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00:00 Exercice 5, ce sont les dérivés de base, ce que j'appelle les dérivés usuels,
00:05 ce sont les fondations à connaître.
00:08 On vous dit pour chaque fonction, il faut les dériver,
00:10 donc à chaque fois je vais par écrire f'(x) en comprenant f(x)=4,
00:14 donc f'(x)=, je vais par écrire à chaque fois,
00:17 donc si f(x)=4, dérivée d'une fonction constante, 0.
00:21 Ça c'est un nombre, une constante, dérivée d'une fonction constante, 0.
00:24 Racine carrée de 2, attention, c'est pas racine carrée de x,
00:27 la 2 c'est un nombre, donc c'est la racine carrée de 2, c'est un nombre,
00:30 elle c'est une constante, dérivée d'une fonction constante, 0.
00:33 2 fois x, fonction affine, son coefficient directeur c'est 2, la dérivée c'est 2.
00:37 3 fois x, c'est une fonction affine, son coefficient directeur c'est 3, dérivée 3.
00:41 x c'est pareil que 1 fois x, donc c'est une fonction affine,
00:44 son coefficient directeur c'est 1, donc la dérivée c'est 1.
00:47 -x c'est -1 fois x, donc la dérivée c'est 1.
00:51 -7,3 fois x, coefficient directeur vaut -7,3, donc la dérivée c'est -7,3.
00:57 Un peu plus dur, x sur 5, la fonction f,
01:01 x sur 5 c'est pareil que 1/5 fois x,
01:05 x divisé par 5 c'est 1/5 fois x, 1 fois x, x sur 5,
01:08 donc 1/5 fois x c'est une fonction affine, coefficient directeur 1,5,
01:12 1/5 donc la dérivée c'est 1/5.
01:16 On poursuit, fonction puissance, x², on fait tomber le 2,
01:20 x puissance 1, donc en haut ça donne 2x,
01:23 x³, la dérivée c'est 3x²,
01:26 donc si je fais tomber le 3 il m'en reste 2,
01:28 x puissance 4 on fait tomber le 4, en haut il en reste 3,
01:31 x puissance -5 on fait tomber le -5, et là attention,
01:34 à chaque fois si j'ai 2 il m'en reste 1, 3 il m'en reste 2, 4 il m'en reste 3,
01:38 donc attention c'est -5 et on enlève un -1,
01:42 attention quand il y a les puissances négatives, ce qui donne -5,
01:45 x puissance -6, attention à lui.
01:47 Racine carrée de x c'est du par cœur, c'est 1 divisé par 2 fois racine carrée de x,
01:53 1 sur x c'est la fonction inverse, la dérivée de la fonction inverse
01:55 c'est à connaître par cœur, c'est -1 divisé par x²,
01:59 et là on passe à un nombre fois une fonction,
02:01 là j'ai 3 fois x², donc la dérivée ça va être 3 fois la dérivée de x², 2x,
02:08 ce qui donne 6x,
02:10 pareil là j'ai -10 fois x puissance 4,
02:13 donc la dérivée ça va être -10 fois la dérivée de x puissance 4,
02:17 on fait tomber le 4, en haut il en reste 3, donc 4x puissance 3,
02:20 ce qui donne -40x puissance 3,
02:23 7 sur x, un peu plus dur, 7 sur x,
02:26 si on constate c'est 7 fois 1 sur x,
02:30 donc là attention à ne pas se tromper de case,
02:32 je vais bien l'écrire en dessous pour ne pas qu'on se trompe,
02:34 7 sur x c'est 7 fois 1 sur x,
02:37 donc la dérivée ici, j'ai un nombre fois une fonction,
02:41 donc la dérivée ça va être 7 fois la dérivée de 1 sur x, -1 sur x²,
02:46 ce qui donne -7 sur x².
