vous mettez en automatique,
07:31donc qu'est ce que l'on constate, donc vous voyez hop, donc là j'ai celui-là
07:36courbe, on voit bien qu'elle est strictement croissante,
07:39elle ne fait qu'augmenter,
07:42hop, ensuite quand, hop, tac, tac, tac, ça ne fait qu'augmenter,
07:50vous voyez là on est à x égale à 1.18, et ensuite quand x va au 1.5, il n'y a rien,
07:54il y a un trou, hop,
08:02en automatique il y a un trou, et ensuite ça redevient croissante,
08:06donc si vous voulez, ce qu'on a tracé à la calculatrice,
08:10hop, la courbe a fait ça, quand x va au 1.5,
08:13donc vous l'avez vu, elle est strictement croissante, elle fait comme ça,
08:16en 1.5 il y a un trou, et ensuite ça repart de là,
08:19et elle est de nouveau strictement croissante, voici
08:24pour cet exercice 4, et qu'est ce qu'elle affiche, si on regarde l'image en 1.5,
08:28si vous regardez l'axe de x, si on tape 1.5,
08:32ça va afficher erreur normalement, voilà, indéfini, erreur,
08:36donc tout est parfaitement cohérent.