STI2D - entrainement second degré - Partie 1
Transcript
00:00 [Bruit de clavier]
00:09 Nous allons procéder à la correction du mini-entraînement à la mini-inturgation sur le second degré.
00:19 [Bruit de clavier]
00:25 L'exercice 1 s'était résolu dans R, R c'est l'ensemble des nombres réels, les équations suivantes.
00:31 La première équation, l'inconnu c'est x, donc il faut déterminer les valeurs possibles que x peut prendre.
00:36 x au carré égal 100, on sait que ça, ça équivaut à l'inconnu c'est x, donc x est égal à un nombre carré qui fait la racine carré de 100,
00:47 ou x est égal à moins la racine carré de 100, et ça c'est équivalent à x égale à 10,
00:57 en effet si x vaut 10, 10 au carré 10 fois 10, 100, ou x est égal à moins 10, en effet moins 10 au carré moins 10 fois moins 10 ça vaut 100.
01:08 Donc voici la rédaction parfaite. Le suivant x au carré égal 7, donc ça c'est équivalent à x est égal à un nombre carré qui vaut 7,
01:17 c'est la racine carré de 7, ou x est égal à moins la racine carré de 7.
01:23 Et on s'arrête là, la racine carré de 7 ce n'est pas un nombre rationnel, donc on s'arrête là.
01:28 Le suivant x carré moins 36 est égal à 0, donc ça ça équivaut à, on fait +36 à gauche, +36 à droite, donc ça équivaut à x au carré égal 36,
01:38 et cela c'est équivalent à un nombre carré qui donne 36, à x est égal à la racine carré de 36,
01:45 ou x est égal à moins la racine carré de 36.
01:49 Donc cela c'est équivalent à x égale 6, ou x égale moins 6.
01:58 Ensuite le suivant 5 x carré moins 45 égale 0, donc ça c'est équivalent, on fait +45 à gauche, +45 à droite,
02:06 5 x carré est égal à 45, ce qui équivaut à, donc 5 x carré c'est 5 fois x au carré,
02:14 donc on divise par 5 à gauche, on divise par 5 à droite, donc ça donne x carré égal 45 divisé par 5, ce qui donne 9.
02:22 Et donc ça, ça équivaut à x est égal à la racine carré de 9, ou x est égal à moins la racine carré de 9.
02:31 Et ça c'est équivalent à x est égal à 3, ou x est égal à moins 3.
02:39 Le suivant, un nombre au carré qui donne -3, donc là on réfléchit, x est un nombre réel,
02:46 un nombre au carré qui donne -3, ça c'est impossible.
02:52 Impossible dans les nombres réels, dans grand R, un nombre positif au carré donne un nombre positif,
02:59 un nombre négatif au carré donne un nombre positif dans grand R, car x au carré, on l'a vu dans le cours,
03:05 x au carré est toujours supérieur ou égal à 0, un nombre au carré toujours positif.
03:10 x au carré est supérieur à 0 pour on peut dire tout réel x.
03:18 Ensuite le suivant, x carré égal 25, donc ça ça équivaut à x est égal à la racine carré de 25,
03:24 ou x est égal à moins la racine carré de 25, ce qui équivaut à x est égal à 5, ou x est égal à -5.
03:36 Le suivant, x carré -3 égal 0, donc ça ça équivaut à +3 à gauche +3 à droite, à x au carré égal 3,
03:45 et ça c'est équivalent à x est égal à la racine carré de 3, ou x est égal à - la racine carré de 3.
03:54 Et on s'arrête là.
03:56 Tac, tac, impossible dans R, et voilà, hop, 3 - 3, 6 - 6, tac, et tac.
04:09 Ensuite là j'étais extra du devoir commande 2023, donc il fallait résoudre dans R l'équation x au carré égal 100,
04:16 donc ça on sait que ça équivaut à x est égal à la racine carré de 100, ou x est égal à moins la racine carré de 100.
04:25 Donc c'est équivalent à x est égal à 10, ou x est égal à -10.
04:32 Boom. En plus c'était la question A.
04:36 Bon voilà, petite redite.
04:38 Le suivant.
04:40 Il faut résoudre dans R, donc l'ensemble des nombrels, les équations suivantes.
04:43 La première c'est une équation du premier degré qui était au devoir commun.
04:47 Donc 5x - 15 = x + 1, donc on met les x du même côté, donc on fait 5x - 15 = x + 1.