02:49 On passe aux fonctions somme, quand on additionne,
02:53 donc là j'ai f(x) = x + 3,
02:55 la dérivée de x c'est 1,
02:57 plus la dérivée d'une constante 0, donc on retrouve 1, c'est bien ça,
03:01 x² est la dérivée de 2x,
03:03 -4x - 4 fois x, la dérivée c'est donc -4,
03:06 et la dérivée d'une constante -5 c'est 0,
03:09 donc c'est -0, ce qui donne 2x - 4.
03:12 Ensuite x² est la dérivée de 2x,
03:15 plus la dérivée de x c'est 1,
03:17 plus la dérivée d'une constante c'est 0,
03:18 donc il reste finalement 2x + 1.
03:21 Ici j'ai 5 fois 3x - 2,
03:25 donc j'ai bien un nombre fois une fonction,
03:26 donc la dérivée ça va être 5 fois, attention, parenthèse,
03:30 et la dérivée de la fonction, la dérivée de 3 fois x c'est 3,
03:33 la dérivée de -2 c'est 0,
03:34 donc 5 fois 3, finalement la dérivée c'était juste 15.
03:39 Et au pire si vous aviez un petit doute en voyant ça,
03:41 si on effectue la somme de distributivité,
03:43 ça donnerait 15x - 10,
03:46 et la dérivée de 15x - 10 c'est 15 - 0,
03:48 ce qui donne bien 15.
03:49 Ensuite 4√2x, ça c'est 4 fois √2x,
03:54 donc la dérivée ça va être 4 fois,
03:57 la dérivée de √2x, ça va connaître par cœur 1 sur 2√2x,
04:02 ce qui donne donc 4 divisé par 2√2x,
04:05 4 c'est 2 fois 2, donc on simplifie les deux,
04:08 donc il reste 2 sur √2x.
04:11 Ensuite le suivant, il n'y a pas besoin de se prendre la tête,
04:14 √2x sur 3,
04:16 ça c'est pareil que 1/3 fois √2x,
04:20 1/3 fois √2x c'est √2x sur 3,
04:23 donc la dérivée ça va être 1/3 fois la dérivée de √2x,
04:28 1 sur 2√2x,
04:30 et attention à ne pas se tromper, 1 fois 1 ça vaut 1,
04:33 3 fois 2, 6, donc 1 sur 6√2x.
04:37 On poursuit, π,
04:40 il ne faut pas avoir peur, π c'est quoi ? C'est un nombrel,
04:42 donc la dérivée π c'est un nombrel,
04:44 donc la dérivée ça va être π fois la dérivée de x^5,
04:48 on fait tomber le 5 quand il y aura ce 4, donc 5x^4,
04:51 et -0.6, -0.6 c'est une constante, donc -0,
04:54 donc finalement la dérivée c'est 5πx^4.
04:59 f(x)=0, 0 c'est une fonction constante,
05:01 donc sa dérivée c'est 0,
05:03 et le dernier, alors,
05:05 si vous me dites c'est de la forme u/v, c'est vrai,
05:08 on peut dire que c'est ça,
05:10 mais là il y avait plus simple,
05:12 x-4/2, on décompose la fraction en deux,
05:14 c'est pareil que x/2-4/2,
05:18 et x/2 c'est pareil que 1/2*x,
05:21 1/2*x c'est x/2, -4/2=2,
05:25 donc finalement la dérivée 1/2*x,
05:28 c'est donc la dérivée,
05:29 ce qui multiplie l'x c'est 1/2,
05:31 et -2 c'est une constante,
05:32 donc finalement la dérivée c'était juste 1/2.
05:35 Voilà pour l'exercice numéro 5.
05:41 On poursuit, dérivés les fonctions suivantes,
05:43 donc attention, vu qu'on veut la dérier,
05:45 il faut bien écrire f'(x)=,
05:48 alors on a -1/2 qui est un nombre,
05:50 donc ça va être la dérivée,
05:52 -1/2*x²=2x,
05:58 -6*x, la dérivée c'est -6,
06:01 et +1+0,
06:02 ce qui donne -1*2,
06:05 donc il reste -2/2,
06:07 qu'est-ce que je raconte ?
06:09 -1*2x, donc il reste -2x/2=-6,
06:16 et -2/2=-6, donc il reste -x-6,
06:20 et 1/2*2, oui, tout simplement,
06:22 j'aurais pu dire qu'un 1/2*2 ça vaut 1,
06:25 1/2*2 ça vaut 1,
06:27 donc on retrouve bien -x-6.
06:29 Ensuite, g'(x), vu qu'on veut la dérivée,
06:32 attention, là c'est la fonction g,
06:35 là c'est g' la dérivée,
06:37 donc c'est 2/3*la dérivée de x³,
06:41 on fait tomber le 3 et en haut il en reste 2,
06:43 donc 3x²,
06:45 -8*x², donc la dérivée est -8*x²=2x,
06:51 +14*x, donc la dérivée c'est +14,
06:54 et la dérivée d'une constante, 0.
06:56 Si on simplifie, g'(x),
06:59 donc 2/3*3=2*3,
07:02 donc ça donne 6/3*x²,
07:04 -16x+14,
07:07 et ce qui donne 6/3, ça donne 2,
07:11 donc c'était 2x²-16x+14.
07:15 On poursuit,
07:19 touc,
07:21 h'(x),
07:23 donc c'est donc égal à 1/3*la dérivée de x³,
07:29 donc 3x²,
07:31 -5*x, donc -5,
07:34 la dérivée 5x, c'est donc -5,
07:36 +0, hop,
07:38 1/3*3,
07:40 ça donne 3/3, 1*3*3,
07:42 3/3=1, donc finalement il reste juste x²-5,
07:46 1/3*3 ça vaut 1.
07:48 Et la dérivée g'(x),
07:52 donc -4/3 c'est un nombre,
07:54 donc c'est -4/3*la dérivée de x³,
07:58 3x²,
08:00 -5/2*la dérivée de x², c'est 2x,
08:05 +x, x c'est 1 fois x, donc la dérivée de x c'est 1,
08:09 -0, ce qui donne g'(x),
08:13 -4*3=-12, -12/3 ça donne donc -4x²,
08:19 -5*2=10, 10/2 il reste 5x+1.
08:24 Donc voici g', voici h',
08:28 voici g',
08:33 et voici f'.
08:39 Allez, exercice 7.
08:42 Soit g, la fonction définie sur R par g(x)=5x²+1,
08:47 entre 2 parenthèses il y a un x,
08:49 3x-2, première question,
08:51 calculer g(-1), donc on y va,
08:53 donc g(-1) il faut y aller doucement,
08:55 puisqu'il y a un - comme d'habitude,
08:57 donc ça donne 5x², c'est donc 5 fois,
09:01 je remplace le x par -1,
09:03 donc c'est tout le -1 qui est au carré,
09:05 +1,
09:07 3 fois -1,
09:12 -2,
09:14 ce qui donne donc 5 fois -1²,
09:18 ce qui vaut 1+1,
09:20 facteur de 3 fois -1, donc -3-2,
09:24 ce qui donne 5 fois 1, 5, +1, 6, donc 6,
09:28 entre 2 parenthèses il y a un x,
09:30 6 fois -5,
09:32 et ce qui donne donc -30,
09:34 donc g(-1) vaut -30.
09:37 Donc je vais l'écrire ici.
09:42 OK.
09:44 Ensuite, question B, on vous dit
09:46 déterminer pour tout réel x une expression de g'(x),
09:49 donc il faut dériver la fonction g,
09:52 et là, il ne faut pas aller trop vite,
09:54 il faut reconnaître de la forme,
09:56 ce n'est pas si évident que ça.
09:58 Là, ça c'est une fonction que je peux appeler u,
10:01 entre 2 parenthèses il y a un x,
10:04 et ça c'est une fonction que j'appelle v,
10:06 donc en fait g, la fonction g,
10:08 de la forme une fonction u,
10:10 multipliée par une fonction v.