04:56 Donc pour mettre les x du même côté, pour enlever le x à droite, on fait -x à droite, et donc -x à gauche,
05:03 ce qui équivaut à 5x - x = 1, donc 5x - x = 4x - 15 = x - x0 = 1.
05:15 Ce qui est équivalent, pour enlever le -15 à gauche, on effectue +15 à droite, +15 à gauche, et +15 à droite.
05:29 Ce qui équivaut à 4x = 16, ce qui équivaut à 4x = 4x, donc on divise par 4 à gauche, on divise par 4 à droite,
05:44 et ce qui équivaut à x = 4.
05:49 Là B, on a x - 4 entre deux parenthèses, je rappelle qu'il y a toujours un x, x = 2x + 3 = 0,
05:56 donc ça c'est une équation produit nul, donc ça équivaut à x - 4 = 0, équation produit nul,
06:03 ou, il faut bien écrire le où, 2x + 3 = 0, ce qui équivaut à +4 à gauche, +4 à droite, x = 4,
06:12 ou -3 à gauche, -3 à droite, et ensuite on va diviser par 2, donc ça équivaut à x = 4,
06:21 ou, on divise par 2 à gauche, on divise par 2 à droite, x = -3 divisé par 2, -1/2.
06:28 Là c'est x² - 25 * x² + 1 = 0, ça c'est une équation produit nul, donc pareil, ça équivaut à x² - 25 = 0,
06:40 ou, x² + 1 = 0, ce qui équivaut à +25 à gauche, +25 à droite, x² = 25,
06:49 -1 à gauche, -1 à droite, x² = -1.
06:53 Le premier, x² = 25, l'inconnu c'est x, donc c'est x = -√25 = -5, ou, x² = -1,
07:07 alors là attention, x est un nombre réel, donc un nombre réel au carré qui donne -1, ça c'est impossible,
07:19 impossible dans les nombres réels, car un nombre au carré est toujours politique dans les nombres réels.
07:24 Donc finalement, il y avait deux solutions, 5 et -5.
07:30 Et on sait résoudre ça, dans les nombres réels, x² = -1 c'est impossible,
07:34 on a toujours demandé de résoudre ça dans les nombres complexes.
07:37 Quel nombre au carré donne -1 ? Ça, ça équivaut à x = i, par définition,
07:44 si x vaut i, i² vaut -1, ou, x vaut -i.
07:49 -i au carré, -i x -i, -i x -+ i² = -1.
07:56 Petit aparté.
07:59 Le suivant, c'était extrait du devoir commun, donc c'était 5 - x * 3 + x = 0,
08:04 donc c'est une équation produlente, ça équivaut à 5 - x = 0, ou, 3 + x = 0.
08:12 Alors on met les x du même côté, donc pour enlever le 5, -5 à gauche, -5 à droite,
08:18 ou, -3 à gauche, -3 à droite,
08:23 et là je rappelle que -x, je rappelle que c'est -1 * x.
08:28 Donc pour annuler un faux -1, on divise par -1 à gauche, on divise par -1 à droite,
08:33 donc ça équivaut à x = -5 / -1 -x = 5, ou, x = -3.
08:43 Bon, il y avait une deuxième façon pour résoudre ça plus vite,
08:47 vous pouvez le résoudre de tête, 5 - un nombre qui vaut 0,
08:51 5 - un nombre qui donne 0, c'est que x vaut 5 tout de suite, 5 - 5 ça fait 0.
08:56 Donc ça on pouvait au pire directement le résoudre de tête, 5 - x = 0,
08:59 on pouvait directement marquer, ça équivaut à x = 5, 5 - 5 donne 0.
09:05 Alors le suivant il est un petit peu plus dur, on a x² - 3x = 0.
09:09 Les x sont du même côté, mais on n'a pas une équation de produit nulle.
09:13 Mais on peut s'y ramener si on factorise par x, regardez si je mets x facteur de quelque chose = 0,
09:19 je factorise par x, qu'est-ce que je mets dans la parenthèse, x * x,
09:24 x * x = x² - x * 3 = 3x, x * x = x² - x * 3 = 3x = 0.
09:33 Et là on a x * x - 3 = 0, on retrouve une équation de produit nulle.
09:38 Donc pour passer de là à là, on factorise par x.
09:43 Et donc ça c'est une équation de produit nulle, on a une multiplication qui vaut 0,
09:47 ça équivaut à x = 0, en effet si x vaut 0, 0² = 0, - 3 * 0 = 0, 0 - 0 = 0,
09:55 ou x - 3 = 0.