10:12 Donc attention, lorsqu'on dérive ça,
10:14 ce n'est pas si évident, la dérive de u fois v,
10:16 ce n'est pas u' fois v', et là,
10:18 ce n'est pas aussi simple que ça.
10:20 Donc on va décrire la propriété du coup,
10:22 donc la fonction g est de la forme u fois v,
10:24 allez hop, on y va,
10:28 donc g est de la forme u fois v,
10:34 donc c'est bien la fonction g,
10:36 qui est de la forme u fois v,
10:38 avec u qui vaut la fonction 5x² + 1,
10:43 et v qui est égale à 3x - 2.
10:47 Donc u' la dérivée de 5x² + 1,
10:52 donc c'est 5 fois la dérive de x²,
10:54 2x + 1 = 0,
10:56 et v' 3 fois x, la dérive c'est 3 - 0,
11:01 donc u' 5 fois 2 c'est 10x,
11:05 et v' c'est 3.
11:08 Donc g est de la forme u fois v,
11:10 donc pour tourer à x,
11:13 g'(x), là c'est la dérivée,
11:16 on applique le cours, c'est donc u'(x),
11:18 u' fois v(x) + u'(x),
11:24 on dérive u fois v + u fois v'.
11:26 Bien sûr quand j'écris u,
11:28 en vrai c'est u(x) = 5x² + 1,
11:31 et v c'est 2x = 3x - 2.
11:34 Donc là g'(x) c'est u'(x) fois v(x)
11:37 + u(x) fois v'(x).
11:40 Ok, on remplace,
11:42 donc g'(x) c'est parti,
11:44 u' c'est donc 10x fois
11:48 toute la fonction v,
11:49 donc fois parenthèse 3x - 2,
11:53 plus toute la fonction u,
11:55 5x² + 1,
11:58 fois la dérive u de v de 3.
12:01 On démarre par les deux multiplications,
12:04 et comme là il y a un plus,
12:05 il n'y a aucun souci sur les signes,
12:07 donc on y va, donc g'(x) ça donne
12:09 10x fois 3, 10 fois 3 = 30,
12:11 x fois x, x², - 10x fois 2, - 20x,
12:16 là vu que j'ai un plus aucun souci,
12:18 donc 5x² fois 3, + 15x²,
12:22 et 1 fois 3, + 3.
12:24 Donc ça donne g'(x),
12:26 la dérive pour 3x,
12:27 30x² + 15x² = 45x²,
12:31 - 20x + 3.
12:34 Hop, ça c'est g'(x).
12:37 Touc !
12:39 Et donc, ce qui est pratique
12:41 avec les fonctions dérivées,
12:42 c'est que là on vous demande
12:43 en déduire la valeur de g'(-1),
12:45 c'est qu'on ne refait pas le truc
12:46 avec le taux de variation.
12:47 On a la fonction dérivée,
12:49 donc g'(-1),
12:51 c'est donc 45 fois -1²,
12:57 - 20 fois -1, + 3,
13:04 ce qui donne 45 fois -1²,
13:09 - 1 fois -1, faut 1,
13:11 ça je l'ai terminé.
13:14 Ensuite - 20 fois -1,
13:16 négatif fois négatif,
13:17 positive, donc ça donne + 20,
13:18 - 1 fois -1, + 20, + 3,
13:21 et donc 45 + 20 = 65,
13:23 65 + 3 = 68,
13:25 donc g'(-1) vaut 68.
13:28 Et enfin, en bout de bande,
13:29 détermine l'équation réduite
13:30 de la tangente ACF
13:31 au point d'abcisse -1,
13:33 donc ça c'est du coup,
13:34 on remplace la valeur de a par -1,
13:36 donc l'équation de la tangente,
13:38 donc je vais un peu effacer
13:39 parce que je n'ai plus trop de place,
13:43 vous pouvez accélérer la vidéo
13:45 en le temps que j'efface,
13:46 bien évidemment,
13:47 donc quoique ça va aller vite,
13:48 allez dans 5, 4, 3, 2, 1,
13:51 allez c'est bon, question D,
13:53 donc l'équation de la tangente
13:54 au point de -1,
13:55 donc c'est g'(-1)
13:57 fois x moins,
13:59 attention c'est ici qu'il peut y avoir
14:00 -1 plus g(-1),
14:04 donc yg'(-1)
14:06 68 on a trouvé,
14:08 68 fois x plus 1,
14:10 -1 c'est +1,
14:12 plus g(-1)
14:14 qui vaut -30.
14:17 Donc on trouve que y c'est 68x
14:25 plus 68 moins 30,
14:28 et donc l'équation de la tangente
14:30 acg au point de -1
14:31 est y = 68x + 38,
14:35 et voilà,
14:36 on a terminé cet exercice.
14:40 Poursuivons, exercice 8,
14:42 soit f la fonction définie par f(x)
14:44 = x + 3 sur 2x - 4,
14:46 quel est le domaine de dérivation de f ?
14:48 Donc on rappelle que diviser par 0
14:53 n'existe pas.
14:57 Donc il faut que,
15:02 qu'est-ce qu'il faut ?
15:03 Il faut que 2x - 4
15:08 ne soit pas égal à 0,
15:10 donc il faut que 2x + 4 à gauche + 4 à droite
15:14 ne soit pas égal à 4,
15:16 donc on divise par 2 à gauche à droite,
15:19 x n'a pas le droit d'être égal à 2.
15:21 Donc finalement le domaine de dérivation,
15:23 donc le domaine de dérivabilité,
15:28 de déri-vi-ba-bilité,
15:32 est comme x est différent de 2,
15:35 donc soit vous utilisez tous les nombres réels privés de 2,
15:38 si certains ont vu cette notation,
15:40 ou une deuxième façon est,
15:42 ça c'est pareil que dire que c'est égal à
15:44 tous les nombres privés de 2,
15:45 donc de - l'infini jusqu'à 2,
15:47 et là c'est important,
15:48 exclut que x est différent de 2,
15:51 union 2 exclut jusqu'à + l'infini,
15:55 et l'infini est toujours vert,
15:57 on ne peut pas l'arrêter.
15:58 Voilà, donc le domaine de déri-vi-ba-bilité,
16:00 c'est pour tous les x différents de 2,
16:02 donc ça va de moins à l'infini à 2,
16:03 union 2 + l'infini à 2, non compris.
16:05 Et donc on vous demande question B,
16:09 pour trouver l'x du domaine de dérivation,
16:11 donc pour tous les x différents de 2,
16:12 déterminez l'expression de f'(x),
16:14 donc on reconnaît pour dériver f,
16:16 la fonction f est là,
16:17 f c'est de la forme une fonction u,
16:20 divisée par une fonction v,
16:22 donc on écrit que f,
16:23 et là c'est pareil,
16:24 c'est bien la fonction f,
16:25 c'est f qui est là,
16:27 donc f est de la forme,
16:32 une fonction u divisé par une fonction v,
16:35 avec u(x) qui est égal à x + 3,
16:40 et v(x) = 2x - 4,
16:44 u' donc,
16:46 la déri de u,
16:47 la déri de x c'est 1 + 3, c'est 0,
16:49 donc 1 + 0, la déri c'est 1,
16:51 et v', la déri de 2x c'est 2,
16:54 - la déri d'une constante 4, c'est 0,
16:56 donc v' c'est 4, ainsi,
16:58 et là attention, f'(x),
17:01 donc ça démarre presque comme le produit,
17:03 c'est la dérivé de u,
17:04 fois la dérivé de v,
17:05 et comme c'est un quotient,
17:07 attention ici là c'est -
17:10 la fonction u, fois la dérivé de v,
17:12 et il ne faut pas oublier,
17:13 sur le dénominateur au carré,
17:15 donc attention,
17:16 ce sera tout le dénominateur,
17:18 qui est au carré,
17:19 il ne faudra pas oublier les parenthèses.