09:59 Et donc ça, ça équivaut à x = 0, ou x = + 3 à gauche + 3 à droite = 3.
10:07 Et si x vaut 3, 3² = 9, - 3 * 3 = 9, 9 - 9 = 0.
10:13 Et le dernier c'est pareil, on a mis tous les x du même côté,
10:17 mais on n'a pas une équation de produit nulle, donc on va factoriser,
10:20 donc je factorise par x, donc ça donne x * 7x,
10:26 x * 7x = 7x² - x * 3 = - 3x, x * 3 = 3, x = 0.
10:35 Et là on retrouve bien une équation de produit nulle, on a x * 7x - 3 = 0,
10:39 donc ça équivaut à x = 0, ou 7x - 3 = 0.
10:46 Ce qui équivaut à x = 0, ou + 3 à gauche + 3 à droite,
10:53 et ensuite on aura 7x, on divise ensuite par 7,
10:56 donc + 3 à gauche + 3 à droite, et je divise par 7,
10:59 donc x = 3/7.
11:02 Donc hop, quand on a mis l'x du même côté, on factorise par x.
11:08 Et on passe au dernier exercice, l'exercice 3, c'était du développement.
11:16 Donc on démarre, ici on a 2 * 2 parenthèses * x - 3, simple distributivité,
11:22 donc 2 * x = 2x + 2 * 3 = 6, j'ai terminé avec ça,
11:27 donc comme j'ai terminé dans ma tête il me reste ça,
11:30 donc là il y a un x, donc + 7 * x = + 7x, et 7 * -1 = -7,
11:38 hop, on réduit, 2x + 7x = 9x, 6 - 7 = -1.
11:46 Le suivant, on encadre, on a d'abord une simple distributivité,
11:50 on a -3 * x + 2, donc -3 * x = -3x, -3 * 2 = -6.
11:57 Lorsqu'on a effectué quelque chose dans ma tête, regardez ce qui se passe, je l'oublie,
12:02 donc dans ma tête je vois ça,
12:05 et donc qu'est-ce qu'il nous reste ? Il nous reste -5 * x - 1,
12:12 donc -5 * x = -x, et -5 * -1 = +5,
12:18 ce qui donne -3x - 5x - 8x, -6 + 5 = -1.
12:27 Le C est pareil, on a encore une simple distributivité,
12:31 x * 3 = 3x, + x * 5x = 5x².
12:36 Hop, dans ma tête, dès que je l'ai effectué,
12:39 voici ce que je vois, je l'efface, dès qu'on a fini quelque chose,
12:42 et là qu'est-ce qu'il nous reste ? Il nous reste un simple moins devant,
12:45 il nous reste un moins devant une simple parenthèse.
12:48 La parenthèse n'est pas au carré, il n'y a pas de puissance, c'est une parenthèse simple.
12:52 Donc, pour enlever la parenthèse, il faut prendre l'opposé de tous les termes à l'intérieur.
12:57 Je soustrais tout ce qu'il y a dans la parenthèse,
12:59 donc le x² va devenir -x², quand j'enlève la parenthèse,
13:03 le +3x va devenir -3x, et -7 va devenir +7.
13:09 On réduit, on met l'x² ensemble, 5x² - x², ça donne 4x²,
13:14 3x - 3x = 0, et donc il reste +7.
13:19 Ensuite, le suivant, on a 2x + 5 x - 3, donc c'est de la simple distributivité,
13:30 donc je vais entourer les termes, donc j'ai le 2x, j'ai le +5, j'ai le x, j'ai le -3,
13:38 et on effectue la simple distributivité,
13:40 donc on démarre 2x * x = 2x²,
13:45 ensuite 2x * -3 = -2 * 3 = 6x,
13:52 + 5 * x = +5x,
13:57 et il y a un x entre deux parenthèses,
13:59 et + 5 * -3 = -15,
14:03 ce qui donne 2x² - x = -15.
14:09 Le suivant, pareil, j'entoure les termes,
14:12 donc j'ai le x, j'ai -6, j'ai x, j'ai -2.
14:17 On démarre x * x = x²,
14:21 x ensuite * -2 * -2 = -2x,
14:25 ensuite j'ai -6 * x = -6x,
14:29 et enfin -6 * -2 = -2 * -2 = 12,
14:35 ce qui donne x² - 2x - 6x = -8x + 12.