17:21 Tac, tac, et donc on démarre,
17:23 donc u' c'est 1,
17:25 donc ça donne 1 fois v(2x - 4),
17:31 attention,
17:32 - u(x + 3) v' x2,
17:38 divisé par le v au carré,
17:41 donc v c'est 2x - 4,
17:42 donc c'est 2x - 4,
17:44 attention, le tout est au carré.
17:47 Et là on va y aller doucement,
17:49 f' donc quand il y a un moins,
17:51 il faut faire attention,
17:52 on démarre bien évidemment,
17:53 par les deux multiplications,
17:55 les deux produits,
17:56 mais là il faudra faire attention,
17:58 vu qu'il y a un moins,
17:59 il faudra laisser de grandes parenthèses à droite,
18:02 donc au début aucun souci,
18:03 1 x 2x, 2x,
18:05 1 x - 4, - 4,
18:07 attention au moins,
18:09 grande parenthèse,
18:11 et dans la grande parenthèse,
18:12 on effectue le produit,
18:14 x x 2, 2x,
18:16 x y 3, + 6,
18:18 sur 2x - 4,
18:21 le tout au carré,
18:23 ce qui donne donc 2x - 4,
18:25 et là j'ai un moins devant une simple parenthèse,
18:28 donc lorsque je soustrais tout ce qu'il y a dedans,
18:30 le 2x lorsqu'on le soustrait devient - 2x,
18:33 et le + 6,
18:34 lorsqu'on le soustrait ça donne - 6,
18:37 divisé par 2x - 4,
18:39 le tout au carré,
18:42 et donc on trouve que f'(x),
18:44 la dérivée, est égale à 2x - 2x, 0,
18:47 donc il reste - 4, - 6,
18:49 donc il reste - 10,
18:51 sur 2x + 4,
18:53 le tout au carré,
18:55 et bien sûr avec x différent de 2,
18:57 et voilà la dérivée de cette fonction.
19:00 Et on passe à l'exercice 9,
19:04 donc je marque ça en route pour la terminale,
19:06 en fait les fonctions qui sont là,
19:08 ce sont des annales du baccalauréat,
19:10 donc on dit soit f'(x) = f'(x)
19:12 donc f'(x) = 2x + 3 * x^2 + 1
19:15 divisé par 2 + 7,
19:17 avec x différent de -7,
19:18 en effet si x vaut -7, on divise par 0,
19:20 ça n'existe pas.
19:21 Et on vous demande de dériver la fonction f.
19:23 Donc si on regarde la fonction f,
19:25 là j'ai un quotient,
19:26 on se dit bah tiens elle est de la forme u/v,
19:29 ok,
19:30 donc la dérivée ça va être u/v,
19:32 donc on sait que si on applique ça va être
19:34 u' * v - u' * v^2,
19:37 sauf que lorsqu'on va dériver u',
19:39 si ça j'appelle ça la fonction u,
19:41 ça va être 2x + 3 * x^2 + 1,
19:44 et donc on va multiplier deux fonctions.
19:47 Donc pour dériver, pour avoir u',
19:49 il faut d'abord dériver ça.
19:51 Donc c'est ce qu'on va écrire,
19:53 première étape,
19:54 donc on va dériver,
19:56 donc le numérateur,
20:00 2x + 3 * x^2 + 1,
20:03 ok.
20:08 Alors on écrit donc 2x + 3 * x^2 + 1
20:14 est de la forme
20:16 u * v,
20:20 avec u qui vaut 2x + 3,
20:24 et v qui est égal à x^2 + 1.
20:30 Donc u' la dérive de 2x + 3 c'est 2,
20:34 et la dérive de v, x^2 c'est 2x + 0.
20:38 Ainsi, et attention là faut pas se tromper,
20:41 c'est pas f' qu'on a dérivé,
20:43 c'est juste donc 2x + 3 * x^2 + 1,
20:47 c'est ça que l'on a dérivé,
20:49 donc là on met des parenthèses,
20:51 la dérive de ça est égale à
20:54 u' * v + u * v',
20:58 ce qui donne u' donc 2 * 2x + 3,
21:03 + u' * v donc x^2 + 1,
21:13 + u * 2x + 3 * v' * 2x,
21:18 ce qui donne donc 2x^2 + 2,
21:22 + 2 * 4x * 6x^2 + 6x,
21:27 donc ça donne 6x^2 + 6x + 2.