14:42 Le f, il ne faut pas aller trop vite,
14:44 on lit de gauche à droite, là j'ai un x,
14:46 donc j'ai 3 * x - 8,
14:48 donc je vais démarrer par la simple distributivité,
14:50 en laissant la parenthèse,
14:52 pour après j'ai une autre multiplication,
14:54 donc là j'ai x + 1.
14:56 Donc on démarre ici par la simple distributivité,
15:00 3 * x = 3x,
15:02 3 * -8 = -24.
15:06 On a effectué la simple distributivité,
15:09 et ensuite on effectue la double distributivité,
15:11 donc 3x * x = 3x²,
15:15 3x * 1 = +3x,
15:19 ensuite on a -24 * x = -24x,
15:24 et -24 * 1 = -24.
15:28 Ce qui donne 3x²,
15:30 3x - 24x - 21x - 24.
15:36 Ensuite le g,
15:38 on reconnaît la première identité remarquable,
15:40 a + b, le tout au carré,
15:44 donc ça c'est le a + le b,
15:47 donc ça donne a² * x²,
15:49 je rappelle, c'est a² + 2 * a * b + b²,
15:56 + 2 * a * b,
15:59 donc 2 * x = 2x,
16:02 2 * 3 = 6x,
16:04 + b² = 3²,
16:06 3 * 3 = 9.
16:08 Deuxième façon,
16:10 ce qui n'arrive pas à l'identité remarquable,
16:12 x + 3², vous pouvez dire que c'est x + 3 * x + 3,
16:16 et vous effectuez la double distributivité.
16:19 Pareil ici, 5x + 2, le tout au carré,
16:22 vous pouvez également faire 5x + 2 * 5x + 2,
16:26 vous effectuez la double distributivité,
16:29 et on doit tomber sur le même résultat.
16:31 Là on va faire l'identité remarquable,
16:33 j'ai a + b, c'est 2,
16:37 donc on y va,
16:38 a², donc a c'est 5x,
16:40 attention, a² c'est le tout au carré,
16:43 + 2 * a,
16:46 donc 2 * 5x, 2 * 5x = 10x,
16:49 x b = 10x * 2 + 20x,
16:52 + 2² = 4.
16:56 Et 5x, le tout au carré,
16:59 c'est 5x * 5x,
17:01 5 * 5 = 25,
17:03 et x * x = x²,
17:05 donc 25x² + 20x + 4.
17:08 Ceux qui ont effectué avec la double distributivité,
17:13 vous devez retrouver pareil.
17:16 5 * 5 = 5x * 5x,
17:19 5 * 5 = 25,
17:20 x * 5 = x²,
17:22 5x * 2 + 10x,
17:25 2 * 5x + 10x,
17:27 et 2 * 2 + 4,
17:29 donc ça donne bien 25x² + 20x + 4.
17:34 Il nous en reste un tout petit peu à faire,
17:38 le suivant,
17:39 on a 3 * 4x + 1 au carré,
17:41 donc là attention,
17:43 on n'effectue pas
17:45 la simple distributivité,
17:47 ce n'est pas une simple distributivité ici,
17:49 parce que la parenthèse est au carré.
17:51 On démarre déjà par l'identité remarquable,
17:55 donc c'est 3 * parenthèse,
17:58 et là-dedans on effectue l'identité remarquable,
18:00 donc a + b au carré,
18:02 a² = 4x²,
18:04 4x * 4x = 4 * 4,
18:06 16x * x = x²,
18:08 + 2 * 4x = 8x,
18:12 xb * 1,
18:14 donc 2 * 4x * 1 + 8x,
18:16 et 1² * 1,
18:19 donc on effectue déjà l'identité remarquable,
18:22 parce que j'ai une parenthèse au carré,
18:24 et ensuite on effectue la simple distributivité,
18:29 donc 3 * 16x² ça donne 48x²,
18:34 + 3 * 8x = 24x,
18:38 + 3 * 1 = 3,
18:41 la suivante c'est la deuxième identité remarquable,
18:45 donc je rappelle que a - b² = a² - 2 * a * b + b²,
18:53 attention il y a souvent des erreurs,
18:55 le a est là, là je dois avoir un -,
18:58 et le b est ici,
19:00 donc là ça c'est a,
19:02 le - est là,
19:04 et le b c'est 9,
19:06 donc si on effectue l'identité remarquable,
19:08 a² ça donne x² - 2 * a * b,
19:12 donc 2 * x = 2x,
19:14 2x * 9 = 18x,
19:17 + b²,
19:19 b c'est 9,
19:21 donc 9² = 9 * 9 = 80,
19:23 si vous avez du mal vous effectuez la double distributivité,
19:27 x * x = x²,
19:29 x * -9 - 9x,
19:33 -9 * x = -9x,
19:36 et -9 * -9 = 81,
19:39 et on retourne sur x² - 9x - 9x - 18x + 81,
19:45 on retrouve le même résultat.