21:32 Donc la dérive de 2x + 3 * x^2 + 1
21:37 est 6x^2 + 6x + 2,
21:39 donc là je vais le mettre dans ma tête,
21:41 pourvu que je vais devoir effacer pour faire de la place,
21:43 donc ça on a vu que la dérive de ça,
21:45 la tête, la dérive du numérateur,
21:48 je la note là,
21:50 donc 6x^2, vous vous laissez ça sur votre copie,
21:53 6x^2 + 6x + 2.
21:55 6x^2 + 6x + 2.
22:01 Ok.
22:03 Et donc maintenant on va pouvoir dériver la fonction f,
22:07 donc rebelote la fonction f cette fois-ci.
22:12 Donc là c'est bien notre fonction f,
22:19 cette fois-ci on va l'appeler u et v,
22:22 donc on y va,
22:24 la fonction f est de la forme
22:29 u/v avec
22:32 u = 2x + 3 * x^2 + 1
22:38 et v = x + 7.
22:46 Donc u',
22:49 on vient de le dériver juste avant,
22:51 c'est pour ça qu'on a dérivé,
22:53 c'est donc 6x^2 + 6x + 2.
22:57 Ok.
22:59 Et v' = 1.
23:02 Et donc si on poursuit ça,
23:08 donc c'est de la forme u/v,
23:10 donc on y va,
23:13 donc f'(x), on connaît,
23:15 la forme u derrière de l'inconscient,
23:17 c'est u' * v,
23:19 attention, au moins u* v'
23:22 sur v^2,
23:24 et donc f'(x) = u',
23:27 donc u' c'est donc 6x^2 + 6x + 2,
23:31 tout ça fois la fonction v,
23:34 x + 7,
23:36 moins, attention,
23:38 toute la fonction,
23:40 donc 2x + 3 * x^2 + 1,
23:43 tout ça fois v' qui vaut 1,
23:46 donc fois 1 sur v^2,
23:49 donc x^2 + 1.
23:52 v^2, donc x + 7, le tout au carré.
23:56 On va démarrer, là j'ai une multiplication,
23:59 là j'ai deux multiplications,
24:01 donc on y va, donc f'(x),
24:04 premier produit, 6x^2,
24:06 il faut donc 6x^3 + 6*7*42x^2 + 6x^2 + 6*7*42x,
24:18 plus 2x + 14,
24:28 attention, méchant moins,
24:30 donc moins, grande parenthèse,
24:32 pour effectuer les multiplications,
24:34 donc 1 fois ça, ça reste 1,
24:36 donc le fois 1 finalement il sert pas vraiment,
24:38 on le laisse sur la copie,
24:39 mais là c'est ce que je vois dans ma tête,
24:40 dans ma tête, fois 1, ok,
24:42 et donc là il faut effectuer la double distributivité
24:44 dans une grande parenthèse,
24:45 donc 2x fois x^2, 2x^3,
24:48 ensuite 2x fois 1 + 2x,
24:51 3 fois x^2, 3x^2,
24:53 et 3x fois 1 fois 3,
24:55 sur le dénominateur x + 7, le tout au carré,
25:00 donc f'(x) = 6x^3 + 42 + 48x^2 + 44x,
25:14 on plus 14,
25:16 là j'ai un moins devant une simple parenthèse,
25:19 donc 2x^3 devient -2x^3,
25:21 -2x, -3x^2, -3,
25:25 sur x + 7, le tout, tout carré,
25:30 et donc la dérivée de ça,
25:33 donc les cubes on les met ensemble,
25:35 6x^3, ça c'est ce que je vois dans ma tête,
25:37 -2x^3, donc il me reste 4x^3,
25:40 ensuite l'x^2, 48x^2, -3x^2 + 45x^2,
25:48 les x, 44x, -2x, + 42x,
25:53 et +14, -3, +11,
25:59 sur x + 7, le tout au carré,
26:03 et voilà la dérivée de la fonction f.
26:06 Donc finalement, on l'a fait en deux étapes,
26:09 la fonction f est bien de la forme u/v,
26:12 mais pour dériver ça, il fallait dériver un produit.
26:16 Et il nous reste une question à faire,
26:18 et on a terminé.
26:20 On passe à la dernière question,
26:22 soit j'ai la fonction définitive f/r
26:24 par f(x) = √2x*x^2+3 + 2x + 6*x-4 + x-5.
26:30 Alors qu'est-ce que l'on constate ici,
26:32 comment on décompose cette fonction ?
26:34 Si on regarde là, je prends le premier terme,
26:37 j'ai √2x*x^2+3,
26:40 donc on sait que c'est de la forme u*v.
26:43 Après c'est bon, j'ai un plus,
26:46 c'est une addition,
26:48 2x+6*x-4, donc là j'ai de la forme u*v,
26:52 ensuite on a un plus,
26:56 la dérivée de x on sait que c'est 1,
26:59 et la dérivée de 5 c'est 0, -0.
27:02 Donc finalement pour dériver la fonction,
27:04 il faut que je dérive ce qu'il y a là,
27:07 et après on additionne tout.
27:10 Donc on y va, étape 1, dérivons,
27:13 sur une copie, on dérive √2x*x^2+3.
27:19 Donc √2x*x^2+3 est de la forme,
27:23 donc ça c'est de la forme u*v,
27:27 avec u qui vaut la fonction √2x,
27:31 et v qui vaut x^2+3,
27:34 donc u', la dérivée de √2x c'est 1/2√2x,
27:39 et v', ça la dérivée c'est 2x.
27:42 Donc √2x*x^2+3,
27:47 la dérivée de ça, donc là tout ça prime,
27:50 la dérivée de tout ça, c'est donc u*v+u*v',
27:55 ce qui donne u' donc 1/2√2x*v,
28:00 donc x^2+3,
28:03 + u*√2x*2x,
28:06 et on ne peut pas aller plus loin, on s'arrête là, voilà.
28:09 Ensuite, il faut qu'on dérive 2x+6*x-4,
28:12 donc dérivons 2x+6*x-4,
28:19 donc ça c'est de la forme u*v,
28:25 avec u qui vaut 2x+6,
28:31 et v qui vaut x-4,
28:34 donc la dérivée de ça c'est 2,
28:37 et la dérivée de v c'est 1,
28:40 ainsi 2x+6*x-4,
28:45 donc la dérivée de tout ça, donc parenthèse,
28:48 la dérivée de tout ça, c'est donc =u'*v+u*v',
28:54 c'est donc 2*x-4+u*2x+6*1,
29:00 et prime qui vaut 1,
29:02 donc ça donne 2x-8+2x*1+2x+6,
29:08 et ce qui donne donc 4x-2.
29:13 Ainsi, et là c'est la dérivée,
29:16 pourquoi dériver g ?
29:18 Ah oui là il faut que je mette un petit g,
29:20 g'(x)=,
29:24 donc la dérivée de √2x*x²+3,
29:27 on a trouvé que c'était donc ça,
29:29 donc on réécrit c'est 1/2√2x*x²+3+√2x*2x,
29:38 + la dérivée de 2x+6*x-4,
29:41 on a trouvé que c'était 4x-2,
29:43 + la dérivée de x c'est 1,
29:46 et - la dérivée de 5 c'est 0,
29:48 donc finalement g'(x)=.
29:52 Et on a terminé la correction de cette interrogation.
29:56 Oui, mini-aparté, j'aurais pu simplifier -2+1=-1,
30:01 donc finalement c'est +4x-1,
30:03 et on a bien terminé la correction de cette interrogation.