19:48 On poursuit, on a toujours l'identité remarquable,
19:54 donc ça c'est a,
19:56 il y a le - ici,
19:58 et le b, le tout au carré,
20:00 donc ça donne a²,
20:02 donc 10x, le tout au carré,
20:04 10x * 10x = 10 * 10 = 100,
20:06 x * x = x²,
20:08 - 2 * b,
20:10 2 * 10x = 20x,
20:12 20x * 3 = 20x * 3,
20:14 + -60x,
20:17 + b², b c'est 3,
20:20 3² = 9.
20:22 Ensuite ici, hop, ça mélange les deux,
20:26 donc là j'ai 2x - 1, le tout au carré,
20:28 donc c'est la deuxième identité remarquable,
20:31 donc ça donne a², 2x * 2x = 4x²,
20:35 - 2 * b, donc - 2 * 2x = 4x,
20:39 4x * 1 = - 4x,
20:42 + b², b c'est 1,
20:44 donc 1² = 1.
20:46 Et là attention, j'ai un -,
20:48 sauf qu'ici,
20:50 j'ai la première identité remarquable,
20:53 donc comme il y a le -, on fait attention,
20:55 je dois soustraire toute l'identité remarquable,
20:58 donc c'est - parenthèse,
21:00 attention,
21:02 et dans la parenthèse, on effectue l'identité remarquable,
21:04 donc a + b², c'est donc a²,
21:08 + 2 * a * b,
21:10 2 * x * 8 + 16x,
21:12 + b² = 64.
21:15 Et attention, on met bien la parenthèse,
21:17 parce que je dois soustraire toute l'identité remarquable,
21:20 ce qui donne 4x²,
21:23 - 4x + 1,
21:26 j'ai un simple -,
21:28 j'ai un - devant une simple parenthèse,
21:30 donc en enlevant la parenthèse,
21:32 x² va devenir - x²,
21:34 le + 16x - 16x,
21:36 et le + 64 - 64.
21:39 On regroupe,
21:41 4x² - x², ça donne 3x²,
21:43 - 4x - 16x - 20x,
21:47 et + 1 - 64 - 63.
21:51 Et enfin, le dernier, on regarde ce que l'on a,
21:56 donc là j'ai la première identité remarquable,
21:59 j'ai un -,
22:01 attention quand vous voyez un -, j'ai une soustraction,
22:04 et ici j'ai une multiplication entre les deux,
22:06 j'ai la double distributivité.
22:08 Donc on va être très prudent,
22:10 on va d'abord faire l'identité remarquable,
22:12 le - et la double distributivité.
22:14 Donc ce qui donne a + b²,
22:16 donc a²,
22:18 7x * 7x, 7 * 7 = 49,
22:20 x * x, x²,
22:22 + 2 * a * b,
22:24 2 * 7x, 14x,
22:26 14x * 1 = 14x,
22:28 + b² + a²,
22:30 ça donne 1.
22:32 J'ai le méchant -,
22:34 je dois soustraire toute la double distributivité,
22:36 donc parenthèse,
22:38 et on effectue la double distributivité,
22:41 donc x * x, x²,
22:44 x * 7 + 7x,
22:46 - 3 * x - 3x,
22:50 et - 3 * 7 - 21.
22:53 Ce qui donne 49x² + 14x + 1,
23:00 et là je dois soustraire tout ce qu'il y a dans la parenthèse,
23:03 donc le x² va devenir - x²,
23:05 le + 7x - 7x,
23:07 le - 3 quand on le soustrait ça donne + 3,
23:09 et le - 21 quand on le soustrait ça donne + 21.
23:12 On regroupe l'x² ensemble,
23:15 donc 49x² - x²,
23:18 ça donne 48x²,
23:21 + 14x - 7x, ça donne 7x,
23:25 7x + 3 = + 10x,
23:29 et + 1 + 21 = + 22.
23:33 Voilà pour la correction du sujet d'entraînement.
23:37 [Applaudissements]